De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Versiunea pentru tipărire nu mai este suportată și poate avea erori de randare. Vă rugăm să vă actualizați bookmarkurile browserului și să folosiți funcția implicită de tipărire a browserului.
Ilustrarea primilor şase paşi ai operaţiei de construire a mulţimii Cantor Mulțimea lui Cantor (sau discontinuul lui Cantor sau praful lui Cantor ) este un concept în cadrul topologiei atribuit matematicianului Georg Cantor .
Construire
Mulţimea lui Cantor în spațiul bidimensional 2D.Fie, pe mulțimea numerelor reale
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
intervalul închis
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]\,}
(
1
3
,
2
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}
[
0
,
1
3
]
{\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]}
[
2
3
,
1
]
{\displaystyle \left[{\frac {2}{3}},1\right]}
Și din acestea se exclude "treimea centrală", ș.a.m.d.
Astfel e definit șirul de mulțimi:
A
0
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle A_{0}=[0,1]\,}
A
1
=
[
0
,
1
3
]
∪
[
2
3
,
1
]
{\displaystyle A_{1}=[0,{\frac {1}{3}}]\cup [{\frac {2}{3}},1]}
A
2
=
[
0
,
1
9
]
∪
[
2
9
,
1
3
]
∪
[
2
3
,
7
9
]
∪
[
8
9
,
1
]
{\displaystyle A_{2}=[0,{\frac {1}{9}}]\cup [{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}]\cup [{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}]\cup [{\frac {8}{9}},1]}
Atunci mulțimea lui Cantor este:
K
=
lim
n
→
∞
A
n
=
⋂
n
∈
N
A
n
{\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}
Mulţimea lui Cantor în spațiul tridimensional 3D.Suma lungimilor intervalelor înlăturate din intervalul unitate este:
∑
n
=
0
∞
2
n
3
n
+
1
=
1
3
+
2
9
+
4
27
+
8
81
+
⋯
=
1
3
(
1
1
−
2
3
)
=
1
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1}
Așadar, mulțimea lui Cantor are următoarele proprietăți:
Este echipotentă cu mulțimea numerelor reale
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Bibliografie
