Topologie: Diferență între versiuni

Navighează interactiv prin istoric

← Diferența anterioară

Conținut șters Conținut adăugat

VizualWikitext

Aliniat

Versiunea curentă din 3 decembrie 2023 03:05

Pentru o ramură a geometriei diferențiale, vedeți Topologie simplectică.

Pentru conectivitatea unei rețele de calculatoare, vedeți Topologie de rețea.

Bandă Möbius, un obiect cu o singură suprafață și o singură muchie; astfel de forme sunt studiate în topologie.

Topologia este o ramură a matematicii, mai precis o extensie a geometriei care studiază deformările spațiului prin transformări continue. În sens mai larg, topologia descrie relațiile spațiale existente între obiectele geometrice (puncte, linii, poligoane) poziționate în spațiu.

În cadrul Sistemelor Geografice Informaționale termenul poate fi definit ca “știința și matematica relațiilor utilizate pentru validarea geometriei entităților vectoriale și pentru o serie de operații cum ar fi analiza de rețea și de vecinătate” ^[1].

Etimologie

Termenul topologie provine din contracția substantivelor grecești topos (τóπος) și logos (λóγος) care semnifică loc, respectiv studiu. Așadar, topologie înseamnă literal "studiul locului".

Alte denumiri folosite anterior: geometria situs, analysis situs, unde situs înseamnă "loc" în latină.

Introducere

O transformare a unei căni într-un tor și invers.

Topologia se deosebește de geometria euclidiană prin modul de considerare a echivalenței dintre obiecte. În geometria euclidiană, două obiecte sunt echivalente dacă sa pot transforma unul în celălalt prin izometrii — transformări care păstrează valoarea unghiurilor, lungimilor, ariilor și volumelor.

Istoric

În 1736, matematicianul Leonhard Euler publica lucrarea intitulată Problema podurilor din Königsberg, despre care se poate spune că stă la baza acestei ramuri matematice.^[2] Termenul topologie este introdus de Johann Benedict Listing în articolul Vorstudien zur Topologie, publicat în 1847.^[3]

Topologia modernă are ca punct de plecare teoria mulțimilor, dezvoltată de Georg Cantor în a doua jumătate a secolului al XIX-lea, la care se adaugă studiile privind seriille Fourier și mulțimile punctuale din cadrul teoriei spațiilor euclidiene. În lucrarea sa, Analysis Situs din 1895,^[4] Henri Poincaré introduce conceptele de omotopie, omologie, care astăzi aparțin topologiei algebrice. În 1906, pornind de la lucrările lui Cantor, Volterra, Hadamard, Ascoli, Maurice Fréchet deschide drumul în domeniul spațiilor metrice. În 1914, Hausdorff definește spațiul care îi va purta numele.

În anul 1970, pregătindu-se de recensământ, United States Census Bureau, a folosit topologia matematică pentru a reduce erorile ce apăreau pe hărțile rezultate.

Definiție matematică

Articol principal: Spațiu topologic.

Considerăm mulțimea X și fie T o familie a sa de submulțimi. Atunci T este o topologie pe X dacă:

Mulțimea vidă și X sunt elemente ale lui T.
Orice reuniune de elemente din T este element al lui T.
Intersecția unui număr finit de elemente din T este element al lui T.

În acest caz spunem că X împreună cu T formează un spațiu topologic. Elementele lui T se numesc "mulțimi deschise"; complementarele acestora se numesc "mulțimi închise".

Note

^ [Goodchild, M.F., și colab., 2005]
^ Euler, Leonhard, "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis"
^ Listing, Johann Benedict, "Vorstudien zur Topologie", Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, p. 67, 1848
^ Poincaré, Henri, "Analysis situs", Journal de l'École Polytechnique ser 2, 1 (1895) pp. 1–123

Bibliografie

Nicolas Bourbaki Topologie générale, Hermann, 1961
Longley, P.A., Goodchild, M.F., Maguire, D.J., Rhind, D.W. – „Geographic Information System and Science”, Second Edition, 2005. [1]

Vezi și

Legături externe

[goodchild-1] [Goodchild, M.F., și colab., 2005]

[2] Euler, Leonhard, "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis"

[3] Listing, Johann Benedict, "Vorstudien zur Topologie", Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, p. 67, 1848

[4] Poincaré, Henri, "Analysis situs", Journal de l'École Polytechnique ser 2, 1 (1895) pp. 1–123

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
+{{Pentru|o ramură a geometriei diferențiale|Topologie simplectică}} {{Pentru|conectivitatea unei rețele de calculatoare|Topologie de rețea}}
-[[Fişier:Möbius strip.jpg|right|thumb|300px|Bandă Möbius, un obiect cu o singură suprafaţă şi o singură muchie; astfel de forme sunt studiate în topologie.]]
+[[Fișier:Möbius strip.jpg|right|thumb|300px|[[Bandă Möbius]], un obiect cu o singură suprafață și o singură muchie; astfel de forme sunt studiate în topologie.]]
-'''Topologia''' este o ramură a [[matematică|matematicii]], mai precis o extensie a [[geometrie]]i care studiază deformările [[spațiu (matematică)|spațiului]] prin transformări continue.
+'''Topologia''' este o ramură a [[matematică|matematicii]], mai precis o extensie a [[geometrie]]i care studiază deformările [[spațiu (matematică)|spațiului]] prin [[transformare geometrică|transformări]] continue. În sens mai larg, topologia descrie relațiile spațiale existente între obiectele geometrice (puncte, linii, poligoane) poziționate în spațiu.
+În cadrul [[GIS|Sistemelor Geografice Informaționale]] termenul poate fi definit ca “știința și matematica relațiilor utilizate pentru validarea geometriei entităților vectoriale și pentru o serie de operații cum ar fi analiza de rețea și de vecinătate” <ref name="goodchild">[Goodchild, M.F., și colab., 2005]</ref>.
 == Etimologie ==
 Termenul ''topologie'' provine din contracția substantivelor grecești ''topos'' (τóπος) și ''logos'' (λóγος) care semnifică ''loc'', respectiv ''studiu''. Așadar, topologie înseamnă literal "studiul locului".
-Alte denumiri folosite anterior: ''geometria situs'', ''analysis situs'', unde ''situs'' înseamnă "loc" în latină.
+Alte denumiri folosite anterior: ''geometria situs'', ''analysis situs'', unde ''situs'' înseamnă "loc" în [[latină]].
 == Introducere ==
+[[Fișier:Mug and Torus morph.gif|thumb|center|300px|O transformare a unei căni într-un tor și invers.]]
+Topologia se deosebește de [[geometrie euclidiană|geometria euclidiană]] prin modul de considerare a echivalenței dintre obiecte. În geometria euclidiană, două obiecte sunt echivalente dacă sa pot transforma unul în celălalt prin [[izometrie|izometrii]]&nbsp;— transformări care păstrează valoarea [[unghi]]urilor, [[lungime|lungimilor]], [[arie|ariilor]] și [[volum]]elor.
+== Istoric ==
-[[Fişier:Mug and Torus morph.gif|thumb|center|300px|O transformare a unei căni într-un tor şi invers.]]
+În 1736, matematicianul [[Leonhard Euler]] publica lucrarea intitulată [[Problema podurilor din Königsberg]], despre care se poate spune că stă la baza acestei ramuri matematice.<ref>Euler, Leonhard, [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E053.pdf "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis"]</ref>
+Termenul ''topologie'' este introdus de [[Johann Benedict Listing]] în articolul ''Vorstudien zur Topologie'', publicat în 1847.<ref>Listing, Johann Benedict, "Vorstudien zur Topologie", Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, p. 67, 1848</ref>
+Topologia modernă are ca punct de plecare [[teoria mulțimilor]], dezvoltată de [[Georg Cantor]] în a doua jumătate a secolului al XIX-lea, la care se adaugă studiile privind [[serie Fourier|seriille Fourier]] și mulțimile punctuale din cadrul teoriei [[spațiu euclidian|spațiilor euclidiene]].
+În lucrarea sa, ''Analysis Situs'' din 1895,<ref>Poincaré, Henri, "Analysis situs", Journal de l'École Polytechnique ser 2, 1 (1895) pp. 1–123</ref> [[Henri Poincaré]] introduce conceptele de [[omotopie]], [[omologie]], care astăzi aparțin [[topologie algebrică|topologiei algebrice]].
+În 1906, pornind de la lucrările lui Cantor, [[Vito Volterra|Volterra]], [[Jacques Hadamard|Hadamard]], [[Giulio Ascoli|Ascoli]], [[Maurice Fréchet]] deschide drumul în domeniul [[spațiu metric|spațiilor metrice]].
+În 1914, [[Felix Hausdorff|Hausdorff]] definește spațiul care îi va purta numele.
+În anul 1970, pregătindu-se de recensământ, ''United States Census Bureau'', a folosit topologia matematică pentru a reduce erorile ce apăreau pe hărțile rezultate.
-Topologia se deosebește de [[geometrie euclidiană|geometria euclidiană]] prin modul de considerare a echivalenței dintre obiecte. În geometria euclidiană, două obiecte sunt echivalente dacă sa pot transforma unul în celălalt prin izometrii - transformări care păstrează valoarea [[unghi]]urilor, [[lungime|lungimilor]], [[arie|ariilor]] și [[volum]]elor.
-== Istoric ==
 == Definiție matematică ==
-{{main|Spațiu topologic}}
+{{Articol principal|Spațiu topologic}}
 Considerăm mulțimea '''X''' și fie '''T''' o familie a sa de submulțimi. Atunci '''T''' este o topologie pe '''X''' dacă:
-# Mulțimea vidă și '''X''' sunt elemente ale lui '''T'''.
+# [[Mulțime vidă|Mulțimea vidă]] și '''X''' sunt elemente ale lui '''T'''.
-# Reuniunea oricăror două elemente din '''T''' este element al lui '''T'''.
+# Orice [[Reuniune (matematică)|reuniune]] de elemente din '''T''' este element al lui '''T'''.
-# Intersecția unui număr finit de elemente din '''T''' este element al lui '''T'''.
+# [[Intersecție (matematică)|Intersecția]] unui număr finit de elemente din '''T''' este element al lui '''T'''.
-În acest caz spunem că '''X''' împreună cu '''T''' formează un '''spațiu topologic'''. Elementele lui '''T''' se numesc "mulțimi deschise"; complementarele acestora se numesc "mulțimi închise".
+În acest caz spunem că '''X''' împreună cu '''T''' formează un '''spațiu topologic'''. Elementele lui '''T''' se numesc "mulțimi deschise"; [[complement (matematică)|complementarele]] acestora se numesc "mulțimi închise".
 == Note ==
+<references/>
 == Bibliografie ==
 * Nicolas Bourbaki ''Topologie générale'', Hermann, 1961
+* Longley, P.A., Goodchild, M.F., Maguire, D.J., Rhind, D.W. – „''Geographic Information System and Science''”, Second Edition, 2005. [http://www.wiley.com/go/longley/]
 == Vezi și ==
-* [[spațiu topologic]]
+* [[Spațiu topologic]]
+* [[Teoria nodurilor]]
+* [[Vecinătate (matematică)]]
+* [[Varietate (matematică)]]
+* [[Sticla lui Klein]]
 == Legături externe ==
@@ Linia 56: / Linia 55: @@
 * {{en icon}} [http://www.math10.com/en/maths-history/math-topology/topology.html Euler - O nouă ramură a matematicii: Topologia.]
+{{Control de autoritate}}
 [[Categorie:Topologie| ]]
+[[Categorie:Structuri matematice]]
-{{Legătură AF|ka}}
-[[an:Topolochía]]
-[[ar:طوبولوجيا]]
-[[az:Topologiya]]
-[[bg:Топология]]
-[[bn:টপোগণিত]]
-[[bs:Topologija]]
-[[ca:Topologia]]
-[[ckb:تۆپۆلۆژی]]
-[[cs:Topologie]]
-[[da:Topologi]]
-[[de:Topologie (Mathematik)]]
-[[el:Τοπολογία]]
-[[en:Topology]]
-[[eo:Topologio]]
-[[es:Topología]]
-[[fa:مکان‌شناسی]]
-[[fi:Topologia (matematiikka)]]
-[[fr:Topologie]]
-[[fur:Topologjie]]
-[[gan:拓撲學]]
-[[gl:Topoloxía]]
-[[he:טופולוגיה]]
-[[hr:Topologija]]
-[[hu:Topológia]]
-[[hy:Տեղաբանություն]]
-[[id:Topologi]]
-[[io:Topologio]]
-[[is:Grannfræði]]
-[[it:Topologia]]
-[[ja:位相幾何学]]
-[[ka:ტოპოლოგია]]
-[[ko:위상수학]]
-[[lt:Topologija]]
-[[lv:Topoloģija]]
-[[mk:Топологија]]
-[[ms:Topologi]]
-[[nl:Topologie]]
-[[nn:Topologi]]
-[[no:Topologi]]
-[[nov:Topologia]]
-[[oc:Topologia]]
-[[pl:Topologia]]
-[[pms:Topologìa]]
-[[pt:Topologia (matemática)]]
-[[ru:Топология]]
-[[scn:Topoluggìa]]
-[[sh:Topologija]]
-[[simple:Topology]]
-[[sk:Topológia]]
-[[sl:Topologija]]
-[[sq:Topologjia]]
-[[sr:Топологија]]
-[[sv:Topologi]]
-[[ta:இடவியல்]]
-[[tg:Топология]]
-[[th:ทอพอโลยี]]
-[[tr:Topoloji]]
-[[uk:Топологія]]
-[[ur:وضعیت]]
-[[vi:Tô pô]]
-[[xal:Тополоҗик]]
-[[zh:拓扑学]]
-[[zh-classical:拓撲學]]