Круг сходимости: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
→Теорема Островского — Адамара: верно более сильное утверждение |
Нет описания правки Метка: визуальный редактор отключён |
||
(не показаны 3 промежуточные версии 3 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Круг сходимости''' [[степенной ряд|степенного ряда]] <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n</math> — это [[круг]] вида |
'''Круг сходимости'''<ref name=":0">{{Книга|автор=Фихтенгольц Григорий Михайлович|год=2001-|издание=8|isbn=5-9221-0157-9|страниц=864|место=Москва|издательство=Физматлит|заглавие=Курс дифференциального и интегрального исчисления — 2 том|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/637400594|ответственный=|страницы=557}}</ref> [[степенной ряд|степенного ряда]] <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n</math> — это [[круг]] вида |
||
: <math>D=\{z: |z-z_0| <R \}</math>, <math>z\in\mathbb C</math>, |
: <math>D=\{z: |z-z_0| <R \}</math>, <math>z\in\mathbb C</math>, |
||
в котором ряд [[Абсолютная сходимость|абсолютно сходится]], а вне его, при <math>|z-z_0|>R</math>, [[Сходимость|расходится]]. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть [[внутренность]] множества точек сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в |
в котором ряд [[Абсолютная сходимость|абсолютно сходится]], а вне его, при <math>|z-z_0|>R</math>, [[Сходимость|расходится]]. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть [[внутренность]] множества точек сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в множество, состоящее из одной точки <math>z_0</math>, когда <math>R = 0</math>, и может совпадать со всей плоскостью переменного <math>z</math>, когда <math>R = \infty</math>. |
||
== Радиус сходимости == |
== Радиус сходимости == |
||
Радиус круга сходимости называется '''радиусом сходимости''' ряда. |
Радиус круга сходимости называется '''радиусом сходимости'''<ref name=":0" /> ряда. |
||
Радиус сходимости [[Ряд Тейлора|ряда Тейлора]] [[аналитическая функция|аналитической функции]] равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по |
Радиус сходимости [[Ряд Тейлора|ряда Тейлора]] [[аналитическая функция|аналитической функции]] равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по [[Формула Коши — Адамара|формуле Коши — Адамара]]: |
||
: <math> {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow \infty}} \, |a_n|^{1/n}</math> |
: <math> {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow \infty}} \, |a_n|^{1/n}</math> |
||
Эта формула выводится на основе [[Радикальный признак Коши|признака Коши]]. |
Эта формула выводится на основе [[Радикальный признак Коши|признака Коши]]. |
||
Строка 24: | Строка 24: | ||
для некоторого фиксированного <math>\delta > 0</math>, круг с центром <math>z_0</math> и радиусом, равным [[Радиус сходимости|радиусу сходимости]], является естественной границей — аналитическое продолжение [[Лакунарная функция|функции, определяемой таким рядом]], невозможно за пределы круга. |
для некоторого фиксированного <math>\delta > 0</math>, круг с центром <math>z_0</math> и радиусом, равным [[Радиус сходимости|радиусу сходимости]], является естественной границей — аналитическое продолжение [[Лакунарная функция|функции, определяемой таким рядом]], невозможно за пределы круга. |
||
== Литература == |
|||
<references /> |
|||
== См. также == |
== См. также == |
||
Строка 32: | Строка 35: | ||
[[Категория:Ряды]] |
[[Категория:Ряды]] |
||
[[Категория:Сходимость]] |
Текущая версия от 20:23, 13 мая 2024
Круг сходимости[1] степенного ряда — это круг вида
- , ,
в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при , расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в множество, состоящее из одной точки , когда , и может совпадать со всей плоскостью переменного , когда .
Радиус сходимости
[править | править код]Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости[1] ряда.
Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:
Эта формула выводится на основе признака Коши.
Теорема Островского — Адамара
[править | править код]Для степенного ряда
- ,
у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов удовлетворяет
для некоторого фиксированного , круг с центром и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.
Литература
[править | править код]- ↑ 1 2 Фихтенгольц Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления — 2 том. — 8. — Москва: Физматлит, 2001-. — С. 557. — 864 с. — ISBN 5-9221-0157-9.
См. также
[править | править код]В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |