Круг сходимости

Круг сходимости степенного ряда $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ — это круг вида

$D=\{z:|z-z_{0}|<R\}$, $z\in \mathbb {C}$,

в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при $|z-z_{0}|>R$, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в множество, состоящее из одной точки $z_{0}$, когда $R=0$, и может совпадать со всей плоскостью переменного $z$, когда $R=\infty$.

Радиус сходимости

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда.

Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:

${1 \over R}={\varlimsup \limits _{n\rightarrow \infty }}\,|a_{n}|^{1/n}$

Эта формула выводится на основе признака Коши.

Теорема Островского — Адамара

Основная статья: Теорема Адамара о лакунах

Для степенного ряда

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}$,

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов $a_{k(i)}$ удовлетворяет

${\frac {k(i+1)}{k(i)}}>1+\delta$

для некоторого фиксированного $\delta >0$, круг с центром $z_{0}$ и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.

См. также

• Аналитическое продолжение