Круг сходимости

Основная статья: Степенной ряд

Круг сходимости степенного ряда

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$

— круг вида

$D=\{z:|z-z_{0}|<R\}$, $z\in \mathbb {C}$

в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, сколь угодно близко к границе (возможно, на самой окружности), существуют точки, в которых он расходится. Круг сходимости может вырождаться в пустое множество, когда $R=0$, и может совпадать со всей плоскостью переменного $z$, когда $R=\infty$. Также область сходимости может не совпадать с кругом, а совпадает она, например, в случае лакунарной функции.

Радиус сходимости

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда.

Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:

${1 \over R}={\varlimsup \limits _{n\rightarrow \infty }}\,|a_{n}|^{1/n}$

Эта формула выводится на основе признака Коши.

Теорема Адамара

Основная статья: en:Ostrowski-Hadamard gap theorem‎

Для степенного ряда

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}$,

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов $a_{k(i)}$ удовлетворяет

$\lim _{i\to \infty }{\frac {k(i+1)}{k(i)}}>1+\delta \,$

для некоторого фиксированного $\delta >0$, круг с центром $z_{0}$ и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.

См. также

• Аналитическое продолжение