Векторный анализ: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Спасено источников — 4, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.8.6 |
Нет описания правки |
||
(не показано 5 промежуточных версий 2 участников) | |||
Строка 14: | Строка 14: | ||
Наиболее часто применяемые векторные операторы: |
Наиболее часто применяемые векторные операторы: |
||
* [[Ротор (математика)|Ротор]] и [[дивергенция]] — для векторных полей. |
* [[Ротор (математика)|Ротор]] и [[дивергенция]] — для векторных полей. |
||
* [[Градиент |
* [[Градиент]] — для скалярных полей. |
||
* [[Лапласиан]] — для скалярных и векторных полей. |
|||
{| class="wikitable" style="text-align:center" |
{| class="wikitable" style="text-align:center" |
||
Строка 21: | Строка 22: | ||
|- |
|- |
||
![[Градиент]] |
![[Градиент]] |
||
| <math> \operatorname{grad}(f) = \nabla f </math> || Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля. || Скаляр <math>\ |
| <math> \operatorname{grad}(f) = \nabla f </math> || Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля. || Скаляр <math>\longrightarrow </math> вектор |
||
|- |
|- |
||
! [[Дивергенция]] |
! [[Дивергенция]] |
||
| <math> \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} </math> || Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля. || Вектор <math>\ |
| <math> \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} </math> || Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля. || Вектор <math>\longrightarrow </math> скаляр |
||
|- |
|- |
||
! [[Ротор (математика)|Ротор]] |
! [[Ротор (математика)|Ротор]] |
||
| <math> \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} </math> || Характеризует вихревую составляющую векторного поля. || Вектор <math>\ |
| <math> \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} </math> || Характеризует вихревую составляющую векторного поля. || Вектор <math>\longrightarrow </math> вектор |
||
|- |
|- |
||
! [[Лапласиан]] |
! [[Лапласиан]] |
||
| <math> \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f </math> || Сочетание дивергенции с градиентом. || Скаляр <math>\ |
| <math> \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f </math> || Сочетание дивергенции с градиентом. || Скаляр <math>\longrightarrow </math> скаляр |
||
|- |
|||
![[Векторный оператор Лапласа|Лапласиан векторный]] |
|||
|<math>{\displaystyle \Delta \mathbf {A} = |
|||
{\Delta }A_{x}\mathbf {i} + |
|||
{\Delta }A_{y}\mathbf {j} + |
|||
{\Delta }A_{z}\mathbf {k} } |
|||
</math><ref>В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984. Статья "Оператор Лапласа" и "Ротор векторного поля".</ref> |
|||
| |
|||
|Вектор <math>\longrightarrow </math> вектор |
|||
|} |
|||
<math> \operatorname{grad}(f)= \nabla f = |
|||
\frac{\partial f }{\partial x}\mathbf i+ |
|||
\frac{\partial f }{\partial y}\mathbf j+ |
|||
\frac{\partial f }{\partial z}\mathbf k </math> |
|||
<math> \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} = |
|||
\frac{\partial F_x}{\partial x} |
|||
+\frac{\partial F_y}{\partial y} |
|||
+\frac{\partial F_z}{\partial z} </math> |
|||
<math> \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}= |
|||
\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ |
|||
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ |
|||
F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}= |
|||
\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf i+ |
|||
\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf j+ |
|||
\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf k </math> |
|||
<math> \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f = |
|||
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} |
|||
+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} |
|||
+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} </math> |
|||
<math>\Delta \mathbf{A} = |
|||
{\Delta }A_{x}\mathbf {i} + |
|||
{\Delta }A_{y}\mathbf {j} + |
|||
{\Delta }A_{z}\mathbf {k} = |
|||
\biggl(\frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2} |
|||
+\frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} |
|||
+\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf i+ |
|||
\biggl(\frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} |
|||
+\frac{\partial^2 A_y}{\partial y^2} |
|||
+\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf j+ |
|||
\biggl(\frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} |
|||
+\frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} |
|||
+\frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2}\Biggr)\mathbf k |
|||
</math> |
|||
== Дифференциальные операции второго порядка == |
|||
{| class="wikitable" |
|||
|+ |
|||
! |
|||
!Скалярное поле <math>f=f(x,y,z)</math> |
|||
! colspan="2" |Векторное поле <math>\mathbf{A} = |
|||
A_{x}\mathbf {i} + |
|||
A_{y}\mathbf {j} + |
|||
A_{z}\mathbf {k} |
|||
</math> |
|||
|- |
|||
| |
|||
|<math> \operatorname{grad} </math> |
|||
|<math> \operatorname{div} </math> |
|||
|<math> \operatorname{rot} </math> |
|||
|- |
|||
|<math> \operatorname{grad} </math> |
|||
| |
|||
|<math> \operatorname{grad} \operatorname{div} (\mathbf{A})=\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf{A}) </math> |
|||
| |
|||
|- |
|||
|<math> \operatorname{div} </math> |
|||
|<math> \operatorname{div}\operatorname{grad}(f)=\nabla \cdot \nabla f=\nabla^2 f=\Delta f </math> |
|||
| |
|||
|<math> \operatorname{div}\operatorname{rot}(\mathbf{A})=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})=0 </math> |
|||
|- |
|||
|<math> \operatorname{rot} </math> |
|||
|<math> \operatorname{rot}\operatorname{grad}(f)=\nabla \times (\nabla f)=0 </math> |
|||
| |
|||
|<math> \operatorname{rot}\operatorname{rot}(\mathbf{A})=\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})= |
|||
\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf{A}) - (\nabla \cdot \nabla) \cdot \mathbf{A}= |
|||
\operatorname{grad} \operatorname{div} \mathbf{A} - \Delta \mathbf{A} </math> |
|||
|} |
|} |
||
Указанные операции называются дифференциальными операциями второго порядка по той причине, что они сводятся к двукратному дифференцированию скалярных или векторных функций (формально: в их символической записи оператор Гамильтона <math>\Delta |
|||
</math> встречается два раза).<ref>В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984. Статья "Дифференциальные операции второго порядка".</ref> |
|||
== Основные соотношения == |
== Основные соотношения == |
||
Строка 82: | Строка 166: | ||
* ''Мак-Коннел А. Дж.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Mak-Konnel1963ru.djvu Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике.] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Mak-Konnel1963ru.djvu |date=20140227152944 }} М.: [[Физматлит]], 1963, 411 с. |
* ''Мак-Коннел А. Дж.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Mak-Konnel1963ru.djvu Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике.] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Mak-Konnel1963ru.djvu |date=20140227152944 }} М.: [[Физматлит]], 1963, 411 с. |
||
* ''[[Фихтенгольц Г. М.]]'' Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — {{М}}: [[Наука (издательство)|Наука]], 1966. |
* ''[[Фихтенгольц Г. М.]]'' Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — {{М}}: [[Наука (издательство)|Наука]], 1966. |
||
* В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984. |
|||
== Примечания == |
|||
{{примечания}} |
|||
== Ссылки == |
== Ссылки == |
Текущая версия от 14:51, 22 июня 2024
Ве́кторный ана́лиз — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы, как правило в двух- или трёхмерном пространстве.
Сфера применения
[править | править код]Объектами приложения векторного анализа являются:
- Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое.
- Скалярные поля — функции на векторном пространстве.
Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными:
- Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись.
- Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат.
- Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и наглядное физическое истолкование.
Векторные операторы
[править | править код]Наиболее часто применяемые векторные операторы:
- Ротор и дивергенция — для векторных полей.
- Градиент — для скалярных полей.
- Лапласиан — для скалярных и векторных полей.
Оператор | Обозначение | Описание | Тип |
---|---|---|---|
Градиент | Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля. | Скаляр вектор | |
Дивергенция | Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля. | Вектор скаляр | |
Ротор | Характеризует вихревую составляющую векторного поля. | Вектор вектор | |
Лапласиан | Сочетание дивергенции с градиентом. | Скаляр скаляр | |
Лапласиан векторный | [1] | Вектор вектор |
Дифференциальные операции второго порядка
[править | править код]Скалярное поле | Векторное поле | ||
---|---|---|---|
Указанные операции называются дифференциальными операциями второго порядка по той причине, что они сводятся к двукратному дифференцированию скалярных или векторных функций (формально: в их символической записи оператор Гамильтона встречается два раза).[2]
Основные соотношения
[править | править код]Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.
Теорема | Запись | Пояснения |
---|---|---|
Теорема о градиенте | Криволинейный интеграл от градиента скалярного поля равен разности значений поля в граничных точках кривой. | |
Теорема Грина | Криволинейный интеграл по замкнутому плоскому контуру может быть преобразован в двойной интеграл по области, ограниченной контуром. | |
Теорема Стокса | Поверхностный интеграл от ротора векторного поля равен циркуляции по границе этой поверхности. | |
Теорема Остроградского — Гаусса | Объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через граничную поверхность. |
Исторический очерк
[править | править код]Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием в 1843 г. кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). В двух монографиях (1853, 1866 посмертно) Гамильтон ввёл понятие вектора и вектор-функции, описал дифференциальный оператор («набла», 1846) и многие другие понятия векторного анализа. Он определил в качестве операций над новыми объектами скалярное и векторное произведения, которые для кватернионов получались чисто алгебраически (при обычном их умножении). Гамильтон ввёл также понятия коллинеарности и компланарности векторов, ориентации векторной тройки и др.
Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла (1873), заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид. Примечательно, что уже в работах Максвелла кватернионная терминология почти отсутствует, фактически заменённая на чисто векторную. Термин «векторный анализ» предложил Гиббс (1879) в своём курсе лекций.
См. также
[править | править код]Литература
[править | править код]- Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205—234.
- Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
- Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
- Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Архивная копия от 27 февраля 2014 на Wayback Machine Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
- Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. Архивная копия от 27 февраля 2014 на Wayback Machine М.: Физматлит, 1963, 411 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.
- В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984.
Примечания
[править | править код]- ↑ В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984. Статья "Оператор Лапласа" и "Ротор векторного поля".
- ↑ В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984. Статья "Дифференциальные операции второго порядка".
Ссылки
[править | править код]- Л. И. Коваленко, Элементы векторного анализа — МФТИ 2001 (pdf) Архивная копия от 23 мая 2006 на Wayback Machine
- Статья по векторному анализу на Astronet Архивная копия от 16 мая 2005 на Wayback Machine