Eulerjeva funkcija fi: Razlika med redakcijama

Izbrisana vsebina Dodana vsebina

Znotrajvrstično

Redakcija: 11:33, 16. januar 2009

Eulerjeva fúnkcija φ(n) [òjlerjeva ~ fí] je v teoriji števil multiplikativna aritmetična funkcija poljubnega pozitivnega celega števila n in da skupno število pozitivnih celih števil, ki ne presegajo n, in so n tuja. Ali drugače rečeno, ki so manjša od n in so n relativno praštevila. Na primer, φ(8) = 4, ker so štiri števila, 1, 3, 5 in 7 tuja številu 8. Funkcijo je uvedel in raziskoval švicarski matematik Leonhard Euler in se imenuje po njem. Funkciji rečejo tudi kar Eulerjeva funkcija. Angleški matematik James Joseph Sylvester je zanjo leta 1882 uvedel ime »totientna funkcija«, kjer je »totient« sestavljenka iz totalni in kvocient..

Eulerjeva funkcija fi je pomembna predvsem, ker da velikost multiplikativne grupe celih števil po modulu n, oziroma natančneje, φ(n) je kardinalno število enotskih grup kolobarja Z/nZ. To dejstvo skupaj z Lagrangeevim izrekom zagotovi dokaz Eulerjevega izreka.

Če je n sámo praštevilo p, velja φ(p) = p - 1.

Primer: φ(19) = 19 - 1 = 18.

Če je n = p^m (m ≥ 1) potenca kakega praštevila, velja:

\varphi (n)=\varphi (p^{m})=p^{m}-p^{m-1}=p^{m-1}(p-1)\!\,.

Primer: φ(16) = φ( 2⁴) = 2⁴ - 2³ = 16 - 8 = 8, oziroma: φ(16) = φ(2⁴) = 2³ · (2 - 1) = 8 · 1 = 8.

Če sta si a in b tuji števili, je funkcija multiplikativna in velja:

\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)\!\,.

Primer: φ(15) = φ(3) · φ(5) = 2 · 4 = 8.

Obe zgornji lastnosti lahko združimo v:

\varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{1 \over p}\right)\!\,.

Primer: φ(2004) = φ(2² · 3 · 167) = 2004 · (1 - 1/2) · (1 - 1/3) · (1 - 1/167) = 664;

$\varphi (n)$	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
0+		1	1	2	2	4	2	6	4	6
10+	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18
20+	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28
30+	8	30	16	20	16	24	12	36	18	24
40+	16	40	12	42	20	24	22	46	16	42
50+	20	32	24	52	18	40	24	36	28	58
60+	16	60	30	36	32	48	20	66	32	44
70+	24	70	24	72	36	40	36	60	24	78
80+	32	54	40	82	24	64	42	56	40	88
90+	24	72	44	60	46	72	32	96	42	60

Ta matematični članek je škrbina. Pomagajte Wikipediji in ga razširite.

@@ Vrstica 6: / Vrstica 6: @@
 == Računanje Eulerjeve funkcije φ(''n'') ==
 === Praštevila ===
@@ Vrstica 19: / Vrstica 18: @@
 : <math> \varphi(n) = \varphi(p^{m}) = p^{m} - p^{m-1} = p^{m-1}(p-1) \!\, . </math>
-Primer: φ(16) = φ( 2<sup>4</sup>) = 2<sup>4</sup> - 2<sup>3</sup> = 16 - 8 = 8, oziroma: φ(16) = φ(2<sup>4</sup>) = 2<sup>3</sup> &middot; (2 - 1) = 8 &middot; 1 = 8.
+Primer: φ(16) = φ( 2<sup>4</sup>) = 2<sup>4</sup> - 2<sup>3</sup> = 16 - 8 = 8, oziroma: φ(16) = φ(2<sup>4</sup>) = 2<sup>3</sup> · (2 - 1) = 8 · 1 = 8.
 === Tuja števila ===
@@ Vrstica 27: / Vrstica 26: @@
 : <math> \varphi(a b) = \varphi(a)\varphi(b) \!\, . </math>
-Primer: φ(15) = φ(3) &middot; φ(5) = 2 &middot; 4 = 8.
+Primer: φ(15) = φ(3) · φ(5) = 2 · 4 = 8.
 Obe zgornji lastnosti lahko združimo v:
@@ Vrstica 33: / Vrstica 32: @@
 : <math> \varphi(n) = n \prod_{p | n} \left(1 - {1\over p} \right) \!\, . </math>
-Primer: φ(2004) = φ(2<sup>2</sup> &middot; 3 &middot; 167) = 2004 &middot; (1 - 1/2) &middot; (1 - 1/3) &middot; (1 - 1/167) = 664;
+Primer: φ(2004) = φ(2<sup>2</sup> · 3 · 167) = 2004 · (1 - 1/2) · (1 - 1/3) · (1 - 1/167) = 664;
 == Druge lastnosti ==
 == Rodovna funkcija ==
 == Obnašanje funkcije ==
 == Nekatere vrednosti funkcije ==
@@ Vrstica 77: / Vrstica 73: @@
 | 24 || 72 || 44 || 60 || 46 || 72 || 32 || 96 || 42 || 60
 |}
 {{math-stub}}