Në llogaritjen vektoriale, divergjenca është një operator vektorial që vepron mbi një fushë vektoriale, duke prodhuar një fushë skalare që jep madhësinë e burimit të fushës vektoriale në secilën pikë. Më teknikisht, divergjenca përfaqëson dëndësinë e vëllimit të fluksit të jashtëm të një fushe vektoriale nga një vëllim pambarimisht i vogël rreth një pike të caktuar.

A vector field with diverging vectors, a vector field with converging vectors, and a vector field with parallel vectors that neither diverge nor converge
Divergjenca e fushave të ndryshme vektoriale. Divergjenca e vektorëve nga pika është e barabartë me shumën e derivatit të pjesshëm - në lidhje me - të komponentit dhe derivatit të pjesshëm - në lidhje me - - të komponentit në atë kohë pika:

Si shembull, merrni parasysh ajrin ndërsa nxehet ose ftohet. Shpejtësia e ajrit në çdo pikë përcakton një fushë vektoriale. Ndërsa ajri nxehet në një rajon, ai zgjerohet në të gjitha drejtimet, dhe kështu fusha e shpejtësisë tregon jashtë nga ai rajon. Kështu, divergjenca e fushës së shpejtësisë në atë rajon do të kishte një vlerë pozitive. Ndërsa ajri ftohet dhe kështu tkurret, divergjenca e shpejtësisë ka një vlerë negative.

E ç'është divergjenca?

Redakto
 
Divergjenca në një pikë   është limiti i raportit të fluksit   përmes sipërfaqes   (shigjeta të kuqe) tek vëllimi   për çdo varg të rajoneve të mbyllura   që mbyllin   i cili i afrohet vëllimit zero:
 

Divergjenca e një fushe vektoriale   në një pikë   përcaktohet si kufiri i raportit të integralit të sipërfaqes së   jashtë sipërfaqes së mbyllur të një vëllimi   që mbyll   me vëllimin e  , ndërsa   tkurret në zero


 

ku   është vëllimi i  ,   është kufiri i  , and   është normalja njësi e asaj sipërfaqe. IMund të tregohet se limiti i mësipërm konvergjon gjithmonë drejt së njëjtës vlerë për çdo sekuencë vëllimesh që përmbajnë   dhe i afrohen zeros. Rezultati,  , është një funksion skalar i  .

Përkufizimi në koordinata

Redakto

Koordinatat karteziane

Redakto

Në koordinatat karteziane tredimensionale, divergjenca e një fushe vektoriale vazhdimisht të diferencueshme   përkufizohet si funksioni me vlera skalare :

 

Koordinatat cilindrike

Redakto

Për një vektor të shprehur në koordinata cilindrike njësi si

 

ku   është vektori njësi në drejtimin a, divergjenca është

 

Përdorimi i koordinatave vendore është jetik për vlefshmërinë e shprehjes. Nëse marrim parasysh   si vektorin e vendndodhjes dhe funksionet  ,   dhe  , të cilët i caktojnë një vektori koordinatën cilindrike globale përkatëse, në përgjithësi.  ,  , dhe   . Në veçanti, nëse marrim parasysh funksionin e identitetit  , gjejmë se:

  .

Koordinatat sferike

Redakto

koordinatat sferike, me   këndin me boshtin   dhe   rrotullimin rreth boshtit  , dhe   përsëri të shkruar në koordinatat e njësive vendore, divergjenca është:

 

Vetitë

Redakto

Vetitë e mëposhtme mund të nxirren të gjitha nga rregullat e zakonshme të diferencimit të llogaritjes . Më e rëndësishmja, divergjenca është një operator linear, dmth.

 

për të gjitha fushat vektoriale   dhe   dhe të gjithë numrat realë   dhe   .

Ekziston një rregull produkti i llojit të mëposhtëm: nëse   është një funksion me vlera skalare dhe   është një fushë vektoriale, atëherë

 

ose në shënime më sugjestive

 

Një rregull tjetër produkti për produktin kryq të dy fushave vektoriale   dhe   në tre dimensione përfshin kaçurrelin dhe lexon si më poshtë:

 

ose

 

Laplasiani i një fushe skalare është divergjenca e gradientit të fushës:

 

Divergjenca e kaçurrelit të çdo fushe vektoriale (në tre dimensione) është e barabartë me zero: