Galoisutvidgning

Den utskrivbara versionen stöds inte längre och kanske innehåller renderingsfel. Uppdatera din webbläsares bokmärken och använd standardutskriftsfunktionen istället.

Inom matematiken är en Galoisutvidgning en algebraisk kroppsutvidgning E/F som är normal och separabel. Galoisutvidgningar är viktiga eftersom en sådan utvidgning har en Galoisgrupp och uppfyller Galoisteorins fundamentalsats.

Karakteriseringar av Galoisutvidgningar

En viktig sats av Emil Artin säger att för en ändlig utvidgning E/F är följande tre villkor ekvivalenta med att E/F är en Galoisutvidgning:

E/F är en normal och separabel utvidgning.
E är en splittringskropp för ett separabelt polynom med koefficienter i F.
[E:F] = |Aut(E/F)|; med andra ord är graden av kroppsutvidgningen lika med ordningen av automorfigruppen av E/F.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Galois extension, 30 maj 2014.

Emil Artin (1998). Galois Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-62342-4. (Reprinting of second revised edition of 1944, The University of Notre Dame Press).
Jörg Bewersdorff (2006). Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3817-2. .
Harold M. Edwards (1984). Galois Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90980-X. (Galois' original paper, with extensive background and commentary.)
Funkhouser, H. Gray (1930). ”A short account of the history of symmetric functions of roots of equations”. American Mathematical Monthly (The American Mathematical Monthly, Vol. 37, No. 7) 37 (7): sid. 357–365. doi:10.2307/2299273.
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), ”Galois theory”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
Nathan Jacobson (1985). Basic Algebra I (2nd ed). W.H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9. (Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)
Janelidze, G.; Borceux, Francis (2001). Galois theories. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80309-0 (This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4
M. M. Postnikov (2004). Foundations of Galois Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0.
Joseph Rotman (1998). Galois Theory (2nd edition). Springer. ISBN 0-387-98541-7.
Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56280-5
van der Waerden, Bartel Leendert (1931) (på tyska). Moderne Algebra. Berlin: Springer . English translation (of 2nd revised edition): Modern algebra. New York: Frederick Ungar. 1949. (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)
Pop, Florian (2001). ”(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic”. (Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic. http://www.math.upenn.edu/~pop/Research/files-Res/Japan01.pdf