Percentatge

Un percentatge és una forma d'expressar una proporció o fracció com a fracció de denominador 100, és a dir, com a quantitat de centèsimes. L'expressió "45%" ("45 per cent") és el mateix que la fracció 45/100 o que el nombre decimal 0,45.

Anotació del percentatge al s.XVIII.

Anotació del percentatge al s.XVII.

Anotació del percentatge al s.XV.

Un percentatge pot ésser major de 100. Per exemple, el 200% d'un nombre és el doble del mateix nombre, o un increment del 100%. Un increment del 200% en canvi donaria com a resultat el triple de la quantitat inicial, moment en el que ens adonem de la diferència de la relació existent entre augment percentual i del producte.

Els percentatges s’utilitzen per expressar com de gran o de petita és una quantitat comparant-la amb una altra quantitat. Normalment la primera quantitat representa una part de, o un canvi de la segona quantitat que ha de ser major que zero. Per exemple un increment de $ 0.15 en un preu de $ 2.50 és un increment de la fracció de 0.15 / 2.50 = 0.06. Expressat com a percentatge és un increment d’un 6%. Malgrat que els percentatges que s’utilitzen habitualment són nombres entre zero i u, no tenen dimensió. La proporcionalitat es pot expressar com un percentatge. Per exemple, 111% és 1.11 i -0.35% és -0.0035.

Exemples

• "El 45% de la població humana..." és equivalent a "45 de cada 100 persones..."
• "200% d'un nombre" és equivalent al "doble del mateix nombre" que alhora és el mateix que "un increment del 100% del nombre".

El símbol

El símbol "%" és una forma estilitzada dels dos zeros. Aquest va evolucionar a partir d'un símbol similar només que es representava per una línia horitzontal en comptes de la diagonal (any 1650) que alhora provenia d'un símbol representat per "P cento (any 1425).

Proporció

Els percentatges s’utilitzen per expressar parts del total. Per exemple, 25% significa 25 / 100, o una quarta part, d’un determinat total. Existeixen els percentatges majors (com per exemple "una família ha de guanyar com a a mínim 125% per sobre de la línea de la pobresa per tenir una visa").

Càlculs

El concepte fonamental a recordar quan es fan càlculs amb percentatges és que el símbol de tant per cent es pot tractar com la constant $1/100=0.01$. , per exemple el 35% de 300 es pot escriure com (35 / 100) × 300 = 105. Per trobar el tant per cent d’una unitat en un conjunt total d’N unitats cal dividir 100% per N. Per exemple, si es tenen 1250 pomes i es vol trobar quin percentatge d’aquestes 1250 pomes representa una única poma, 100% / 1250 = (100 / 1250)% que dóna 0.08%. Per calcular el percentatge d’un altre percentatge, s’han de convertir tots dos a fraccions de 100 o a nombres decimals i multiplicar-los. Per exemple, el 50% de 40% és: :(50 / 100) × (40 / 100) = 0.50 × 0.40 = 0.20 = 20 / 100 = 20%. No és correcte dividir per 100 i utilitzar el signe de tant per cent al mateix temps. (E.g. 25% = 25 / 100 = 0.25, no 25% / 100, sino (25 / 100) / 100 = 0.0025.)

Problemes d’exemple

Quan es parla de percentatges, és important especificar a què ens estem referint, és a dir quin és el total que es correspon al 100%. El següent problema il•lustra aquest fet: en un determinat col•legi el 60% del total d’estudiants són noies i el 10% de tots els estudiants són estudiants d’informàtica. Si el 5% de les noies són estudiants d’informàtica, quin percentatge d’estudiants d’informàtica són noies? Es demana calcular la raó entre el nombre d’estudiants noies d’informàtica i el nombre total d’estudiants d’informàtica. Se sap que el 60% del total d’estudiants són noies, i entre aquestes el 5% són estudiants d’informàtica, per tant es pot concloure que (60 / 100) × (5/100) = 3/100 o 3% de totes les noies estudiants d’informàtica. Dividint-ho pel 10% de tots els estudiants d’informàtica s’arriba a la resposta: 3% / 10% = 30 / 100 o 30% són noies. Aquest exemple està molt relacionat amb el concepte de probabilitat condicionada. D’altres exemples:

1. Quin és el 200% de 30?

   Resposta: 200% × 30 = (200 / 100) × 30 = 60.

2. Quin és el 13% de 98?

   Resposta: 13% × 98 = (13 / 100) × 98 = 12.74.

3. 60% de tots els estudiants universitaris són homes. Hi ha 2400 estudiants homes. Quants estudiants hi ha a la universitat?

   Resposta: 2400 = 60% × X, per tant X = (2400 / (60 / 100)) = 4000.

4. Al poble hi ha 300 gats i 75 són negres. Quin tant per cent de gats negres hi ha a la ciutat? #:Resposta: 75 = X% × 300 = (X / 100) × 300, per tant X = (75 / 300) × 100 = 25, i llavors X% = 25%.
5. El nombre d’estudiants a la universitat ha pujat de 4125 que hi havia el curs passat a 4620, un increment de 495 estudiants. Quin és l’increment percentual?

   Resposta: 495 = X% × 4125 = (X / 100) × 4125, per tant X = (495 / 4125) × 100 = 12, i llavors X% = 12%.

Altres usos

Termes utilitzats en els mitjans de comunicació així com en l’àmbit esportiu com 'Els jugadors han donat aquesta nit el 110% en el terreny de joc' no tenen cap sentit en l’àmbit de les matemàtiques. Sovint s’utilitza erróneament la paraula "percentatge" en l’àmbit de les estadístiques esportives, quan el nombre al qual es refereix s’expressa com un proporció decimal i no com un percentatge: "El Phoenix Suns' Shaquille O'Neal anava primer de la NBA amb un percentatge d’efectivitat .609 durant la temporada 2008-09." (O'Neal va ficar el 60.9% dels seus llançaments, no 0.609%.) Probablement la pràctica està relacionada de manera similar que es veu en les estadístiques dels batejadors. També s’utilitza el percentatge per a descriure el pendent d’una carretera que puja o baixa. Els signes percentuals també es poden utilitzar per fer que alguna cosa sembli més oficial i creïble.

Percentatges per incrementar i disminuir

Algunes vegades degut a un us erroni, no queda clar a partir del context a què és refereix el percentatge. Quan es parla d’una "pujada del 10% " o una "baixada del 10% " d’una quantitat, la interpretació usual és que es refereix al valor inicial d’aquesta quantitat. Per exemple, si un objecte tenia un preu inicial de $200 i el preu puja un 10% (un increment de $20), el nou preu serà $220. Cal notar que el preu final és un 110% del preu inicial (100% + 10% = 110%). D’altres exemples de canvis percentuals:

• un increment de 100% en una quantitat significa que la quantitat final és el 200% de la quantitat inicial (100% de l’inicial + 100% de l’inicial = 200% de l’inicial); dit d’una altra manera, la quantitat s’ha doblat.
• un increment del 800% significa que la quantitat final és 9 vegades l’original (100% + 800% = 900% = 9 vegades més gran).
• Una rebaixa del 60% significa que la quantitat final és el 40% de l’original (100% − 60% = 40%).
• Una rebaixa del 100% significa que la quantitat final és zero (100% − 100% = 0%). En general, un canvi de $x$ percent en una quantitat resulta que la quantitat final és $100+x$ percent de la quantitat inicial (equivalentment, $1+0.01x$ vegades la quantitat inicial). És important entendre que canvis en el percentatge, tal i com ha estat discutit aquí, no afegeix de la manera habitual, si s’apliquen sequencialment. Per exemple, si el 10% d’increment en el preu de que s’ha parlat anteriorment (en l’objecte de $200, pujava el seu preu a $220) és seguit d’una rebaixa del 10% en el preu (una rebaixa de $22), el preu final serà $198, no el preu inicial de $200. La raó per l’aparent discrepància és que els dos canvis percentuals (+10% i−10%) es mesuren relativament a quantitats diferents ($200 i $220, respectivament), i per tant no es "cancel•len". En general, si un increment percentual de $x$ és seguit per una rebaixa de $x$ percent, i la quantitat inicial era $p$, la quantitat final serà $p((1+0.01x)(1-0.01x))=p(1-(0.01x)^{2})$ ja que el canvi net és overall decreixement de $x$ percent of $x$ percent (l’arrel del canvi percentual original quan s’expresa com a nombre decimal). Per tant, en l’exemple anterior, després d’un increment i una rebaixa de $x=10$ percent, la quantitat final $198, era el 10% del 10%, o 1%, menys que la quantitat inicial de $200. Això es pot generalitzar pel cas en el que no es té el mateix percentatge de canvi. Si el percentatge inicial de canvi és $x$ i la segona quantitat és $y$, i la quantitat inicial era $p$, llavors la quantitat final és $p((1+0.01x)(1+0.01y))$. Per aplicar l’exemple anterior, després d’un increment de $x=10$ i una rebaixa de $y=-5$ percent, la quantitat final, $209, que és 4.5%, més que la quantitat de $200. En el cas d’taxes d’interès, és una pràctica habitual posar el canvi percentual d’una altra manera. Si una taxa d’interès puja de 10% a 15%, per exemple, és típic dir, "La taxa d’interès s’ha incrementat un 5%" — en lloc d’un 50%, que és el que seria correcte quan es mesura com a percentatge de la taxa inicial (i.e., de 0.10 a 0.15 hi ha un increment de 50%). Aquesta ambigüitat es pot evitar utilitzant el terme "punts percentuals". En l’exemple anterior, la taxa d’interès s’ha "incrementat en 5 punts percentuals de 10% a 15%. Si la taxa baixa 5 punts percentuals, tornarà a la taxa inicial del 10%, com era d’esperar.

Vegeu també

• Punt percentual
• Per mil (‰) 1 part entre 1,000
• Basis point (‱) 1 part entre 10,000
• Per cent mille (pcm) 1 part entre 100,000
• Part per milió
• Percentatge Baker
• Concentració
• Pendent (matemàtiques)
• Percentatge en Volum

Enllaços externs

• percent-change.com percent change calculator (anglès)
• Express learning - percentages BBC raw money (anglès)
• Percentage Calculator(anglès)
• Percent Calculator(anglès)