Vícerozměrný integrál

Vícerozměrný integrál je a určitý integrál reálné funkce více proměnných na dané množině. Zapisuje se $\int \cdots \int _{\mathbf {M} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}$, kde funkce $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ se nazývá integrand a $\mathbf {M}$ je daná vhodná množina. Tento zápis se často zkracuje na $\int _{\mathbf {M} }\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .$

Vícerozměrný integrál je různý pojem od vícenásobný integrál, tedy od postupné integrace po složkách, neboť vícenásobné integrály mohou existovat i pro neintegrovatelné funkce.

Vícerozměrný integrál se často vyčísluje pomocí Fubiniovy věty a substituce souřadnic.

Definice

Motivace

Dvojný integrál jako objem pod plochou.

Často je nutno udělat součet hodnot nějaké funkce na vícerozměrné množině. Například objem nějakého tělesa, hmotnost tělesa s nekonstantní hustotou, energii nějakého pole. Takovým součtem je právě vícerozměrný integrál.

Dvojný integrál na obdélníku

Pro $n>1$ mějme funkci $f:\mathbf {I} =\left\langle a_{1},b_{1}\right\rangle \times \left\langle a_{2},b_{2}\right\rangle \times \cdots \times \left\langle a_{n},b_{n}\right\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}$.

Rozdělíme-li každý z intervalů $\left\langle a_{i},b_{i}\right\rangle$ na konečnou množinu disjunktních podintervalů $\left\langle a_{i,j},b_{i,j}\right\rangle$, získáme dělení n-rozměrného intervalu na systém intervalů $\mathbf {I} _{j}=\left\langle a_{1,j},b_{1,j}\right\rangle \times \left\langle a_{2,j},b_{2,j}\right\rangle \times \cdots \times \left\langle a_{n,j},b_{n,j}\right\rangle$, pro které platí $I=I_{1}\cup I_{2}\cup \cdots \cup I_{m}$.

(n+1)-rozměrný objem pod n-rozměrnou plochou (grafem funkce $f$) na intervalu $I\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ můžeme aproximovat Riemannovým součtemː

$\sum _{k=1}^{m}f(X_{k})\,\operatorname {\sigma } (I_{k})$,

kdeX_k jje prvek intervalu I_k and σ(I_k) je míra intervalu I_k (tedy součin délek jednotlivých jednorozměrných intervalů $\left\langle a_{i},b_{i}\right\rangle$) .

Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná, jestliže existuje konečná limita přes všechny možné dělení intervalu I na podintervaly míry maximálně δ:

$S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(X_{k})\,\operatorname {\sigma } (C_{k})$.

Jestliže je f is Riemannovsky integrovatelná, tak S se nazývá (vícerozměrný) Riemannův integral funkce f na intervalu I a píše se

$\int \cdots \int _{I}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}$.

Na měřitelné množině

Buď funkce $f$ omezená na neprázdné měřitelné množině $\mathbf {M} \subseteq \mathbb {R} ^{2}$. Řekneme, že funkce $f$ je na množině $\mathbf {M}$ (Riemannovsky) integrovatelná, je-li funkce $\mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }$ definovaná předpisem $\left(\mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }\right)\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\begin{cases}f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right),&{\mbox{pro }}x\in \mathbf {M} \\0,&{\mbox{pro }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbf {M} \end{cases}}$ integrovatelná na nějakém uzavřeném vícerozměrném intervalu $\mathbf {J} \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ takovém, že $\mathbf {M} \subseteq \mathbf {J}$.

Vícenásobným (Riemannovým) integrálem funkce $f$ na množině $\mathbf {M}$ pak rozumíme číslo $\int \cdots \int _{\mathbf {M} }\,f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}=\int \cdots \int _{\mathbf {J} }\,\left(\mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }\right)f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}$.

Pro prázdnou množinu definujeme $\int \cdots \int _{\emptyset }\,f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}=0$ pro každou funkci $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$.

Speciální případy

V případě, že $M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, tak $\iint _{M}f(x,y)\,dx\,dy$ se nazývá dvojný integrál funkce f na M, dále pro $M\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ je $\iiint _{M}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$ trojný integrál funkce f na M.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Multiple integral na anglické Wikipedii.

Související články

• parciální derivace
• diferenciál