Gerade und ungerade Funktionen
Gerade und ungerade Funktionen sind in der Mathematik zwei Klassen von Funktionen, die bestimmte Symmetrieeigenschaften aufweisen. Eine reelle Funktion ist genau dann gerade, wenn ihr Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-Achse ist und ungerade, wenn ihr Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. In der Schulmathematik gehört die Untersuchung eines Funktionsschaubildes auf diese Symmetrien hin zu den ersten Schritten einer Kurvendiskussion.
Definition
Eine reelle Funktion mit einem bezüglich der Null symmetrischen Definitionsbereich heißt gerade, wenn für alle Argumente
gilt und sie heißt ungerade, wenn für alle
gilt. Anschaulich ist eine reelle Funktion genau dann gerade, wenn ihr Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-Achse ist und ungerade, wenn ihr Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.
Beispiele
Gerade Funktionen
- die konstante Funktion
- die Betragsfunktion
- die Normalparabel
- die Kosinusfunktion
- der Kosinus hyperbolicus
- die Gaußsche Glockenkurve
Ungerade Funktionen
- die Vorzeichenfunktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle f(x) = \operatorname{sign}(x)}
- die identische Funktion
- die kubische Funktion
- die Sinusfunktion
- der Sinus hyperbolicus
- die Gaußsche Fehlerfunktion
Die einzige Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, ist die Nullfunktion .
Allgemeinere Beispiele
- Eine Potenzfunktion mit geradem Exponenten ist gerade und mit ungeradem Exponenten ungerade.
- Eine Polynomfunktion ist genau dann gerade, wenn alle ungeradzahligen Koeffizienten gleich null sind, und genau dann ungerade, wenn alle geradzahligen Koeffizienten gleich null sind.
Zerlegung
Es gibt auch Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind. Jede Funktion lässt sich jedoch als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben, das heißt
- ,
wobei
den geraden Anteil der Funktion und
den ungeraden Anteil der Funktion darstellt.
Eigenschaften
Algebraische Eigenschaften
- Jedes Vielfache einer geraden bzw. ungeraden Funktion ist wieder gerade bzw. ungerade.
- Die Summe zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
- Die Summe zweier ungerader Funktionen ist wieder ungerade.
- Das Produkt zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
- Das Produkt zweier ungerader Funktionen ist gerade.
- Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade.
- Die Komposition einer beliebigen Funktion mit einer geraden Funktion ist gerade.
- Die Komposition einer ungeraden Funktion mit einer ungeraden Funktion ist ungerade.
Analytische Eigenschaften
- Im Nullpunkt hat (sofern dieser im Definitionsbereich enthalten ist) jede ungerade Funktion den Funktionswert Null.
- Die Ableitung einer geraden differenzierbaren Funktion ist ungerade, die Ableitung einer ungeraden differenzierbaren Funktion gerade.
- Das bestimmte Integral einer ungeraden integrierbaren Funktion ergibt , wenn die Integrationsgrenzen symmetrisch um den Nullpunkt liegen.
- Die Taylor-Reihe mit dem Entwicklungspunkt einer geraden (ungeraden) Funktion enthält nur gerade (ungerade) Potenzen.
- Die Fourier-Reihe einer geraden (ungeraden) Funktion enthält nur Kosinus- (Sinus-)Terme.
Verallgemeinerungen
Allgemeiner definiert man in der Algebra durch obige Definition auch gerade und ungerade Funktionen zwischen zwei Mengen und , auf denen eine Verknüpfung mit additiv Inversem gegeben ist, beispielsweise (additive) Gruppen, Ringe, Körper oder Vektorräume. Auf diese Weise lassen sich so auch gerade und ungerade komplexe Funktionen oder gerade und ungerade vektorwertige Funktionen definieren.
In der mathematischen Physik wird das Konzept der geraden und ungeraden Funktionen durch den Begriff der Parität verallgemeinert. Diese ist vor allem für Wellenfunktionen etwa in der Quantenmechanik von Bedeutung.
Literatur
- Marc Hensel: Kurvendiskussion. Lern- und Übungsbuch für die Abiturprüfung Mathematik. 1. Auflage. Books on Demand, Norderstedt 2010, ISBN 978-3-8391-4025-3.
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-12231-6.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Even Function. In: MathWorld (englisch).
- Eric W. Weisstein: Odd Function. In: MathWorld (englisch).
- yark, matte, Cam McLeman: Even and odd functions. In: PlanetMath. (englisch)
- Einfache Erläuterung der Kurvendiskussion mit Symmetrieuntersuchung für eine rationale Funktion
- Exemplarische Kurvendiskussion bei MathePlanet