„Gerade und ungerade Funktionen“ – Versionsunterschied
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[[Datei:Parabola2.svg|mini|Die [[Normalparabel]] <math>f(x) = x^2</math> ist ein Beispiel für eine gerade Funktion.]]
[[Datei:Function x3.svg|mini|Die [[kubische Funktion]] <math>f(x) = x^3</math> ist ein Beispiel für eine ungerade Funktion.]]
'''Gerade und ungerade Funktionen''' sind in der [[Mathematik]] zwei Klassen von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], die bestimmte [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrieeigenschaften]] aufweisen
* * ungerade, wenn ihr Funktionsgraph [[Symmetrie (Geometrie)#Punktsymmetrie von Funktionsgraphen|punktsymmetrisch]] zum [[Koordinatenursprung]] ist. In der [[Schulmathematik]] gehört die Untersuchung eines Funktionsschaubildes auf diese Symmetrien hin zu den ersten Schritten einer [[Kurvendiskussion]]. == Definition ==
Eine reelle [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f \colon D \to \R</math> mit
: <math>f(-x) = f(x)</math>
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: <math>f(-x) = -f(x)</math>
gilt.<ref>{{Literatur |Autor=Harro Heuser |Titel=Lehrbuch der Analysis Teil 1 |Auflage=17. |Verlag=Vieweg+Teubner |Ort=Wiesbaden |Datum=2009 |ISBN=978-3-8348-0777-9 |Seiten=117}}</ref> Anschaulich ist eine reelle Funktion genau dann gerade, wenn ihr [[Funktionsgraph]] [[Achsensymmetrie|achsensymmetrisch]] zur [[y-Achse|''y''-Achse]] ist, und ungerade, wenn ihr Funktionsgraph [[Symmetrie (Geometrie)#Punktsymmetrie von Funktionsgraphen|punktsymmetrisch]] zum [[Koordinatenursprung]] ist.
== Beispiele ==
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== Zerlegung ==
Es gibt auch Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind, zum Beispiel die Funktion <math>f(x) = x+1</math>. Jede Funktion mit einer bezüglich der Null symmetrischen Definitionsmenge <math>D \subseteq \R</math> lässt sich jedoch als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben
: <math>f(x)=f_\text{g}(x)+f_\text{u}(x)</math>,
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: <math>f_\text{u}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}</math>
den ungeraden Anteil der Funktion darstellt. Diese Zerlegung einer Funktion in gerade und ungerade Komponenten ist eindeutig, d. h., es gibt keine andere Möglichkeit, eine Funktion in gerade und ungerade Komponenten zu zerlegen. Dies folgt aus den Tatsachen, dass sowohl die
: <math>f_\text{g}(x)=\frac{(x+1)+(-x+1)}{2}=1</math>
und
: <math>f_\text{u}(x)=\frac{(x+1)-(-x+1)}{2}=x</math>.
== Eigenschaften ==
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|Datum=2010
|ISBN=978-3-8391-4025-3}}
* {{Literatur |Autor=[[Harro Heuser]] |Titel=Lehrbuch der Analysis |Band=Teil 1 |Auflage=17. |Verlag=Vieweg+Teubner |Ort=Wiesbaden |Datum=2009 |ISBN=978-3-8348-0777-9}}
== Weblinks ==
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* {{PlanetMath|id=evenandoddfunctions|title=Even and odd functions|author=yark, matte, Cam McLeman}}
* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/kd.htm Einfache Erläuterung der Kurvendiskussion mit Symmetrieuntersuchung für eine rationale Funktion]
* [http://www.matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=966 Exemplarische Kurvendiskussion] bei
== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
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