„Parke-Taylor-Formel“ – Versionsunterschied
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Verglichen mit einer direkten Berechnung über [[Feynman-Diagramm]]e ist das Ergebnis von Parke und Taylor bemerkenswert einfach. Der Beweis der Parke-Taylor-Formel erfolgte 1988 durch [[Frederik Berends]] und [[Walter Giele]] mittels einer Rekursion.<ref>{{Literatur|Autor= Frederik Berends und Walter Giele|Titel= Recursive Calculations for Processes with <math>n</math> Gluons|Sammelwerk=Nuclear Physics B|Band= 306|Nummer= 4|Seiten= 759–808|Datum= 1988|Sprache= en|DOI= 10.1016/0550-3213(88)90442-7}}</ref>
== Spezialfall von 3-Gluon-Amplituden ==
:<math>A_3^{MHV}(1^-, 2^-, 3^+) = \frac{\langle 12 \rangle^3}{
:<math>A_3^{\overline{MHV}}(1^+, 2^+, 3^-) = \frac{[12]^
Da farbgeordnete Amplituden eine zyklische Symmetrie besitzen, sind damit alle möglichen 3-Gluon-Amplituden gegeben.
=== Beweis ===
Aus der Impulserhaltung <math>p_1^\mu + p_2^\mu + p_3^\mu = 0</math> (alle Impulse auslaufend definiert) folgt, dass für die Mandelstam-Variablen <math>\langle 12 \rangle [32] = p_1 \cdot p_2 = 0, \langle 23 \rangle [32] = p_2 \cdot p_3 = 0</math> und <math>\langle 31 \rangle [13] = p_3 \cdot p_1 = 0</math> gilt. Für die Klammern folgt daraus, das entweder <math>\langle 12 \rangle = \langle 23 \rangle = \langle 31 \rangle = 0</math> oder <math>[12] = [23] = [31] = 0</math> gilt. Das wiederum bedeutet, dass entweder die holomorphen oder die antiholomorphen Spinoren kollinear sind, d. h. dass entweder gilt <math>|1\rangle \propto |2\rangle \propto |3\rangle</math> oder dass gilt <math>|1] \propto |2] \propto |3]</math>.
Mit dieser Einschränkung kann nun aus der farbgeordnenten Feynman-Regel für den 3-Gluon-Vertex die Streuamplitude in niedrigster Ordnung berechnet werden. Diese lautet (mit den Gluon-Polarisationen <math>\epsilon_1^\mu</math>, <math>\epsilon_2^\mu</math> und <math>\epsilon_3^\mu</math>:
:<math>V_{\text{3-Gluon}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ (\epsilon_1 \cdot \epsilon_2) (p_{12} \cdot \epsilon_3) + (\epsilon_2 \cdot \epsilon_3) (p_{23} \cdot \epsilon_1) + (\epsilon_3 \cdot \epsilon_1) (p_{31} \cdot \epsilon_2) \right]</math>
Wobei <math>p_{ij} = p_i - p_j</math> ist und ein Kopplungsfaktor von <math>-i g</math> unterdrückt wurde.
Die Eichvektoren der Gluon-Polarisationen wählen wir als <math>\mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu</math>, sodass der erste Term verschwindet (da die Helizität der ersten beiden Polarisationen übereinstimmt).
Im Fall der MHV-Amplitude gilt nun:
:<math>\epsilon_2^- \cdot \epsilon_3^+ = - \frac{\langle \mu 2 \rangle [\mu 3]}{\langle 3 \mu \rangle [2 \mu]}</math>
:<math>p_{23} \cdot \epsilon_1^- = - \sqrt{2} \frac{[\mu 3]\langle 31 \rangle}{[1 \mu]}</math>
Einsetzen ergibt:
:<math>A_3(1^-, 2^-, 3^+) = - \frac{\langle \mu 2 \rangle [\mu 3]}{\langle 3 \mu \rangle [2 \mu]} \frac{[\mu 3]\langle 31 \rangle}{[1 \mu]} - 1 \leftrightarrow 2 = \frac{[\mu 3]^2}{[1 \mu][2 \mu]} \frac{\langle \mu 2 \rangle \langle 31 \rangle - \langle \mu 1 \rangle \langle 32 \rangle}{\langle 3 \mu\rangle} = \frac{[\mu 3]^2}{[1 \mu][2 \mu]} \langle 12 \rangle</math>
Im letzten Schritt wurde dabei die Schouten-Identität benutzt: <math>\langle ij \rangle \langle kl \rangle + \langle jk \rangle \langle il \rangle + \langle ki \rangle \langle jl \rangle = 0</math>
Mittels der Kollinearität gilt im ersten Term <math>|2] = a |1]</math> und <math>|3] = b|1]</math> mit reellen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>. Es folgt also:
:<math>A_3(1^-, 2^-, 3^+) = \frac{b^2}{a} \langle 12 \rangle</math>
Die Impulserhaltung besagt nun für <math>a</math> und <math>b</math>:
:<math>(|1\rangle + a|2\rangle + b|3\rangle)[1| = 0</math> woraus folgt (ebenfalls mit Schouten) <math>a = \frac{\langle 31 \rangle}{\langle 23 \rangle}, b = \frac{\langle 12 \rangle}{\langle 23 \rangle}</math>
Daraus ergibt sich die 3-Gluon-Formel in der obigen Gestalt:
:<math>A_3(1^-, 2^-, 3^+) = \frac{\langle 12 \rangle^3}{\langle 31 \rangle \langle 23 \rangle}</math><ref name="HennPlefka"/>
Der Beweis für den Anti-MHV-Fall ist analog.
== Beweis der allgemeinen Parke-Taylor-Formel ==
In der modernen Literatur wird die Parke-Taylor-Formel über die [[BCFW-Rekursionsrelationen]] induktiv bewiesen.<ref name="HennPlefka"/> Für die n-Gluon-MHV-Amplitude wird der Term also aus der (n‑1)‑Gluon‑MHV‑Amplitude abgeleitet, wie im Folgenden gezeigt wird.
Seien o. B. d. A. die Teilchen mit negativer Helizität <math>1</math> und <math>n</math>. Dann werden die Impulse <math>p_1 = |1\rangle[1|</math> und <math>p_n = |n\rangle[n|</math> verschoben gemäß
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Wobei <math>P_i(z) = p_1(z) + \sum_{k=2}^i p_k, i = \{2, ..., n-1\}</math> und <math>z_{P_i} = \frac{P_i^2(z=0)}{\langle n|P_i(z=0)|1]}</math> gilt.
Alle Amplituden, wo eine Helizität nur einmal auftaucht, verschwinden, mit Ausnahme der 3-Gluon-Amplitude. Für die 3-Gluon-Amplitude gibt es eine nicht-verschwindende Amplitude im Falle von kollinearen Spinoren
▲:<math>A_3^{MHV}(1^-, 2^-, 3^+) = \frac{\langle 12 \rangle^3}{\langle 12 \rangle \langle 23 \rangle \langle 31 \rangle} \text{ mit }[12] = [23] = [31] = 0</math>
▲:<math>A_3^{\overline{MHV}}(1^+, 2^+, 3^-) = \frac{[12]^4}{[12][23][31]} \text{ mit } \langle 12 \rangle = \langle 23 \rangle = \langle 31 \rangle = 0</math>
In der Summe über alle Teilamplituden bleiben also nur zwei Terme stehen, die wie folgt aussehen:
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Das ist die gesuchte <math>n</math>-Gluon-MHV-Amplitude.
Der Nachweis für
== Einzelnachweise ==
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