„Sinus und Kosinus“ – Versionsunterschied

Versionsgeschichte interaktiv durchsuchen

[gesichtete Version]

← Zum vorherigen Versionsunterschied Zum nächsten Versionsunterschied →

Inhalt gelöscht Inhalt hinzugefügt

VisuellWikitext

Version vom 11. Dezember 2023, 01:41 Uhr Bearbeiten Petrus3743 (Diskussion \| Beiträge) Passive Sichter, Sichter 12.316 Bearbeitungen →‎Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte: Klammern angepasst ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Version vom 28. Mai 2024, 01:39 Uhr Bearbeiten rückgängig Engcobo (Diskussion \| Beiträge) Passive Sichter, Sichter 2.177 Bearbeitungen K Änderungen von 131.242.30.51 (Diskussion) auf die letzte Version von Engcobo zurückgesetzt Markierung: Zurücksetzung Zum nächsten Versionsunterschied →
(14 dazwischenliegende Versionen von 9 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 215: === Produktentwicklung === Die Kreisfunktionen '''Sinus''' und '''Cosinus''' haben folgende zwei Produktentwicklungen: :<math>\sin{x} = \prod_{k=-\infty}^\infty \frac{x+k\pi}{\frac\pi2+k\pi} = x \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{k^2\pi^2} \right) </math> :<math>\cos{x} = \prod_{k=-\infty}^\infty \frac{x+k\pi+\frac\pi2}{\frac\pi2+k\pi} = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{4x^2}{(2k-1)^2\pi^2} \right) </math> Die genannte Produktentwicklung für den Sinus zog der schweizerische Mathematiker [[Leonhard Euler]] für den Beweis vom [[Basler Problem]] heran. Der ebenso nach diesem Mathematiker benannte Eulersche Ergänzungssatz für die [[Fakultät (Mathematik)\|Fakultätsfunktion 𝚷(n)]] liefert in Kombination mit der Eulerschen Produktdefinition der Fakultätsfunktion direkt die gezeigte Produktformel für die trigonometrische Sinusfunktion: : <math>\sin(x) = \frac{x}{\Pi(x \div \pi) \,\Pi(- x \div \pi)}</math> : <math>w! = \Pi(w) = \Gamma(w + 1) = \prod_{n = 1}^{\infty} \bigl(1 + \frac{1}{n}\bigr)^{w} \bigl(1 + \frac{w}{n}\bigr)^{-1}</math> Mit dem Buchstaben des kleinen <math>\pi</math> ist hier in der Tat die [[Kreiszahl]] gemeint. Jedoch steht das große <math>\Pi</math> in der genannten Formel für die Gaußsche Pifunktion also für die kontinuisierte Form der Fakultätsfunktion. == Regeln über den Wertebereich == Zeile 603 ⟶ 614: :<math>\sin\left(\frac{\pi}{13}\right) = \frac{1}{12}\sqrt{26+6\sqrt{13}}-\frac{1}{6}\sqrt{26-6\sqrt{13}}\,\cos\biggl[\frac{1}{3}\arctan\biggl(\frac{3\sqrt{3}}{5}\biggr)\biggr]</math> == Mulitplikationsformeln und begrenzte Reihe == ~~== Begrenzte Reihen ==~~ Die folgenden ~~Ausdrücke~~Multiplikationsformeln gelten für alle <math>n\in\N</math> und komplexen Argumente <math>z</math>: :<math>\sin{z} = 2^{n-1} \prod\limits_{k=0}^{n-1} \sin{\frac{z+k\,\pi}{n}}</math> Zeile 610 ⟶ 621: :<math>\cos{z} = 2^{n-1} \prod\limits_{k=0}^{n-1} \cos{\frac{z+\left(k-\frac{n-1}{2}\right)\,\pi}{n}}</math> Für alle Werte <math>n \in \N</math> gilt auch folgende Summenreihe: :<math>\sum_{k = 1}^{n} \cos~~\bigl(~~\frac{2\pi k}{n}~~\bigr)~~ =0</math> == Fixpunkte == Zeile 776 ⟶ 787: Zuerst wird ein Viertelkreis mit Radius gleich <math>1\; [LE]</math><ref><math>[LE]</math> = Längeneinheit</ref> um <math>A</math> gezogen und anschließend der Radius <math>\overline{AB}</math> über <math>B</math> hinaus verlängert. Der Graph der Funktion <math>f(x)=\sin (x)</math>, sprich die Sinuskurve, wird nun z. B. mittels einer [[Schablone]] oder einer sogenannten [[Dynamische Geometrie\|Dynamischen-Geometrie-Software (DGS)]] eingetragen. Dabei schneidet die Sinuskurve die Verlängerung des Radius <math>\overline{AB}</math> und liefert so die [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> auf der <math>x</math>-Achse. In den nächsten Schritten werden vier Werte des [[Sinus und Kosinus#~~Wichtige~~Wichtigste Funktionswerte\|Bogenmaßes]] für den [[Sinus und Kosinus#Verlauf des Sinus in den vier Quadranten\|2. Quadranten]] der Sinuskurve auf der <math>x</math>-Achse bestimmt mit jeweils gleichem Abstand zueinander. Es ist in diesem Fall für die Plausibilität von Vorteil, die Bogenmaße mit dem gemeinsamen [[Bruchrechnung#Nenner\|Nenner]] <math>8</math> zu bezeichnen. Durch Halbieren des Abstandes <math>\|A\pi\|</math> ergibt sich das Bogenmaß <math>\tfrac{1}{2}\pi = \tfrac{4\pi}{8}\;\widehat{=}\;90^\circ</math>. Mittels einer [[Orthogonalität\|Senkrechten]] und einer [[Parallelität (Geometrie)\|Parallelen]] – jeweils zur <math>x</math>-Achse – wird <math>\tfrac{4\pi}{8}</math> auf den Viertelkreis übertragen; dabei trifft <math>\tfrac{4\pi}{8}</math> den Punkt <math>C</math>. Die darauf folgende Dreiteilung des Abstandes <math>\|\tfrac{4\pi}{8}\pi\|</math> liefert, unter Verwendung des [[Strahlensatz#Formulierung der Strahlensätze\|ersten Strahlensatzes]], die Bogenmaße <math>\tfrac{5\pi}{8}</math>, <math>\tfrac{6\pi}{8}</math> und <math>\tfrac{7\pi}{8}</math> sowie die Schnittpunkte <math>D, F</math> und <math>H</math>. Das Übertragen dieser Punkte auf die Sinuskurve erfolgt mithilfe von Senkrechten zur <math>x</math>-Achse; nun bezeichnet mit <math>D_1, F_1</math> und <math>H_1</math>. Anschließend werden diese Punkte mittels Parallelen zur <math>x</math>-Achse auf den Viertelkreisbogen projiziert, nun bezeichnet mit <math>D_2, F_2</math> und <math>H_2</math>. Da die Bogenmaße quasi vom 2. Quadranten der Sinuskurve zum 1. Quadranten des Kreises wechseln, werden sie zu Pendants mit den Bezeichnungen <math>\tfrac{4\pi}{8},\;\tfrac{3\pi}{8},\;\tfrac{2\pi}{8},\;</math> und <math>\tfrac{\pi}{8}</math>. Zeile 783 ⟶ 794: ==== Nachweis ==== Für die betreffenden [[Sinus und Kosinus#~~Wichtige~~Wichtigste Funktionswerte\|Funktionswerte]] der Sinuskurve gilt: Der Winkel (Grad) entspricht dem Bogenmaß (Teil von <math>\pi</math> bzw. <math>\pi</math>). : <math>90^\circ \; \widehat{=} \; \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{8}</math>;    <math>112{,}5^\circ \; \widehat{=} \; \frac{5\pi}{8}</math>;    <math>135^\circ \; \widehat{=} \frac{6\pi}{8}</math>;    <math>157{,}5^\circ \; \widehat{=} \; \frac{7\pi}{8}</math>;    <math>180^\circ \; \widehat{=} \; \pi</math>, daraus folgt: