„Sinus und Kosinus“ – Versionsunterschied

Die lateinische Bezeichnung ''Sinus'' „Bogen, Krümmung, Busen“ für diesen mathematischen Begriff wählte [[Gerhard von Cremona]] 1175<ref>J. Ruska: ''Zur Geschichte des „Sinus“.'' In: ''Zeitschrift für Mathematik und Physik.'' Teubner, Leipzig 1895. S.&nbsp;126&nbsp;ff. Auch online zugänglich: [httphttps://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/imgid/PPN599415665_0040?PPNtify=PPN599415665_0040&DMDID=DMDLOG_0045&LOGID=LOG_0053&PHYSID=PHYS_0548%7B%22pages%22:%5B548%5D%7D Digitalisierungszentrum der Universität Göttingen.]</ref> als Übersetzung der arabischen Bezeichnung ''dschaib'' oder {{arF|جيب&lrm;|dschība|DMG=|de=Tasche, Kleiderfalte}}, selbst entlehnt von [[Sanskrit]] ''jiva'' „Bogensehne“ indischer Mathematiker.

=== DefinionDefinition am rechtwinkligen Dreieck ===

Wird statt von ''α'' von dem gegenüberliegenden Winkel ''β'' ausgegangen, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von ''α'' wird zur Gegenkathete von ''β,'' die Gegenkathete von ''α'' bildet nun die Ankathete von ''β'' und es gilt:

Die Umkehrungen der Sinus- und Kosinusfunktion sind nicht eindeutig. Zu jeder Zahl <math>y</math> zwischen −1 und 1 (<math>-1 < y < 1</math>) gibt es schon zwischen 0° und 360° (<math> 0^\circ < \alpha \leq 360^\circ </math>) immer genau zwei Winkel. Symmetrien der Winkelfunktionen erkennt man an folgenden Beziehungen:

wobei <math> k </math> eine beliebige ganze Zahl ist. Es gibt also nicht nur die Symmetrien zu <math>\alpha=0^\circ</math> (cos) bzw. <math>\alpha=90^\circ</math> (sin) und zu <math>(0^\circ|0)</math> (sin) bzw. <math>(90^\circ|0)</math> (cos), sondern unendlich viele Symmetrieachsen und Symmetriezentren für beide Funktionen.

\sin^{(4n+k)}( 0) = \sin\left(\frac{k\,\pi}2\right) = \left\{\begin{matrix}

\cos^{(4n+k)}( 0) = \cos\left(\frac{k\,\pi}2\right) = \left\{\begin{matrix}

:<math>\sin( x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!} -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\dotsb</math>

:<math>\cos( x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}} {(2n)!} = \frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp\dotsb</math>

Für kleine Werte zeigen diese Reihen ein sehr gutes Konvergenzverhalten. Zur [[Numerische Mathematik|numerischen]] Berechnung lassen sich daher die Periodizität und [[Symmetrische Funktion|Symmetrie der Funktionen]] ausnutzen und der <math>x</math>-Wert bis auf den Bereich <math>-\pi/4</math> bis <math>\pi/4</math> reduzieren. Danach sind je nach geforderter Genauigkeit nur noch relativ wenige Glieder der Reihe zu berechnen. Das [[Taylorpolynom]] der Kosinusfunktion bis zur vierten Potenz z.&nbsp;B. hat im Intervall <math>[-\pi/4, \pi/4]</math> einen [[Fehlerschranke#Relativer Fehler|relativen Fehler]] von unter 0,05 %. Im Artikel [[Taylor-Formel]] sind einige dieser Taylorpolynome grafisch dargestellt und man findet eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe. Zu beachten ist allerdings, dass die Teilsummen der Taylorpolynome nicht die bestmögliche numerische Approximation darstellen; beispielsweise in [[Abramowitz-Stegun]] finden sich Näherungspolynome mit noch kleinerem Approximationsfehler.<ref>[[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun]]: ''[[Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions]].'' Dover Publications, New York 1964. ISBN 0-486-61272-4, [{{Webarchiv |url=http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/page_76.htm |text=''('''4.3.96'''–'''4.3.99''')].'' |wayback=20090201155054}}.</ref>

=== WichtigeSpezielle Funktionswerte ===

=== Beweisskizzen: der Werte ===

:<math>\sin 18^\circbigl(\frac{\pi}{5}\bigr) = \cos 72^\circ = bigl(\frac{3\sqrt{5}-1pi}{410}\bigr)</math>

:<math>\cos 54^\circ = sin\sinbigl(2\cdot18^frac{\pi}{5}\circbigr) = 2 \sin\bigl(\frac{1\pi}{210}\sqrt{bigr) \cos\bigl(\frac{5-\sqrt{5}pi}{2}10}\bigr)</math>

:<math>\cos\bigl(\frac{3\sqrt{3}pi}{210}\bigr) = \cos 30^\circ=bigl(\cos^2 15^frac{\circ-pi}{10}\sin^2bigr) 15^\circbigl[1 =- 1-24\sin\bigl(\frac{\pi}{10}\bigr)^2 15^\circbigr]</math>.

Die folgenden AusdrückeMultiplikationsformeln gelten für alle <math>n\in\N</math> und komplexen Argumente <math>z</math>:

=== Fixpunkte ===

Der Kosinus steht in enger Beziehung mit dem [[StandardskalarproduktSkalarprodukt]] zweier zwei- oder dreidimensionaler [[Vektor]]en <math>\vec{a}=\left(a_1, a_2, \dotsc, a_n\right)</math> und <math>\vec{b}=\left(b_1, b_2, \dotsc, b_n\right)</math>:

:<math>\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a} | \, | \vec{b} | \, \cos \measuredangle (\vec{a},\vec{b}) = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + \dotsb + {a_n}{b_n}</math>

Das Skalarprodukt ist also die Länge der Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. In abstrakten [[Prähilbertraum|Skalarprodukträumen]] wird über diese Beziehung der Winkel zwischen Vektoren definiert.

:<math>\sin^{(4n+k)} x = \sin\left(x + k\frac{\pi}2\right) = \left\{\begin{matrix}

:<math>\cos^{(4n+k)} x = \cos\left(x + k\frac{\pi}2\right) = \left\{\begin{matrix}

=== Sektrix ===

[[Datei:01 Dreiteilung des Winkels-Sinuslinie-Beweis.svg|mini|hochkant=2.5|Teilung des Winkels in <math>n</math> gleich große Teile mithilfe der Sinuskurve]]

Die ''Sinuskurve'' ist eine der bekanntesten Funktionsgraphen. Trotz alledem ist nahezu nichts über ihre Eigenschaft bekannt, einen Winkel in <math>n</math> gleich große Teile zu zerlegen. Das nebenstehende Bild zeigt exemplarisch die Teilung des Winkels <math> \alpha</math> in sechs gleich große [[Winkel]]weiten.<ref>{{Literatur | Autor=Hung Tao Sheng | Titel=A Method of Trisection of an Angle and X-Section of an Angle | TitelErg=4. Xsection of an angle, X = 7 | Sammelwerk=Mathematics Magazine | Band=42, No. 2 | Verlag=Taylor & Francis | Datum=März 1969 | Sprache=en | JSTOR=2689193 | Seiten=79}}</ref>

==== Konstruktion ====

Zuerst wird ein Viertelkreis mit Radius gleich <math>1\; [LE]</math><ref><math>[LE]</math> = Längeneinheit</ref> um <math>A</math> gezogen und anschließend der Radius <math>\overline{AB}</math> über <math>B</math> hinaus verlängert. Der Graph der Funktion <math>f(x)=\sin (x)</math>, sprich die Sinuskurve, wird nun z.&nbsp;B. mittels einer [[Schablone]] oder einer sogenannten [[Dynamische Geometrie|DynamischeDynamischen-Geometrie-Software (DGS)]] eingetragen. Dabei schneidet die Sinuskurve die Verlängerung des Radius <math>\overline{AB}</math> und liefert so die [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> auf der <math>x</math>-Achse.

In den nächsten Schritten werden vier Werte des [[Sinus und Kosinus#WichtigeWichtigste Funktionswerte|Bogenmaßes]] für den [[Sinus und Kosinus#Verlauf des Sinus in den vier Quadranten|2. Quadranten]] der Sinuskurve auf der <math>x</math>-Achse bestimmt mit jeweils gleichem Abstand zueinander. Es ist in diesem Fall für die Plausibilität von Vorteil, die Bogenmaße mit dem gemeinsamen [[Bruchrechnung#Nenner|Nenner]] <math>8</math> zu bezeichnen. Durch Halbieren des Abstandes <math>|A\pi|</math> ergibt sich das Bogenmaß <math>\tfrac{1}{2}\pi = \tfrac{4\pi}{8}\;\widehat{=}\;90^\circ</math>. Mittels einer [[Orthogonalität|Senkrechten]] und einer [[Parallelität (Geometrie)|Parallelen]] – jeweils zur <math>x</math>-Achse – wird <math>\tfrac{4\pi}{8}</math> auf den Viertelkreis übertragen; dabei trifft <math>\tfrac{4\pi}{8}</math> den Punkt <math>C</math>.

Die darauf folgende Dreiteilung des Abstandes <math>|\tfrac{4\pi}{8}\pi|</math> liefert, unter Verwendung des [[Strahlensatz#Formulierung der Strahlensätze|ersten Strahlensatzes]], die Bogenmaße <math>\tfrac{5\pi}{8}</math>, <math>\tfrac{6\pi}{8}</math> und <math>\tfrac{7\pi}{8}</math>, sowie die Schnittpunkte <math>D, F</math> und <math>H</math>. Das Übertragen dieser Punkte auf die Sinuskurve erfolgt mithilfe von Senkrechten zur <math>x</math>-Achse; nun bezeichnet mit <math>D_1, F_1</math> und <math>H_1</math>. Anschließend werden diese Punkte mittels Parallelen zur <math>x</math>-Achse auf den Viertelkreisbogen projiziert, nun bezeichnet mit <math>D_2, F_2</math> und <math>H_2</math>. Da die Bogenmaße quasi vom 2. Quadranten der Sinuskurve zum 1. Quadranten des Kreises wechseln, werden sie zu Pendants mit den Bezeichnungen <math>\tfrac{4\pi}{8},\;\tfrac{3\pi}{8},\;\tfrac{2\pi}{8},\;</math> und <math>\tfrac{\pi}{8}</math>.

Auf die gleiche Art und Weise werden die Punkte <math>E, G</math> und <math>I</math> bestimmt und schließlich auf den Viertelkreisbogen, nun mit den Bezeichnungen <math>E_2, G_2</math> und <math>I_2</math>, übertragen. Im dargestellten Beispiel ist der Winkel <math>BAI_2</math> der sechste Teil vomdes WinkelWinkels <math>\alpha</math>.

==== Nachweis ====

Für die betreffenden [[Sinus und Kosinus#WichtigeWichtigste Funktionswerte|Funktionswerte]] der Sinuskurve gilt: Der Winkel (Grad) entspricht dem Bogenmaß (Teil von <math>\pi</math> bzw. <math>\pi</math>).

: <math>90^\circ \; \widehat{=} \; \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{8}</math>; &nbsp;&nbsp; <math>112{,}5^\circ \; \widehat{=} \; \frac{5\pi}{8}</math>; &nbsp;&nbsp; <math>135^\circ \; \widehat{=} \frac{6\pi}{8}</math>; &nbsp;&nbsp; <math>157{,}5^\circ \; \widehat{=} \; \frac{7\pi}{8}</math>; &nbsp;&nbsp; <math>180^\circ \; \widehat{=} \; \pi</math>,

daraus folgt:

* Der Winkel und das Bogenmaß sind zueinander direkt proportional, z.&nbsp;B.: <math>112{,}5^\circ : 135^\circ = \frac{5\pi}{8} : {\frac{6\pi}{8}}.</math>

Dies bedeutet:

* Der ''n''-te Teil des Abstandes <math>|\frac{4\pi}{8}\;\pi|</math> (z.&nbsp;B.: <math>|I\;\pi|</math>) und der ''n''-te Teil des Viertelkreisbogens (z.&nbsp;B.: <math>ABI_2</math>) sind gleich lang.