„Sinus und Kosinus“ – Versionsunterschied

 

:<math>

0 & \text{wenn } k=0 \\

1 & \text{wenn } k=1 \\

</math>

:<math>

1 & \text{wenn } k=0 \\

0 & \text{wenn } k=1 \\

Die sich daraus ergebenden [[Taylorreihe]]n stellen die Funktionen <math>\sin</math> und <math>\cos</math> dar, das heißt:

 

 

=== Reihenentwicklung in der Analysis ===

 

=== Produktentwicklung ===

:<math>\sin{x} = \prod_{k=-\infty}^\infty \frac{x+k\pi}{\frac\pi2+k\pi} = x \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{k^2\pi^2} \right) </math>

 

:<math>\cos{x} = \prod_{k=-\infty}^\infty \frac{x+k\pi+\frac\pi2}{\frac\pi2+k\pi} = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{4x^2}{(2k-1)^2\pi^2} \right) </math>

 

=== Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus ===

:<math>\sin\alpha = -\cos\left(\alpha + 90^\circ \right) = \cos\left(\alpha-90^\circ\right)</math> ([[Gradmaß]])

In den Bildern auf der rechten Seite gibt die Farbe den Winkel des Arguments an, die Farbintensität den Betrag, wobei volle Intensität für kleine Werte steht und bei großen Beträgen ein Übergang zu weiß stattfindet. Die genaue Zuordnung ergibt sich aus nebenstehendem Bild, das jeder komplexen Zahl eine Farbe und eine Intensität zuordnet. An den Bildern zu Sinus und Kosinus ist erkennbar, dass auch im Komplexen Periodizität in <math>x</math>-Richtung vorliegt (nicht aber in <math>y</math>-Richtung) und dass Sinus und Kosinus durch eine Verschiebung um <math>\pi/2</math> auseinander hervorgehen.

 

Da Sinus und Kosinus [[periodische Funktion]]en mit der Periode <math>2 \pi</math> (entspricht im Gradmaß <math>360^\circ</math>) sind, reicht es, die Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen für den Bereich <math>[0,2\pi]</math> (entspricht dem Bereich <math>0^\circ</math> bis <math>360^\circ</math>) zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang

:<math>\sin x = \sin(x + 2k \pi)\quad \text{und}\quad \cos x = \cos(x + 2k \pi)</math>

|}

 

* <math>\cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\tfrac12\sqrt2</math>, weil das [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinklige Dreieck]] im [[Einheitskreis]] (mit der [[Hypotenuse]] 1) dann [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklig]] ist, und nach [[Satz des Pythagoras|Pythagoras]] gilt <math>x^2+x^2=1^2 \Rightarrow x=\tfrac12\sqrt2</math>.

* <math>\cos 60^\circ=\sin 30^\circ=\tfrac12</math>, weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) gespiegelt an der <math>x</math>-Achse dann gleichseitig ist (mit Seitenlänge 1) und somit die [[Gegenkathete]] (Sinus) die halbe Seitenlänge beträgt.

* <math>\cos 36^\circ=\sin 54^\circ=\tfrac14(1+\sqrt5)</math>, weil im [[Regelmäßiges Fünfeck|regelmäßigen Fünfeck]] der [[Goldener Schnitt|Goldene Schnitt]] auftritt, wobei der halbierte [[Innenwinkel]] gleich 54° ist.

* <math>\cos 75^\circ=\sin 15^\circ</math> und <math>\cos 15^\circ=\sin 75^\circ</math> lassen sich mit Hilfe der [[Halbwinkelformeln]] für Sinus und Kosinus herleiten.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:<math>\sin{z} = 2^{n-1} \prod\limits_{k=0}^{n-1} \sin{\frac{z+k\,\pi}{n}}</math>

 

:<math>\cos{z} = 2^{n-1} \prod\limits_{k=0}^{n-1} \cos{\frac{z+\left(k-\frac{n-1}{2}\right)\,\pi}{n}}</math>

 

[[Datei:Dottie number.svg|mini|hochkant=1.5|Fixpunkt der Kosinusfunktion]]

Die [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunktgleichung]] <math>\sin x = x</math> besitzt

und daraus schließlich auch alle höheren Ableitungen von Sinus und Kosinus

 

\sin x, & \text{wenn } k=0 \\

\cos x, & \text{wenn } k=1 \\

-\cos x, & \text{wenn } k=3 \end{matrix}\right.</math>

 

\cos x, & \text{wenn } k=0 \\

-\sin x, & \text{wenn } k=1 \\

Zuerst wird ein Viertelkreis mit Radius gleich <math>1\; [LE]</math><ref><math>[LE]</math> = Längeneinheit</ref> um <math>A</math> gezogen und anschließend der Radius <math>\overline{AB}</math> über <math>B</math> hinaus verlängert. Der Graph der Funktion <math>f(x)=\sin (x)</math>, sprich die Sinuskurve, wird nun z.&nbsp;B. mittels einer [[Schablone]] oder einer sogenannten [[Dynamische Geometrie|Dynamischen-Geometrie-Software (DGS)]] eingetragen. Dabei schneidet die Sinuskurve die Verlängerung des Radius <math>\overline{AB}</math> und liefert so die [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> auf der <math>x</math>-Achse.

 

 

Die darauf folgende Dreiteilung des Abstandes <math>|\tfrac{4\pi}{8}\pi|</math> liefert, unter Verwendung des [[Strahlensatz#Formulierung der Strahlensätze|ersten Strahlensatzes]], die Bogenmaße <math>\tfrac{5\pi}{8}</math>, <math>\tfrac{6\pi}{8}</math> und <math>\tfrac{7\pi}{8}</math> sowie die Schnittpunkte <math>D, F</math> und <math>H</math>. Das Übertragen dieser Punkte auf die Sinuskurve erfolgt mithilfe von Senkrechten zur <math>x</math>-Achse; nun bezeichnet mit <math>D_1, F_1</math> und <math>H_1</math>. Anschließend werden diese Punkte mittels Parallelen zur <math>x</math>-Achse auf den Viertelkreisbogen projiziert, nun bezeichnet mit <math>D_2, F_2</math> und <math>H_2</math>. Da die Bogenmaße quasi vom 2. Quadranten der Sinuskurve zum 1. Quadranten des Kreises wechseln, werden sie zu Pendants mit den Bezeichnungen <math>\tfrac{4\pi}{8},\;\tfrac{3\pi}{8},\;\tfrac{2\pi}{8},\;</math> und <math>\tfrac{\pi}{8}</math>.

 

==== Nachweis ====

: <math>90^\circ \; \widehat{=} \; \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{8}</math>; &nbsp;&nbsp; <math>112{,}5^\circ \; \widehat{=} \; \frac{5\pi}{8}</math>; &nbsp;&nbsp; <math>135^\circ \; \widehat{=} \frac{6\pi}{8}</math>; &nbsp;&nbsp; <math>157{,}5^\circ \; \widehat{=} \; \frac{7\pi}{8}</math>; &nbsp;&nbsp; <math>180^\circ \; \widehat{=} \; \pi</math>,

daraus folgt:

 

== Weblinks ==

{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Sinus und Kosinus}}

{{Wikibooks|Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion|Differentiation der Sinusfunktion}}