„Sinus und Kosinus“ – Versionsunterschied

{{Weiterleitungshinweis|''Sinus, Kosinus'' und ''Cosinus''|Zu weiteren Bedeutungen siehe [[Sinus (Begriffsklärung)]], [[Kosinus (Begriffsklärung)]] und [[Cosinus (Begriffsklärung)]].|mehrzahl=ja1}}

[[Datei:Sine cosine one period.svg|mini|380px|[[Funktionsgraph|Graphen]] der Sinusfunktion (rot) und der Kosinusfunktion (blau). Beide Funktionen haben eine [[Periodische Funktion#Eigenschaften der Perioden|kleinste positive Periode]] von <math>2 \pi</math> und nehmen jeweils alle [[Bild (Mathematik)|Werte]] von −1 bis 1 an.]]

Vor [[Tangens und Kotangens]], sowie [[Sekans und Kosekans]] bildensind sie die wichtigsten [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]]. Sinus und Kosinus werden unter anderem in der Geometrie für [[Dreieck]]sberechnungen in der ebenen und [[Sphärische Trigonometrie|sphärischen]] [[Trigonometrie]] benötigt. Auch in der [[Analysis]] sind sie wichtig.

Die lateinische Bezeichnung ''Sinus'' „Bogen, Krümmung, Busen“ für diesen mathematischen Begriff wählte [[Gerhard von Cremona]] 1175<ref>J. Ruska: ''Zur Geschichte des „Sinus“.'' In: ''Zeitschrift für Mathematik und Physik.'' Teubner, Leipzig 1895. S. &nbsp;126 &nbsp;ff. Auch online zugänglich: [httphttps://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/imgid/PPN599415665_0040?PPNtify=PPN599415665_0040&DMDID=DMDLOG_0045&LOGID=LOG_0053&PHYSID=PHYS_0548%7B%22pages%22:%5B548%5D%7D Digitalisierungszentrum der Universität Göttingen.]</ref> als Übersetzung der arabischen Bezeichnung ''dschaib'' oder {{arF|جيب&lrm;|dschība|DMG=|de=Tasche, Kleiderfalte}}, selbst entlehnt von [[Sanskrit]] ''jiva'' „Bogensehne“ indischer Mathematiker.

Die Bezeichnung „Cosinus“ ergibt sich aus ''complementi sinus,'' also Sinus des [[Komplementärwinkel]]s. Diese Bezeichnung wurde zuerst in den umfangreichen trigonometrischen Tabellen verwendet, die von [[Georg von Peuerbach]] und seinem Schüler [[Regiomontanus]] erstellt wurden.<ref>Josef Laub (Hrsg.): ''Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band.'' 2. Auflage. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1977, ISBN 3-209-00159-6., S. &nbsp;207.</ref>

[[Datei:RechtwinkligesDreieckABC.svg|miniaturmini|hochkant=2|Dreieck mit den Punkten ABCA, B, C und den bzw. gegenüberliegenden Seiten a, b, c]]

[[Datei:RechtwinkligesDreieck.svg|mini|hochkant=2|Dreieck ABC mit einem rechten Winkel <math>\gamma</math> in C. (Benennung von An- und Gegenkathete unter der Annahme, dass sich diese Begriffe auf den Winkel <math>\alpha</math> der betrachtete Winkel ist.beziehen)]]

Die Längenverhältnisse der drei Seiten im rechtwinkligen Dreieck sind nur vom Maß eines der beiden [[Winkel#Arten von Winkeln|spitzen Winkel]] abhängig. Denn die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180°. Und weil im rechtwinkligen Dreieck ein Winkel, nämlich der rechte Winkel, mit 90° bekannt ist, müssen die beiden anderen Winkel in der Summe ebenfalls 90° ergeben. Deswegen wird das Maß eines dieser Winkel durch das Maß des anderen Winkels bereits festgelegt. Aufgrund der [[Dreieck#Berechnung eines beliebigen DreiecksKongruenzsatz|DreieckssätzeKongruenzsätze]] (z. &nbsp;B. WSW) hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur noch vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab.

Wird statt von ''α'' von dem gegenüberliegenden Winkel ''β'' ausgegangen, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von ''α'' wird zur Gegenkathete von ''β und,'' die Gegenkathete von ''α'' bildet nun die Ankathete von ''β'' und es gilt:

Im rechtwinkligen Dreieck sind Sinus und Kosinus nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad definiert. Für beliebige Winkel wird der Wert der Sinus-FunktionKosinusfunktion als <math>yx</math>-Koordinate und der Wert der Kosinus-FunktionSinusfunktion als <math>xy</math>-Koordinate eines Punktes am [[Einheitskreis]] ([[#Definition am Einheitskreis|siehe unten]]) definiert. Hier ist es üblich, den Wert, auf den die Funktion angewendet wird (hier: den Winkel), als ''Argument'' zu bezeichnen. Dies betrifft insbesondere die Winkelfunktionen und die [[Exponentialfunktion#Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen|komplexe Exponentialfunktion]] ([[#Beziehung zur Exponentialfunktion|siehe unten]]).

[[Datei:Sinus und Kosinus am Einheitskreis 1.svg|miniaturmini|Definition des Sinus und Kosinus am Einheitskreis]]

[[Datei:Einheitskreis Ani.gif|miniaturmini|Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis im ersten Quadranten]]

:<math>\cos\alpha = x</math>.

Die Gegenkathete des Winkels <math>\alpha</math> ist die Strecke zwischen <math>(x,0)</math> und <math>(x,y)</math> und hat die Länge <math>|y|</math>. Somit istgilt:

:<math>\sin\alpha = y</math>.

DarausWegen folgt durch dendes [[Strahlensatz]]es ist die folgende Definition des [[Tangens]] [[wohldefiniert]]:

:<math>\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}</math>.

Die <math>yx</math>-Koordinate eines Punktes im ersten [[Quadrant]]en des Einheitskreises ist also der SinusKosinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der <math>x</math>-Achse, während die <math>xy</math>-Koordinate der KosinusSinus desdieses Winkels ist. Die Fortsetzung über den ersten Quadranten hinaus ergibt eine Definition von Sinus und Kosinus für beliebige Winkel.

Die UmkehrungUmkehrungen der Sinus-/ und Kosinusfunktion istsind nicht eindeutig. Zu jeder Zahl <math>y</math> zwischen −1 und 1 (<math> -1 < y < 1</math>) gibt es schon zwischen 0° und 360° (<math> 0^\circ < \alpha \leq 360^\circ </math>) immer genau zwei Winkel. Symmetrien der Winkelfunktionen erkennt man an folgenden Beziehungen:

:<math>\sin(-\alpha) = -\sin\alpha</math>

:<math>\cos(-\alpha) = \cos\alpha</math>

Sinus und Kosinus sind [[periodische Funktion]]en mit der Periode 360 Grad. (Man kann einen Winkel von beispielsweise 365° nicht von einem Winkel von 5° unterscheiden. Aber der eine beschreibt eine Drehbewegung von reichlich einer Umdrehung, der andere eine sehr kleine Drehbewegung &nbsp;‒ nur eine zweiundsiebzigstel Umdrehung.) Also gilt auch

:<math>\sin(\alpha + k \cdot 360^\circ) = \sin\alpha</math>

:<math>\cos(\alpha + k \cdot 360^\circ) = \cos\alpha</math>,

wobei <math> k </math> eine beliebige ganze Zahl ist. Es gibt also nicht nur die Symmetrien zu <math>\alpha=0^\circ</math> (cos) bzw. <math>\alpha=90^\circ</math> (sin) und zu <math>(0,^\circ|0)</math> (sin) bzw. <math>(90^\circ|0)</math> (cos), sondern unendlich viele Symmetrieachsen und Symmetriezentren für beide Funktionen.

Die Entstehung der Sinus- und Kosinusfunktion aus der Drehbewegung eines Winkelschenkels beginnend bei der <math> x </math>-Achse veranschaulicht folgende Animation. Der Winkel wird im [[Bogenmaß]] gemessen. Ein Winkel von <math>360^\circ</math> entspricht einem Bogenmaß von <math>2 \pi</math>.

[[Datei:Sine.gif|mini|Diese Animation illustriert die Definition der Sinusfunktion durch eine Reihe. Je höhergrößer die Zahl <math>N</math> ist, desto mehr Summanden werden in der Reihendefinition verwendet. So ist bei <math>N=2</math> neben der Sinusfunktion zusätzlich das kubische Polynom <math>\sum_{k=0}^21 \tfrac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1} = x - \tfrac{x^3}{6}</math> eingezeichnet.]]

Durch den Übergang vom Winkelmaß zum [[Bogenmaß]] können Sinus und Kosinus sind als [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] von <math>\R</math> nach <math>\R</math> erklärt werden. EsSie kann nachgewiesen werden, dass siesind beliebig oft differenzierbar sind. Für die Ableitungen im Nullpunkt gilt:

</math>.

Die Wahl des Bogenmaßes führt dazu, dass hier die Werte <math>\pm 1</math> auftreten. Die sich daraus ergebenden [[Taylorreihe]]n stellen die Funktionen <math>\sin x</math> und <math>\cos x</math> dar, das heißt:

:<math>\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!} -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\dotsb</math>

:<math>\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}} {(2n)!} = \frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp\dotsb</math>

In der Analysis geht man umgekehrt von einerden [[Reihe (Mathematik)|ReihenentwicklungReihenentwicklungen]] aus und leitet umgekehrt daraus alles her, indem die Funktionen sin und cos durch die oben angegebenen [[Potenzreihe]]n erklärt werden.

Für kleine Werte zeigen diese Reihen ein sehr gutes Konvergenzverhalten. Zur [[Numerische Mathematik|numerischen]] Berechnung lassen sich daher die Periodizität und [[Symmetrische Funktion|Symmetrie der Funktionen]] ausnutzen und der <math>x</math>-Wert bis auf den Bereich <math>-\pi/4</math> bis <math>\pi/4</math> reduzieren. Danach sind fürje einenach gefordertegeforderter Genauigkeit nur noch relativ wenige Glieder der Reihe zu berechnen. Das [[Taylorpolynom]] der Kosinusfunktion bis zur vierten Potenz z.&nbsp;B. hat im Intervall <math>[-\pi/4, \pi/4]</math> einen [[Fehlerschranke#Relativer Fehler|relativen Fehler]] von unter 0,05 %. Im Artikel [[Taylor-Formel]] sind einige dieser so genannten Taylorpolynome grafisch dargestellt und man findet eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe angegeben. Zu beachten ist allerdings, dass die Teilsummen der Taylorpolynome nicht die bestmögliche numerische Approximation darstellen; beispielsweise in [[Abramowitz-Stegun]] finden sich Näherungspolynome mit noch kleinerem Approximationsfehler.<ref>[[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun]]: ''[[Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions]].'' Dover Publications, New York 1964. ISBN 0-486-61272-4, [{{Webarchiv |url=http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/page_76.htm |text=''('''4.3.96'''–'''4.3.99''')].'' |wayback=20090201155054}}.</ref>

= \sum^{\infty}_{l=0}\frac{(\mathrm{i}x)^{2l}}{(2l)!}

+ \sum^{\infty}_{l=0}\frac{(\mathrm{i}x)^{2l+1}}{(2l+1)!}\\

&= \underbrace{\sum^{\infty}_{l=0}(-1)^l \frac{x^{2l}}{(2l)!}}_{\cos x}

+ \mathrm{i} \underbrace{\sum^{\infty}_{l=0} (-1)^l \frac{x^{2l+1}}{(2l+1)!}}_{\sin x}\\

Dabei wurde verwendet:

:<math>\mathrm{i}^{2l} = (\mathrm{i}^2)^l = (-1)^l\,</math>

[[Datei:Sine Cosine Exponential qtl1.svg|miniaturmini|Beziehung zwischen Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion]]

Somit ergibt sich die sogenannte [[Eulersche Formel|Eulerformel]]:

:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} = \cos x + \mathrm{i}\cdot \sin x</math>.

Für eine reelle Zahl <math>x</math> ist also <math> \cos(x)</math> der [[Realteil]] und <math> \sin(x)</math> der [[Imaginärteil]] der komplexen Zahl <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}</math>.

:<math>\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x} = \cos x - \mathrm{i}\cdot \sin x</math>.

Diese GleichungGleichungen giltgelten nicht nur für reelle Argumente, sondern für beliebige komplexe Zahlen. Somit ergibt sich eine alternative Definition für die Sinus- und Kosinusfunktion. Durch Einsetzen der Exponentialreihe leiten sich die oben vorgestellten Potenzreihen ab.

\qquad \mboxtext{und}\qquad

Die Definition des Sinus und Kosinus als Potenzreihe liefert einen sehr bequemen Zugang, da die [[Differentialrechnung|Differenzierbarkeit]] durch die Definition als konvergente Potenzreihe automatisch gegeben ist. Die [[Eulersche Identität|Eulerformel]] ist ebenfalls eine einfache Konsequenz aus den Reihendefinitionen, da sich die Reihen für <math>\cos</math> und <math>\mathrm i \sin</math> ganz offenbar zur Exponentialfunktion zusammenfügen, wie oben gezeigt wurde. Durch Betrachtung der Funktion <math>x \mapsto \mathrm e^{\mathrm i x}</math>, die das Intervall <math>[0,2\pi]</math> auf die Kreislinie abbildet, ergibt sich die Beziehung zur Geometrie, denn <math>\cos(x)</math> und <math>\sin(x)</math> sind nichts weiter als der Real- bzw. Imaginärteil von <math>\mathrm e^{\mathrm i x}</math>, das heißt die [[Projektion (Mengenlehre)|ProjektionProjektionen]] dieses Punktes auf die Koordinatenachsen.

Geht man von dieser Formel aus, erhält man einen alternativen Zugang. Die [[Länge (Mathematik)|Länge]] dieser [[Funktionsgraph|Kurve]] wird auch als Bogenlänge bezeichnet und berechnet sich alszu

:<math>\frac{\mathrm d s}{\mathrm d t} = \frac{2}{1+t^2}</math>.

gilt:

:<math>\frac{\mathrm d t}{\mathrm d s} = \frac{1+t^2(s)}{2}</math>.

:<math>\sin(x+y) = \sin x\,\cos y+\cos x\,\sin y\;</math> und

:<math>\cos(x+y) = \cos x\,\cos y-\sin x\,\sin y</math>

:<math>\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1</math> und

:<math>\cos 0 = 1</math>

ist. Bei diesem Zugang wird offensichtlich die [[Differenzierbarkeit]] des Sinus inan der Stelle 0 vorausgesetzt; <math>\pi</math> wird in weiterer Folge analytisch als das doppelteDoppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus definiert. Verwendet man den Zugang von [[Leopold Vietoris]]<ref name="Vietoris">Leopold Vietoris: ''Vom Grenzwert <math>\lim_{x\to 0}\tfrac{\sin x}{x}</math>.'' In: ''Elemente der Mathematik.'' Band 12, 1957.</ref> und berechnet die Ableitung des Sinus aus den Additionstheoremen, so ist es zweckmäßiger, <math>\pi</math> auf geeignete Weise analytisch (beispielsweise als Hälfte des Grenzwerts des Umfangs des dem Einheitskreis eingeschriebenen <math>2^n</math>-Ecks) zu definieren und dann die Differenzierbarkeit der Lösung dieser Funktionalgleichung zu beweisen. Als Zusatzbedingung zu den Additionstheoremen fordert man dann beispielsweise:

:<math>\sin\alpha = -\cos\left(\alpha + 90^\circ \right) = \cos\left(\alpha-90^\circ\right)</math> ([[Gradmaß]])

:<math>\sin\alpha = -\cos\left(\alpha + \pi/2 \right) = \cos\left(\alpha - \pi/2\right)</math> ([[Bogenmaß]])

:<math>\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1</math> („[[trigonometrischer Pythagoras]]“)

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![[reelleReelle monotone Funktion|Monotonie]]

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches lässt sich der Wert des Kosinus – &nbsp;so wie der des Sinus &nbsp;– periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π [[Radiant (Einheit)|rad]]) bestimmen, d.&nbsp;h. <math>\cos(\alpha + 360^\circ) = \cos\alpha</math>. Außerdem gilt <math>\cos(\alpha + 180^\circ) = -\cos\alpha</math>.

[[Datei:Complex sin.jpg|miniaturmini|Der Sinus ist auch für komplexe Eingabewerte definiert. Da sowohl Ein- als auch Ausgabe eine Zahl auf einer ''Ebene'' und nicht nur einem ''Strahl'' sind, schlagen die Versuche eines klassischen Schaubildes fehl, bei dem Ein- und Ausgabe jeweils 1-dimensional war (<math>x</math> und <math>y</math>-Achse). Es kann aber mit Farben nachgeholfen werden: Ein beliebiger Punkt auf diesem Bild ist (ortstechnisch!) die Eingabe. Die angenommene Farbe symbolisiert über einen Farbschlüssel den Wert, den die Funktion annimmt. Die 0 ist schwarz, die Nullstellen <math>0, \pi</math> usw. des Sinus lassen sich ablesen.]]

[[Datei:Complex cos.jpg|miniaturmini|Graph der komplexen Kosinusfunktion]]

Für [[komplexeKomplexe Zahl|komplexe Argumente]] kann man Sinus und Kosinus entweder über die Reihenentwicklung oder über die Formeln

:<math>\sin z = \sin\left(x+\mathrm{i}\cdot{y}\right) = \sin x\,\cosh y+\mathrm{i}\cos x\,\sinh y</math>

: <math>\cos z = \cos\left(x+\mathrm{i}\cdot{y}\right) = \cos x\,\cosh y-\mathrm{i}\sin x\,\sinh y</math>,

was aus den [[Formelsammlung Trigonometrie#Additionstheoreme|Additionstheoremen]] und den Zusammenhängen <math>\sin\left(\mathrm{i}\cdot{y}\right)=\mathrm{i}\cdot{\sinh y}</math> sowie <math>\cos\left(\mathrm{i}\cdot{y}\right)=\cosh y</math> hergeleitet werden kann, wobei <math>\sinh</math> und <math>\cosh</math> die [[Hyperbelfunktion]]en [[Sinus_hyperbolicus_und_Kosinus_hyperbolicusSinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus|Sinus und Cosinus Hyperbolicushyperbolicus]] bezeichnen.

Sinus und Kosinus sind für reelle Argumente auf [[Bild (Mathematik)|Werte]] aus dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[-1, 1]</math> beschränkt; im [[Definitionsbereich]] der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind sie dagegen unbeschränkt, was aus dem [[Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] folgt. Sinus und Kosinus können für komplexe Argumente sogar beliebige reelle oder komplexe Werte annehmen.

Zum Beispiel istgilt:

:<math>\cos\mathrm{i} = \cosh 1 = \frac{\mathrm e^1 + \mathrm e^{-1}}{2} \approx 1{,}54.</math>

=== WichtigeSpezielle Funktionswerte ===

bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog:

:<math>\sin x = \sin(x + k \cdot 360^\circ)\quad \text{und}\quad \cos x = \cos(x + k \cdot 360^\circ)\,.</math>

Hierbei bezeichnet <math>k \in \Z</math> eine [[ganze Zahl]]. Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf.<ref>{{Literatur |Autor=Georg Hoever |Titel=Höhere Mathematik kompakt |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-662-43994-4 |Online={{Google Buch |BuchID=jQnvAwAAQBAJ |Seite=25}}}}</ref>

=== Beweisskizzen: der Werte ===

:<math>\sin 18^\circbigl(\frac{\pi}{5}\bigr) = \cos 72^\circ=bigl(\frac{3\sqrt{5}-1pi}{410}\bigr)</math>.

:<math>\cos 54^\circ=\sin\bigl(2\cdot18^frac{\circpi}{5}\bigr) = 2 \sin\bigl(\frac{1\pi}{210}\sqrt{bigr) \cos\bigl(\frac{5-\sqrt{5}pi}{2}10}\bigr)</math>

:<math>\cos\bigl(\frac{\sqrt{3}\pi}{210}=\cosbigr) 30^\circ= \cos^2 15^\circ-bigl(\sin^2frac{\pi}{10}\bigr) 15^\circ=bigl[1 -2 4\sin\bigl(\frac{\pi}{10}\bigr)^2 15^\circbigr]</math>.

:<math>2 \alpha=ksin\bigl(\frac{360^\circpi}{2^np_110}\dotsmbigr) p_r = 1 - 4\sin\bigl(\frac{\pi}{10}\bigr)^2</math>

:<math>\bigl[4 \sin{z} = 2^{n-1} \prodbigl(\limits_frac{k=0\pi}^{n-110}\bigr) \sin{\frac{z+k 1\,\pi}{n}}bigr]^2 = 5</math>

:<math>4 \cos{z} = 2^{n-1} sin\prod\limits_{k=0}^{n-1} \cos{bigl(\frac{z+\left(k-\frac{n-1pi}{210}\rightbigr) +1 =\,\pi}sqrt{n5}} </math>

Die Lösung dieser Fixpunktgleichung wurde bereits 1748 von [[Leonhard Euler]] untersucht.<ref>{{Literatur |Autor=[[Leonhard Euler]] |Titel=Introductio in analysin infinitorum |Band=2 |Verlag=Marc Michel Bousquet |Ort=Lausanne |Datum=1748 |Seiten=306–308}}</ref> Sie ist ein einfaches Beispiel für einen nichttrivialen global [[Attraktor|attraktiven]] Fixpunkt,. dasDas heißt, die [[Fixpunktiteration]] <math>x_{n+1} = \cos x_n</math> konvergiert für jeden Startwert <math>x_0</math> gegen die Lösung. Mit dem [[Satz von Lindemann-Weierstraß]] kann nachgewiesen werden, dass es sich dabei um eine [[transzendente Zahl]] handelt. Diese [[mathematische Konstante]] wird im englischen Sprachraum auch als ''Dottie number'' bezeichnet und mit dem [[Armenisches Alphabet|armenischen Buchstaben]] ա ([[Ա|Ayb]]) abgekürzt.<ref>{{MathWorld|title=Dottie number|id=DottieNumber}}</ref>

In der Analysis ist die Verwendung des Bogenmaßes erforderlichpraktisch, daweil dieandernfalls Winkelfunktionen(beim dortGradmaß) oft die fürIdentität das<math>g^\circ=g\cdot\pi/180</math> Bogenmaßzu definiertberücksichtigen sindwäre.

Der Kosinus steht in enger Beziehung mit dem [[StandardskalarproduktSkalarprodukt]] zweier zwei- oder dreidimensionaler [[Vektor]]en <math>\vec{a}=\left( a_1, a_2, \dotsc, a_n \right)</math> und <math>\vec{b}=\left( b_1, b_2, \dotsc, b_n \right)</math>:

:<math>\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a} | \, | \vec{b} | \, \cos \measuredangle (\vec{a},\vec{b})= {a_1}{b_1}+{a_2}{b_2}+\dotsb + {a_n}{b_n}</math>

dasDas Skalarprodukt ist also die Länge der Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. In abstrakten [[Prähilbertraum|Skalarprodukträumen]] wird über diese Beziehung der Winkel zwischen Vektoren definiert.

Der Sinus steht in enger Beziehung mit dem Kreuzprodukt zweier dreidimensionaler [[Vektor]]en <math>\vec{a}</math> und <math>\vec{b}</math>:

zweier dreidimensionaler [[Vektor]]en :<math>|\vec{a}</math>\times\vec{b}| und= <math>|\vec{a}| \, | \vec{b} | \, \sin \measuredangle (\vec{a},\vec{b})</math>:

Die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus lauten:

:<math> \sin ( x \pm y ) = \sin x \; \cos y \pm \cos x \; \sin y </math>

:<math> \cos ( x \pm y ) = \cos x \; \cos y \mp \sin x \; \sin y </math>

:<math> \sin (2x) = 2 \sin x \; \cos x </math>

:<math> \cos (2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 </math>

:<math>a(x) = \sqrt{2}A\sin(x+\varphi_a)</math>

:<math> a(x) = \frac{1}{B^2}\overline{a(x)b(x)}\cdot b(x) + \frac{1}{B^2}\overline{a(x)b'(x)}\cdot b'(x)</math>

in [[Orthogonalit%C3%A4tOrthogonalität#Orthogonale Funktionen|orthogonale]] Komponenten zur Basis der harmonischen Schwingung

:<math>b(x) = \sqrt{2}B\sin(x+\varphi_b)</math>

:<math>\varphi = \varphi_a-\varphi_b</math>

:<math>b'(x) = \frac{\text{d}b(x)}{\text{d}x}</math>

läuft <math>b(x)</math> um eine Viertelperiode voraus. Die in den Zerlegungskoeffizienten enthaltenen [[Gleichwert#Gleichwert bei periodischen Vorgängen|Gleichwerte]] folgen aus einer modifizierten [[Fourier-Analyse]], bei der nicht die Sinus- und Kosinusfunktion, sondern <math>b(x)</math> und <math>b'(x)</math> als Basis dienen. Durch Einsetzen der harmonischen Ansätze ergibt sich schließlich:

:<math> a(x) = \frac{A}{B}\cos\varphi \cdot b(x) + \frac{A}{B}\sin\varphi\cdot b'(x)</math>.

Wird <math>x\;</math> im Bogenmaß angegeben, so gilt fürFür die Ableitung der Sinusfunktion gilt:<ref>[[b:Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion|Wikibooks: Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion]]</ref>

:<math>\sin^{(4n+k)} x = \sin\left(x + k\frac{\pi}2\right) = \left\{\begin{matrix}

:<math>\cos^{(4n+k)} x = \cos\left(x + k\frac{\pi}2\right) = \left\{\begin{matrix}

Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich unmittelbar die [[Stammfunktion]] von Sinus und Kosinus im Bogenmaß:

:<math>\int\sin x\,\mathrm{d}x = -\cos x+C</math>

:<math>\int\cos x\,\mathrm{d}x = \sin x+C</math>

:<math>\kappa(x) = -\frac{\sin x}{\left(1 + \cos^2 x\right)^{3/2}}</math>.

=== GeometrieAllgemeines Dreieck ===

[[Datei:Sinussatz Beispiel.svg|right|mini|Skizze zum Beispiel]]

In der [[Informatik]] wird zur Erstellung von [[Audiodatei]]en (zum Beispiel im [[Audioformat]] [[MP3]]),<ref>Joebert S. Jacaba: {{Webarchiv |wayback=20100613053259 |url=https://www.mp3-tech.org/programmer/docs/jacaba_main.pdf |text=''AUDIO COMPRESSION USING MODIFIEDDISCRETE COSINE TRANSFORM: THE MP3 CODING STANDARD.'' |wayback=20100613053259}}.</ref> [[Digitales Bild|digitalen Bildern]] im [[Grafikformat]] [[JPEG]],<ref>International Telecommunication Union: [https://www.w3.org/Graphics/JPEG/itu-t81.pdf INFORMATION TECHNOLOGY – DIGITAL COMPRESSION AND CODING OF CONTINUOUS-TONE STILL IMAGES – REQUIREMENTS AND GUIDELINES]</ref> Videodateien (zum Beispiel im [[Containerformat]] [[MP4]] oder [[WebM]]) die [[diskrete Kosinustransformation]] oder die [[modifizierte diskrete Kosinustransformation]] verwendet. Zum Abspielen oder Anzeigen solcher Dateien wird die inverse diskrete Kosinustransformation, also die [[Umkehrfunktion]] verwendet.<ref>ITWissen, Klaus Lipinski: [https://www.media-schmid.de/downloads/videokompression.pdf Videokompression]</ref> Bei der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Verarbeitung]] von [[Akustik|akustischen]] und [[Optik|optischen]] Signalen wird unter anderem die [[Schnelle Fourier-Transformation]] verwendet.<ref>Tomas Sauer, Justus-Liebig-Universität Gießen: {{Webarchiv |wayback=20180709153910 |url=https://www.fim.uni-passau.de/fileadmin/files/lehrstuhl/sauer/geyer/DigiSig.pdf |text=''Digitale Signalverarbeitung'' |wayback=20180709153910}}.</ref>

[[Datei:Leistung-PQS-Zeiger.svg|mini| Leistungszeigerdiagramm und Phasenverschiebungswinkel bei sinusförmigen Spannungen und Strömen in der [[Komplexe Ebene|komplexen Ebene]]]]

In der [[Elektrotechnik]] sind häufig elektrische [[Stromstärke]] <math>I</math> und [[Elektrische Spannung|Spannung]] <math>U</math> sinusförmig. Wenn sie sich um einen [[Phasenverschiebungswinkel]]&nbsp;<math>\varphi</math> unterscheiden, dann unterscheidet sich die aus Stromstärke und Spannung gebildete [[Scheinleistung]] <math>S</math> von der [[Wirkleistung]]&nbsp;<math>P</math>.:

:<math>S = U \cdot I \quad ;\quad </math>
:<math>P = U \cdot I \cdot \cos \varphi</math>

Bei nicht sinusförmigen Größen (z.&nbsp;B. bei einem [[Netzteil]] mit herkömmlichem [[Brückengleichrichter]] am Eingang) entstehen [[Oberschwingungen]], bei denen sich kein einheitlicher Phasenverschiebungswinkel angeben lässt. Dann lässt sich zwar noch ein [[Leistungsfaktor]] angeben

:<math>\text{Leistungsfaktor }\lambda = \frac{|P|}S\quad,</math>

angeben, dieser Leistungsfaktor <math>\lambda</math> darf aber mit <math>\cos(\varphi)</math> nicht verwechselt werden.