„Sinus und Kosinus“ – Versionsunterschied

Die lateinische Bezeichnung ''Sinus'' „Bogen, Krümmung, Busen“ für diesen mathematischen Begriff wählte [[Gerhard von Cremona]] 1175<ref>J. Ruska: ''Zur Geschichte des „Sinus“.'' In: ''Zeitschrift für Mathematik und Physik.'' Teubner, Leipzig 1895. S.&nbsp;126&nbsp;ff. Auch online zugänglich: [httphttps://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/imgid/PPN599415665_0040?PPNtify=PPN599415665_0040&DMDID=DMDLOG_0045&LOGID=LOG_0053&PHYSID=PHYS_0548%7B%22pages%22:%5B548%5D%7D Digitalisierungszentrum der Universität Göttingen.]</ref> als Übersetzung der arabischen Bezeichnung ''dschaib'' oder {{arF|جيب&lrm;|dschība|DMG=|de=Tasche, Kleiderfalte}}, selbst entlehnt von [[Sanskrit]] ''jiva'' „Bogensehne“ indischer Mathematiker.

Die Längenverhältnisse der drei Seiten im rechtwinkligen Dreieck sind nur vom Maß eines der beiden [[Winkel#Arten von Winkeln|spitzen Winkel]] abhängig. Denn die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180°. Und weil im rechtwinkligen Dreieck ein Winkel, nämlich der rechte Winkel, mit 90° bekannt ist, müssen die beiden anderen Winkel in der Summe ebenfalls 90° ergeben. Deswegen wird das Maß eines dieser Winkel durch das Maß des anderen Winkels bereits festgelegt. Aufgrund der [[Kongruenzsatz|Kongruenzsätze]] (z.&nbsp;B. WSW) hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur noch vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab.

Wird statt von ''α'' von dem gegenüberliegenden Winkel ''β'' ausgegangen, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von ''α'' wird zur Gegenkathete von ''β,'' die Gegenkathete von ''α'' bildet nun die Ankathete von ''β'' und es gilt:

Die Umkehrungen der Sinus- und Kosinusfunktion sind nicht eindeutig. Zu jeder Zahl <math>y</math> zwischen −1 und 1 (<math>-1 < y < 1</math>) gibt es schon zwischen 0° und 360° (<math> 0^\circ < \alpha \leq 360^\circ </math>) immer genau zwei Winkel. Symmetrien der Winkelfunktionen erkennt man an folgenden Beziehungen:

wobei <math> k </math> eine beliebige ganze Zahl ist. Es gibt also nicht nur die Symmetrien zu <math>\alpha=0^\circ</math> (cos) bzw. <math>\alpha=90^\circ</math> (sin) und zu <math>(0^\circ|0)</math> (sin) bzw. <math>(90^\circ|0)</math> (cos), sondern unendlich viele Symmetrieachsen und Symmetriezentren für beide Funktionen.

\sin^{(4n+k)}( 0) = \sin\left(\frac{k\,\pi}2\right) = \left\{\begin{matrix}

\cos^{(4n+k)}( 0) = \cos\left(\frac{k\,\pi}2\right) = \left\{\begin{matrix}

:<math>\sin( x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!} -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\dotsb</math>

:<math>\cos( x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}} {(2n)!} = \frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp\dotsb</math>

Für kleine Werte zeigen diese Reihen ein sehr gutes Konvergenzverhalten. Zur [[Numerische Mathematik|numerischen]] Berechnung lassen sich daher die Periodizität und [[Symmetrische Funktion|Symmetrie der Funktionen]] ausnutzen und der <math>x</math>-Wert bis auf den Bereich <math>-\pi/4</math> bis <math>\pi/4</math> reduzieren. Danach sind je nach geforderter Genauigkeit nur noch relativ wenige Glieder der Reihe zu berechnen. Das [[Taylorpolynom]] der Kosinusfunktion bis zur vierten Potenz z.&nbsp;B. hat im Intervall <math>[-\pi/4, \pi/4]</math> einen [[Fehlerschranke#Relativer Fehler|relativen Fehler]] von unter 0,05 %. Im Artikel [[Taylor-Formel]] sind einige dieser Taylorpolynome grafisch dargestellt und man findet eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe. Zu beachten ist allerdings, dass die Teilsummen der Taylorpolynome nicht die bestmögliche numerische Approximation darstellen; beispielsweise in [[Abramowitz-Stegun]] finden sich Näherungspolynome mit noch kleinerem Approximationsfehler.<ref>[[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun]]: ''[[Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions]].'' Dover Publications, New York 1964. ISBN 0-486-61272-4, [{{Webarchiv |url=http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/page_76.htm |text=''('''4.3.96'''–'''4.3.99''')].'' |wayback=20090201155054}}.</ref>

=== WichtigeSpezielle Funktionswerte ===

=== Beweisskizzen: der Werte ===

:<math>\sin 18^\circbigl(\frac{\pi}{5}\bigr) = \cos 72^\circ = bigl(\frac{3\sqrt{5}-1pi}{410}\bigr)</math>

:<math>\cos 54^\circ = sin\sinbigl(2\cdot18^frac{\pi}{5}\circbigr) = 2 \sin\bigl(\frac{1\pi}{210}\sqrt{bigr) \cos\bigl(\frac{5-\sqrt{5}pi}{2}10}\bigr)</math>

:<math>\cos\bigl(\frac{3\sqrt{3}pi}{210}\bigr) = \cos 30^\circ=bigl(\cos^2 15^frac{\circ-pi}{10}\sin^2bigr) 15^\circbigl[1 =- 1-24\sin\bigl(\frac{\pi}{10}\bigr)^2 15^\circbigr]</math>.

Die folgenden AusdrückeMultiplikationsformeln gelten für alle <math>n\in\N</math> und komplexen Argumente <math>z</math>:

=== Fixpunkte ===

Der Kosinus steht in enger Beziehung mit dem [[StandardskalarproduktSkalarprodukt]] zweier zwei- oder dreidimensionaler [[Vektor]]en <math>\vec{a}=\left(a_1, a_2, \dotsc, a_n\right)</math> und <math>\vec{b}=\left(b_1, b_2, \dotsc, b_n\right)</math>:

:<math>\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a} | \, | \vec{b} | \, \cos \measuredangle (\vec{a},\vec{b}) = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + \dotsb + {a_n}{b_n}</math>

Das Skalarprodukt ist also die Länge der Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. In abstrakten [[Prähilbertraum|Skalarprodukträumen]] wird über diese Beziehung der Winkel zwischen Vektoren definiert.

:<math>\sin^{(4n+k)} x = \sin\left(x + k\frac{\pi}2\right) = \left\{\begin{matrix}

:<math>\cos^{(4n+k)} x = \cos\left(x + k\frac{\pi}2\right) = \left\{\begin{matrix}

=== GeometrieAllgemeines Dreieck ===