Satz von Bloch

mathematischer Satz
(Weitergeleitet von Landau-Konstante)

Der Satz von Bloch ist eine Aussage der Funktionentheorie, die 1925 von dem französischen Mathematiker André Bloch bewiesen wurde. Der Satz gibt eine Grenze für die Komplexität des Bildgebiets holomorpher Funktionen an.

Motivation

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Es sei   ein Gebiet. Dann ist eine nicht-konstante holomorphe Funktion   eine offene Abbildung, was bedeutet, dass für jeden Bildpunkt eine Kreisscheibe existiert, die im Bild   liegt. Der Satz von Bloch verschärft diese Aussage dahingehend, dass (bis auf Normierung) unabhängig von der Funktion eine Kreisscheibe bestimmter Größe im Bildgebiet liegt.

Wenn   die Einheitskreisscheibe und   eine holomorphe Funktion mit   ist, dann enthält das Bildgebiet   eine Kreisscheibe vom Radius  

Konsequenzen

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  • Es sei   ein Gebiet und   holomorph mit   für ein  . Dann enthält   eine Kreisscheibe vom Radius   mit  
  • Eine nicht-konstante ganze (auf ganz   holomorphe) Funktion enthält Kreisscheiben beliebig großer Radien. Die Mittelpunkte der Kreise sind aber je nach Radius verschieden, es wird also nicht immer ganz   überdeckt, zum Beispiel ist  
  • Der Kleine Satz von Picard lässt sich mit Hilfe des Satzes von Bloch beweisen, wenn man nicht auf die Ergebnisse der Uniformisierungstheorie zurückgreifen will.

Landausche Konstante

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Der Satz von Bloch gibt eine untere Schranke für den Radius   an. Es stellt sich die Frage nach der optimalen Konstante, also danach, welches die größte Kreisscheibe ist, die in jedem Fall Platz findet. Dazu sei für   das Supremum aller möglichen Radien von Kreisscheiben, die in   Platz finden, definiert:

 

Die landausche Konstante   ist dann definiert als

 

Die genaue Größe der Konstante ist nicht bekannt, jedoch gibt es die folgenden Abschätzungen:

      (Folge A081760 in OEIS),

wobei   die Eulersche Gammafunktion bezeichnet.

Die obere Grenze fanden Raphael Robinson 1937 (unveröffentlicht) und Hans Rademacher 1942, der auch vermutete, dass die obere Schranke dem tatsächlichen Wert der landauschen Konstante entspricht. Diese Vermutung ist bis heute ein offenes Problem.

Blochsche Konstante

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Die Bedingung   im Satz von Bloch impliziert gemäß dem Satz über implizite Funktionen, dass ein nicht näher bestimmtes Gebiet sogar biholomorph auf sein Bild abgebildet wird. Deshalb ist es naheliegend, die gleiche Fragestellung mit der zusätzlichen Bedingung, die im Bildgebiet Platz findende Kreisscheibe müsse biholomorphes Bild eines Gebietes sein, ebenfalls zu untersuchen.

Bloch selbst erzielte die Abschätzung  

Es sei für   das Supremum aller möglichen Radien von Kreisscheiben in  , die biholomorphes Bild eines Teilgebietes von   sind, definiert:

 

Die blochsche Konstante   ist dann definiert als

 

Der genaue Wert der blochschen Konstante ist ebenfalls nicht bekannt, gefunden wurden bisher die Abschätzungen

      (Folge A085508 in OEIS),

wobei   die lemniskatische Konstante bezeichnet.

Die obere Grenze fanden L. V. Ahlfors und H. Grunsky 1937. Sie vermuteten zudem, dass diese Grenze dem tatsächlichen Wert der blochschen Konstante entspricht. Auch diese Vermutung konnte bisher nicht bewiesen werden.

Literatur

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  • André Bloch: Les théorèmes de M. Valiron sur les fonctions entières et la théorie de l’uniformisation. Annales de la faculté des sciences de l’université de Toulouse 3e série 17, 1925, S. 1–22 (bei Numdam: [1])
  • Edmund Landau: Über die Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten (22. März 1929), Mathematische Zeitschrift 30, Dezember 1929, S. 608–634 („ “ auf S. 611, „ “ auf S. 614; beim GDZ: [2])
  • Lars V. Ahlfors, Helmut Grunsky: Über die Blochsche Konstante (9. Dezember 1936), Mathematische Zeitschrift 42, Dezember 1937, S. 671–673 (beim GDZ: [3])
  • Lars V. Ahlfors: An extension of Schwarz’s lemma (1. April 1937), Transactions of the AMS 43, Mai 1938, S. 359–364 (englisch; „B≥31/2/4“ und „L≥1/2“ auf S. 364; bei der AMS: [4])
  • Hans Rademacher: On the Bloch-Landau constant (21. März 1942), American Journal of Mathematics 65, Juli 1943, S. 387–390 (englisch; bei Google Books: [5])
  • Albert Baernstein II, Jade P. Vinson: Local minimality results related to the Bloch and Landau constants, in Peter Duren, Juha Heinonen, Brad Osgood, Bruce Palka (Hrsg.): Quasiconformal mappings and analysis. A collection of papers honoring F. W. Gehring, Springer, New York 1998, ISBN 0-387-98299-X, S. 55–89 (englisch; bei Google Books: [6])
  • Steven R. Finch: Mathematical Constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 456
  • Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. Springer, 2006, ISBN 3-540-40432-5
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