Binomial-Prozess

Als Binomial-Prozesse bezeichnet man eine spezielle Klasse von Punktprozessen in der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Binomial-Prozesse sind den Poisson-Prozessen ähnlich, jedoch ist die Anzahl der Ereignisse pro Intervall binomialverteilt und nicht Poisson-verteilt.

Definition

Gegeben sei eine ganze Zahl $n$ und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ auf einem Messraum $(X,{\mathcal {B}})$ sowie $n$ unabhängig, identisch und gemäß $P$ verteilte Zufallsvariablen $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$. Es gilt also $X_{i}\sim P$ für alle $i$. Des Weiteren bezeichne $\delta _{x}$ das Dirac-Maß auf dem Punkt $x$, also

$\delta _{x}(A):={\begin{cases}1&{\text{ falls }}x\in A\ \\0&{\text{ sonst }}\end{cases}}$

für $A\in {\mathcal {B}}$.

Dann heißt das durch

$\zeta :=\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}}$

definierte zufällige Maß $\zeta$ auf $(X,{\mathcal {B}})$ ein Binomial-Prozess.

Bemerkung

Für jede messbare Menge $A$ gilt per Definition

$\zeta (A)=\#\{i\mid X_{i}\in A\}$

Hierbei bezeichnet $\#M$ die Mächtigkeit der Menge $M$, also die Anzahl ihrer Elemente. Der Prozess zählt somit, wie viele der $n$ Zufallsvariablen Werte in der Menge $A$ annehmen. Somit ist für jede messbare Menge $A$ die Zufallsvariable $\zeta (A)$ immer binomialverteilt mit Parametern $n$ und $P(A)$, es gilt also

$\zeta (A)\sim \operatorname {Bin} _{n,P(A)}$.

Eigenschaften

Zugehöriger Sprungprozess

Im reellen Fall, also für $(X,{\mathcal {B}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ ist der zum Punktprozess gehörende Sprungprozess gegeben durch

$X_{t}:=\zeta ((-\infty ,t])=\#\{i\mid X_{i}\leq t\}$.

Er gibt an, wie viele der Zufallsvariablen Werte kleinergleich $t$ annehmen.

Laplace-Transformierte

Die Laplace-Transformation eines Binomial-Prozesses ist gegeben durch

${\mathcal {L}}_{P,n}(f)=\left[\int \exp(-f(x))\mathrm {P} (dx)\right]^{n}$

für alle messbaren positiven Funktionen $f$.

Intensitätsmaß

Das Intensitätsmaß $\operatorname {E\zeta }$ eines Binomial-Prozesses $\zeta$ ist gegeben durch

$\operatorname {E\zeta } =nP$.

Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung der Binomial-Prozesse sind gemischte Binomial-Prozesse. Dabei wird die bei Binomial-Prozessen deterministische Anzahl der Zufallsvariablen $n$ durch eine Zufallsvariable ersetzt.

Literatur

• Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.