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Version vom 1. Januar 2013, 11:24 Uhr

Mathematikstudent im fortgeschrittenen semester sowie Geologiestudent aus privatem interesse

Zurzeit einige meiner Babys hier:

sowie mal n bissl Ordnung in die Kategorisierung der Matritzen bringen.

(Leider ist die Rechtschreibung keine meiner Stärken, danke an alle User die sich die Mühe machen das Auszubessern)

Baustelle

Hier sind rohentwürfe zu beiträgen zu finden oder auch nur fragmentarische gedanken was so noch alles zu tun ist

adjazenzmatrix

präzise mathematische formulierung, wei schlagen sich eigenschaften von graphen in der adjazenzmatrix nieder?? (symmetrie = ungerichtet etc pp) zugriff bzw speicher in landaunotation wann inf und wann 0 in der adjazenzmatrix??

mathematischeformulierung: $A$ ist adjazenzmatrix von graph $G=(V,E)$

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle a_{i,j}= \begin{cases} 1 \; \text{falls} \; (i,j) \in E \\ 0 \; \text{sonst} \end{cases} }

Ist der graph gewichtet, so ist

$a_{i,j}={\begin{cases}c_{ij}\;{\text{falls}}\;(i,j)\in E\\0\;{\text{sonst}}\end{cases}}$

graphen mit mehrfachkanten??

Ist die Adjazenzmatrix Symmetrisch, so ist der graph ungerichtet. sind die diagonaleinträge 0, so ist der graph schleifenfrei. Ist die Adjazenzmatrix Irreduzibel, so ist der Graph stark zusammenhängend Der zugriff aud die adjazenzmatrix erfolgt in ${\mathcal {O}}(1)$ , der benötigte speicher ist von ${\mathcal {O}}(n^{2})$ wobei n die anzahl der Knoten im graph ist

Übergangsgraph

neu anlegen?? zur veranschaulichung zeitlich diskreter und invarianter Markovketten mit endlichem zustandsraum. würde ne gute brücke zwischen stochastik (markovkette) lineare algebra (übergangsmatrix=adjazenzmatrix des übergangsgraphs) und graphentheorie schlagen. insbes könnte man bei PageRank nen schönen ansatz für allgemeine netzwerke hiinzufügen: über die adjazenzmatrix zur markovkette zum pagerank

irreduzible matrix

neu anlegen?? wichtig wegen der äquivalenz irreduzible markovkette äquiv irreduzible matrix bzw irreduzible adjazenzmatrix äquiv stark zusammenhängender graph und zur verschlankung vom satz von perron frobenius. schönes beispiel ausdenken!! (Äquivalenzen recherchieren)

Irreduzible Matrix

Irreduzbilität von Matrizen ist ein konzept der linearen Algebra, welches auch enge verbindungen zur Graphentheorie aufweist. Vereinfacht gesagt ist eine matrix irreduzibel, wenn die Zeilen und saplten nicht so Permutiert werden könne, das die matrix in obere Blockdreiecksgestalt überführt wird

Definition

Eine Matrix $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ heißt reduzibel, wenn eine Permutationsmatrix $P$ existiert, so dass

PAP^{T}={\begin{pmatrix}A_{MM}&A_{MN}\\0&A_{NN}\end{pmatrix}}.

Dabei ist $A_{MM}$ aus $\mathbb {R} ^{p\times p}$ mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle p \in {1, \ldots n-1}} und die amderen Blockmatritzen passen dimensioniert. Ist diese Umordung nicht möglich, so heißt die Matrix irreduzibel.

Sind alle Eintrage der Matrix $A$ größergleich 0, so ist dies Äquivalent dazu, dass eine Zahl $k\in \mathbb {N}$ existiert, für die gilt dass $A^{k}>0$ , also dass alle Einträge echtgrößer 0 sind

Eigenschaften

Irreduzible Matrizen Spielen eine Rolle für die Existenz von Eigenvektoren und die Dimension des dazugehörigen Eigenraums, siehe dazu Satz von Perron-Frobenius. Desweiteren gibt es eine enge Verbindung zur Graphentheorie: Ist $A$ Adjazenzmatrix des Graphen $G=(V,E)$ und irreduzibel, so ist der Graph stark Zusammenhängend

Beispiele

blabla

Literatur

Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra: Grundlagen und Anwendungen. 1. Auflage. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-32185-6.

Spektrum

hat das nich eig nen eigenen artikel verdient?? kommt so oft vor, wird aber jedes mal neu definiert

Spektrale lücke (engl. eigengap:)

wichtig für konvergenz numerischer verfahren (insbes Potenzmethode). RECHERCHE!!

Pagerank

viel arbeit zu tun: ansatz als markovkette, lösungsansätze für das EW- bzw LGS problem, etc pp. erstmal gute basis schaffen mit der adjazenzmatrix, übergangsmatrix etc

Potenzmethode

detaillierterer beweiß für den nichtdiagonalisierbaren fall?? oderist das matheoverkill?? argumentation bei verwendung_ pagerank hat gut separierte eigenwerte!!!

Übergangsmatrix

substochastisch näher ausführen (evtl auslagern), Invarianz unter matrixmultiplikation!! stochastischer vektor ausführen??

@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 neu anlegen?? wichtig wegen der äquivalenz irreduzible markovkette äquiv irreduzible matrix bzw irreduzible adjazenzmatrix äquiv stark zusammenhängender graph und zur verschlankung vom satz von perron frobenius. schönes beispiel ausdenken!! (Äquivalenzen recherchieren)
+== Irreduzible Matrix ==
+Irreduzbilität von Matrizen ist ein konzept der linearen Algebra, welches auch enge verbindungen zur [[Graphentheorie]] aufweist. Vereinfacht gesagt ist eine matrix  irreduzibel, wenn die Zeilen und saplten nicht so Permutiert werden könne, das die matrix in obere Blockdreiecksgestalt überführt wird
+== Definition ==
+Eine Matrix  <math>A \in \mathbb{R}^{n \times n}</math> heißt  reduzibel,  wenn eine [[Permutationsmatrix]] <math> P </math> existiert, so dass
+:<math>PAP^T=
+\begin{pmatrix}A_{MM}& A_{MN}\\
+&A_{NN}\end{pmatrix}.</math>
+Dabei ist  <math>A_{MM}</math>  aus <math>\mathbb{R}^{p \times p}</math> mit <math>p \in {1, \ldots n-1}</math> und die amderen Blockmatritzen passen dimensioniert.
+Ist diese Umordung nicht möglich, so heißt die Matrix irreduzibel.
+Sind alle Eintrage der Matrix  <math>A</math> größergleich 0, so ist dies Äquivalent dazu, dass eine Zahl <math>k \in \mathbb{N}</math> existiert, für die gilt dass <math>A^k >0 </math>, also dass alle Einträge echtgrößer 0 sind
+== Eigenschaften ==
+Irreduzible Matrizen Spielen eine Rolle für die Existenz von Eigenvektoren und die Dimension des dazugehörigen Eigenraums, siehe dazu [[Satz von Perron-Frobenius]]. Desweiteren gibt es eine enge Verbindung zur [[Graphentheorie]]: Ist <math>A</math> [[Adjazenzmatrix]] des Graphen <math>G=(V,E)</math> und irreduzibel, so ist der Graph [[Zusammenhang (Graphentheorie)|stark Zusammenhängend]]
+== Beispiele ==
+blabla
+== Literatur ==
+* Peter Knabner, Wolf Barth: ''Lineare Algebra: Grundlagen und Anwendungen.'' 1. Auflage. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-32185-6.
 === Spektrum ===

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