„Gemischter Binomial-Prozess“ – Versionsunterschied
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definierte [[zufälliges Maß|zufällige Maß]] <math> \zeta </math> auf <math> ( |
definierte [[zufälliges Maß|zufällige Maß]] <math> \zeta </math> auf <math> (S, \mathcal A) </math> ein gemischter Binomial-Prozess. Ist <math> P </math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Verteilung]] der <math> X_i </math>, also <math> X_i \sim P </math>, so heißt <math> \zeta </math> auch der durch <math> Y </math> und <math> P </math> gegebene gemischte Binomial-Prozess. |
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== Eigenschaften == |
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Aktuelle Version vom 29. Dezember 2017, 21:17 Uhr
Als gemischte Binomial-Prozesse bezeichnet man eine spezielle Klasse von Punktprozessen in der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Gemischte Binomial-Prozesse sind Verallgemeinerungen von Binomial-Prozessen in dem Sinne, als dass bei ihnen nicht eine deterministische Anzahl von Zufallsvariablen betrachtet wird, sondern eine zufällige.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Gegeben sei ein Messraum sowie unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen mit Werten in . Des Weiteren sei eine weitere Zufallsvariable, die unabhängig von allen ist und fast sicher Werte in annimmt. Es bezeichne das Dirac-Maß auf dem Punkt , also
für .
Dann heißt das durch
definierte zufällige Maß auf ein gemischter Binomial-Prozess. Ist die Verteilung der , also , so heißt auch der durch und gegebene gemischte Binomial-Prozess.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Intensitätsmaß und Verteilung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für jede messbare Menge ist eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern und . Es gilt also
- .
Ist und sind die integrierbar, so gilt nach der Formel von Wald
- .
Hierbei ist wieder also zufälliges Maß zu sehen. Somit ist das Intensitätsmaß eines gemischten Binomial-Prozesses in diesem Fall durch
gegeben.
Beziehung zum Binomial-Prozess
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Nimmt die Zufallsvariable fast sicher den Wert an, so geht der gemischte Binomialprozess in einen Binomial-Prozess über, der durch und die Verteilung von bestimmt wird.
Laplace-Transformierte
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Laplace-Transformation eines gemischten Binomial-Prozesses gegeben ist gegeben durch
für alle messbaren positiven Funktionen .
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.