Mohrscher Spannungskreis

Bild 1: Mohrscher Kreis für 2D Spannungszustand${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&4\\4&5\end{bmatrix}}$

Der Mohrsche Kreis oder auch Mohrsche Spannungskreis, benannt nach Christian Otto Mohr, ist eine Möglichkeit, den 3D-Spannungszustand eines Punktes, oder eines Volumens konstanter Spannung, zu veranschaulichen oder zu untersuchen.

Dazu wird auf einen infinitesimalen Volumen ein Freischnitt durchgeführt, wodurch der Traktionsvektor t auf der Schnittfläche sichtbar wird. Dieser Traktionsvektor, auch Spannungsvektor genannt, wird zerlegt in seinen Anteil $t_{\bar {x}}$ senkrecht zur Schnittfläche und seinen Anteil $t_{\bar {y}}$ parallel zur Schnittfläche. Abhängig vom Winkel $\varphi$, unter dem geschnitten wird, lassen sich Paare $(t_{\bar {x}},t_{\bar {y}})$ berechnen und in ein Diagramm als Punkte einzeichnen. Die Menge aller Punkte ist der Mohrsche Kreis. An ihm lassen sich z. B. die Hauptspannungen, die Hauptspannungsrichtungen oder die größte Schubspannung ablesen. Dadurch gewinnt man eine anschauliche Vorstellung von der Beanspruchung des Volumens. Bei Festigkeitskriterien, wie Versagenskriterien, Fließkriterien oder Elastizitätsgrenzen, von isotrophen, homogenen Materialien sind ausschließlich die Hauptspannungen relevant. Bei einigen Festigkeitskriterien ist die nur die Beanspruchung in der Ebene der größten und kleinsten Hauptspannung relevant, hier werden auch noch im Computerzeitalter oft noch die Mohrschen Spannungskreise zur Auswertung verwendet, da sie eine anschauliche und oft schnellere Lösung liefern.

Der Mohrsche Kreis kann auch zur Berechnung des Traktionsvektors auf eine beliebige Flächennormale verwendet werden und somit kann man die Komponenten des Spannungstensors rückbestimmen: Sind die Spannungstensor-Komponenten bezogen auf ein kartesisches $(x,y)$-Koordinatensystem gegeben, dann lassen sich mit dem Mohrschen Kreis die Spannungstensor-Komponenten bezogen auf ein kartesisches $({\bar {x}},{\bar {y}})$-Koordinatensystem grafisch bestimmen. Vorausgesetzt ist hierbei, dass das $({\bar {x}},{\bar {y}})$-Koordinatensystem durch eine Drehung um den Winkel $\varphi$ aus dem $(x,y)$-Koordinatensystem hervorgeht.

Neben dem Cauchy-Spannungstensor können auch andere symmetrische Tensoren mit dem Mohrschen Kreis veranschaulicht oder untersucht werden, z. B. der Verzerrungstensor. Und neben dem Mohrschen Kreis gibt es auch andere Verfahren zur Veranschaulichung symmetrischer Tensoren, z. B. Superquadriken oder Ellipsoide.

Schnittspannungsvektor

(x, y)-Komponenten

Bild 2: Teilchen mit Spannung $\sigma$ geschnitten senkrecht zu x (links) und unter einem Winkel $\varphi$ (rechts), Normalen-Einheitsvektor n, Schnittspannungsvektor t.

Der Spannungszustand an einem Teilchen ist festgelegt durch den symmetrischen Cauchy-Spannungstensor $\sigma$, der meist als (2,0)-Tensor definiert wird. An diesem Teilchen und durch seine unmittelbare Umgebung lässt sich ein Freischnitt führen in beliebiger Richtung. An der entstandenen Schnittfläche lässt sich der Schnittspannungsvektor t (traction vector) berechnen. Der Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor und dem Schnittspannungsvektor t ist:

${\begin{aligned}t=\sigma \cdot n\end{aligned}}$

wobei n ein Normalen-Einheitsvektor ist, der senkrecht auf der Schnittfläche steht und „nach außen“ zeigt. Die Komponenten des Spannungsvektors t bezogen auf das kartesische $(x,y)$-Koordinatensystem werden aus den Komponenten des Spannungstensors und denen des Normalen-Einheitsvektors mittels Matrixmultiplikation bzw. nach der Summenkonvention berechnet als:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{x}\\t_{y}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{x}\\n_{y}\\\end{bmatrix}}\qquad \Leftrightarrow \qquad {\begin{cases}{\begin{matrix}t_{x}=\sigma _{xx}n_{x}+\tau _{xy}n_{y}\\t_{y}=\tau _{xy}n_{x}+\sigma _{yy}n_{y}\end{matrix}}\end{cases}}\\t^{i}&=\sigma ^{ij}n_{j}\end{aligned}}$

Wenn an einem Schnittufer n der Normalen-Einheitsvektor ist, ist am gegenüber liegenden Schnittufer −n der Normalen-Einheitsvektor. Damit ist das Reaktionsprinzip mit der Definition des Spannungstensors von vornherein erfüllt.

Bild 3: Zusammenhang zwischen den Komponenten des Spannungstensors und denen der Schnittspannungsvektoren

Die Komponenten von t bezogen auf das $(x,y)$-Koordinatensystem lassen sich für jede beliebige Schnittrichtung berechnen:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{x}\\t_{y}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{\varphi }\\s_{\varphi }\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

mit den Abkürzungen:

${\begin{aligned}c_{\varphi }&=\cos \varphi \\s_{\varphi }&=\sin \varphi \end{aligned}}$

Besonders einfach ist die Berechnung für Schnitte parallel zu den Koordinatenflächen. Bei $\varphi =0^{\circ }$ ist wegen $(c_{0^{\circ }},s_{0^{\circ }})=(1,0)$:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{x}\\t_{y}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\cdot 1+\tau _{xy}\cdot 0\\\tau _{xy}\cdot 1+\sigma _{yy}\cdot 0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\tau _{xy}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Bei $\varphi =90^{\circ }$ ist wegen $(c_{90^{\circ }},s_{90^{\circ }})=(0,1)$:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{x}\\t_{y}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\tau _{xy}\\\sigma _{yy}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Schnittwinkel $\varphi$	$n_{x}$	$n_{y}$	$t_{x}$	$t_{y}$
$0^{\circ }$	$1$	$0$	$\sigma _{xx}$	$\tau _{xy}$
$90^{\circ }$	$0$	$1$	$\tau _{xy}$	$\sigma _{yy}$
$180^{\circ }$	$-1$	$0$	$-\sigma _{xx}$	$-\tau _{xy}$
$270^{\circ }$	$0$	$-1$	$-\tau _{xy}$	$-\sigma _{yy}$

Die Komponenten des Spannungstensors sind also auch die Komponenten der Spannungen auf den Schnittflächen. Und der Mohrsche Kreis beschreibt, wie diese Spannungen von der Schnittrichtung abhängen.

(x̅, y̅)-Komponenten

Bild 4: $(t_{x},t_{y})$ und $(t_{\bar {x}},t_{\bar {y}})$

Bild 5: Zählrichtung für Schnittwinkel $\varphi$ sowie $(t_{\bar {x}},t_{\bar {y}})$ für 12 Schnittwinkel. Beispiel: ${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&4\\4&5\end{bmatrix}}$

Im Abschnitt #(x, y)-Komponenten wurden die Komponenten von t bezogen auf das $(x,y)$-Koordinatensystem angegeben. Die Komponenten von t bezogen auf das $({\bar {x}},{\bar {y}})$-Koordinatensystem sind:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{\bar {x}}\\t_{\bar {y}}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}c_{\varphi }&s_{\varphi }\\-s_{\varphi }&c_{\varphi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t_{x}\\t_{y}\end{bmatrix}}\qquad \Leftrightarrow \qquad {\begin{cases}{\begin{matrix}t_{\bar {x}}=c_{\varphi }t_{x}+s_{\varphi }t_{y}\\t_{\bar {y}}=-s_{\varphi }t_{x}+c_{\varphi }t_{y}\end{matrix}}\end{cases}}\end{aligned}}$

Durch Einsetzen und mit Hilfe der Umformungen

${\begin{aligned}t_{\bar {x}}(\varphi )&=t_{x}c_{\varphi }+t_{y}s_{\varphi }\\&=(\sigma _{xx}c_{\varphi }+\tau _{xy}s_{\varphi })c_{\varphi }+(\tau _{xy}c_{\varphi }+\sigma _{yy}s_{\varphi })s_{\varphi }\\&=\sigma _{xx}c_{\varphi }^{2}+2\tau _{xy}s_{\varphi }c_{\varphi }+\sigma _{yy}s_{\varphi }^{2}\\&=\sigma _{xx}{\tfrac {1+c_{2\varphi }}{2}}+\tau _{xy}s_{2\varphi }+\sigma _{yy}{\tfrac {1-c_{2\varphi }}{2}}\\&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})+{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})c_{2\varphi }+\tau _{xy}s_{2\varphi }\\t_{\bar {y}}(\varphi )&=-t_{x}s_{\varphi }+t_{y}c_{\varphi }\\&=-(\sigma _{xx}c_{\varphi }+\tau _{xy}s_{\varphi })s_{\varphi }+(\tau _{xy}c_{\varphi }+\sigma _{yy}s_{\varphi })c_{\varphi }\\&=-\sigma _{xx}s_{\varphi }c_{\varphi }+\tau _{xy}(-s_{\varphi }^{2}+c_{\varphi }^{2})+\sigma _{yy}s_{\varphi }c_{\varphi }\\&=-(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})s_{\varphi }c_{\varphi }+\tau _{xy}(-s_{\varphi }^{2}+c_{\varphi }^{2})\\&=-(\sigma _{xx}-\sigma _{yy}){\tfrac {1}{2}}s_{2\varphi }+\tau _{xy}c_{2\varphi }\\\end{aligned}}$

erhält man:

${\begin{aligned}t_{\bar {x}}(\varphi )-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})c_{2\varphi }+\tau _{xy}s_{2\varphi }\\t_{\bar {y}}(\varphi )&=-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})s_{2\varphi }+\tau _{xy}c_{2\varphi }\end{aligned}}$

Auf diesen beiden Gleichungen basiert die Konstruktion des Mohrschen Kreises. Für das Beispiel:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}-1&4\\4&5\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

sind diese Formeln im Bild 5 für 12 verschiedene Winkel ausgewertet.

Bild 5 zeigt nicht den Mohrschen Kreis. Sondern Bild 5 veranschaulicht die Formeln für $t_{\bar {x}}$ und $t_{\bar {y}}$. Man sieht an jedem Schnitt den dort wirkenden Schnittspannungsvektor und seine $({\bar {x}},{\bar {y}})$-Komponenten – also seine Komponenten in Bezug auf das $({\bar {x}},{\bar {y}})$-Koordinatensystem.

Den Mohrschen Kreis erhält man, indem man $t_{\bar {y}}$ über $t_{\bar {x}}$ aufträgt – indem man also ein Diagramm zeichnet, worin die Paare $(t_{\bar {x}},t_{\bar {y}})$ als Punkte dargestellt sind. Dies wird im folgenden Abschnitt getan.

Für Schnitte parallel zu den $(x,y)$-Koordinatenflächen ist:

Schnittwinkel $\varphi$	$n_{x}$	$n_{y}$	$t_{\bar {x}}$	$t_{\bar {y}}$
$0^{\circ }$	$1$	$0$	$\sigma _{xx}$	$\tau _{xy}$
$90^{\circ }$	$0$	$1$	$\sigma _{yy}$	$-\tau _{xy}$
$180^{\circ }$	$-1$	$0$	$\sigma _{xx}$	$\tau _{xy}$
$270^{\circ }$	$0$	$-1$	$\sigma _{yy}$	$-\tau _{xy}$

Kreisgleichung und Hauptspannungen

Kreisgleichung

Bild 6: Innen: Zählrichtung für $2\varphi$ im Uhrzeigersinn sowie Punkte $(t_{\bar {x}},t_{\bar {y}})$ für $2\varphi =60^{\circ },120^{\circ }$ etc. . Außen: Zählrichtung für $\varphi$ entgegen Uhrzeigersinn sowie Schnitte für $\varphi =30^{\circ },60^{\circ }$ etc., vgl. Bild 5

Aus den Gleichungen für $t_{\bar {x}}$ und $t_{\bar {y}}$ wird die Kreisgleichung des Mohrschen Kreises abgeleitet. Quadrieren beider Gleichungen liefert zunächst:

${\begin{aligned}\left(t_{\bar {x}}-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\right)^{2}&=\left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})c_{2\varphi }+\tau _{xy}s_{2\varphi }\right)^{2}\\t_{\bar {y}}^{2}&=\left(-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})s_{2\varphi }+\tau _{xy}c_{2\varphi }\right)^{2}\end{aligned}}$

Und durch Addieren dieser Gleichungen erhält man die Gleichung eines Kreises mit Radius R und Mittelpunkt bei (a,b), nämlich:

${\begin{aligned}(t_{\bar {x}}-a)^{2}+(t_{\bar {y}}-b)^{2}&=R^{2}\\(t_{\bar {x}}-\underbrace {{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})} _{a})^{2}+(t_{\bar {y}}-\underbrace {0} _{b})^{2}&=\underbrace {\left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}} _{R^{2}}\end{aligned}}$

Der Mittelpunkt des Mohrschen Kreises liegt bei:

${\begin{aligned}\left(t_{\bar {x}},t_{\bar {y}}\right)=\left(a,b\right)&=\left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}),0\right)\end{aligned}}$

Für das Beispiel ergibt sich (vgl. Bild 6):

${\begin{aligned}\left(a,b\right)&=\left({\tfrac {1}{2}}(-1+5),0\right)\\&=\left(2,0\right)\\\end{aligned}}$

Und der Radius beträgt:

${\begin{aligned}R&={\sqrt {\left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\end{aligned}}$

Für das Beispiel ergibt sich (vgl. Bild 6):

${\begin{aligned}R&={\sqrt {\left({\tfrac {1}{2}}(-1-5)\right)^{2}+4^{2}}}\\&={\sqrt {9+16}}\\&=5\end{aligned}}$

Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen

Bild 7: Freischnitte entlang der Hauptspannungsrichtungen und $({\bar {x}},{\bar {y}})$-Komponenten von t für ${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&4\\4&5\end{bmatrix}}$

Die Hauptspannungen sind die Eigenwerte (der Komponenten-Matrix) des Spannungstensors. Die charakteristische Gleichung zur Berechnung der Eigenwerte ist:

${\begin{aligned}\det \left({\begin{bmatrix}\sigma _{xx}-\lambda &\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}-\lambda \\\end{bmatrix}}\right)&=0\end{aligned}}$

Einfache Umformungen

Umformungen

${\begin{aligned}(\sigma _{xx}-\lambda )(\sigma _{yy}-\lambda )-\tau _{xy}^{2}&=0\\\lambda ^{2}-\lambda (\sigma _{xx}+\sigma _{yy})+\sigma _{xx}\sigma _{yy}-\tau _{xy}^{2}&=0\\\lambda _{1/2}&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{4}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})^{2}-\sigma _{xx}\sigma _{yy}+\tau _{xy}^{2}}}\\\lambda _{1/2}&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{4}}(\sigma _{xx}^{2}+\sigma _{yy}^{2}+2\sigma _{xx}\sigma _{yy})-\sigma _{xx}\sigma _{yy}+\tau _{xy}^{2}}}\\\lambda _{1/2}&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{4}}(\sigma _{xx}^{2}+\sigma _{yy}^{2}-2\sigma _{xx}\sigma _{yy})+\tau _{xy}^{2}}}\\\lambda _{1/2}&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{4}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\\\end{aligned}}$

führen auf:

${\begin{aligned}\lambda _{1/2}&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\pm R\end{aligned}}$

so dass man die Hauptspannungen als Schnittpunkte des Kreises mit der $t_{\bar {x}}$-Achse abliest. Für das konkrete Beispiel ergeben sich die Hauptspannungen:

${\begin{aligned}\lambda _{1/2}&=2\pm 5\end{aligned}}$

Es gibt verschiedene Methoden, um die Hauptspannungsrichtungen zu bestimmen.

Berechnung aus Kreisgleichung

Im Spezialfall $t_{\bar {y}}=0$ ist t parallel zum Normalen-Einheitsvektor n.

Aus der Kreisgleichung folgt dann:

${\begin{aligned}0&=\left(-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})s_{2\varphi _{1/2}}+\tau _{xy}c_{2\varphi _{1/2}}\right)^{2}\\\tan(2\varphi _{1/2})&={\tfrac {2\tau _{xy}}{\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}}\end{aligned}}$

Und für das Beispiel ergeben sich die positiven Schnittwinkel:

${\begin{aligned}\tan(2\varphi _{1/2})&=-{\tfrac {4}{3}}\\2\varphi _{1/2}&\approx 127^{\circ }\pm k\pi \\\varphi _{1/2}&\approx 63^{\circ }\pm k{\tfrac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

Berechnung aus Eigenvektoren

Die Richtungen lassen sich alternativ mit den Eigenvektoren bestimmen. Der zu $\lambda _{1}=7$ gehörende Eigenvektor $v_{1}$ ist Lösung von:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}-\lambda _{1}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}-\lambda _{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1_{x}}\\v_{1_{y}}\end{bmatrix}}&=0\\{\begin{bmatrix}v_{1_{x}}\\v_{1_{y}}\end{bmatrix}}&=\alpha {\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Die Hauptspannungsrichtung für $\lambda _{2}=-3$ ergibt sich entsprechend zu:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}v_{2_{x}}\\v_{2_{y}}\end{bmatrix}}&=\alpha {\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Nun liegen die (x,y)-Komponenten beider Eigenvektoren fest. Der Winkel zwischen x-Achse und erstem Eigenvektor ist damit:

${\begin{aligned}\tan(\varphi )&={\tfrac {2}{1}}\\\varphi _{1}&\approx 63^{\circ }\pm k\pi =(\dots ,63^{\circ },243^{\circ },\dots )\end{aligned}}$

Die zweite Eigenrichtung ist um 90 Grad gegenüber der ersten gedreht, so dass:

${\begin{aligned}\varphi _{2}&\approx 153^{\circ }\pm k\pi =(\dots ,-27^{\circ },153^{\circ },\dots )\end{aligned}}$

Mohrsche Spannungskreise in 3D

Bild 8: Mohrsche Kreise für einen dreidimensionalen Spannungszustand

Die dreidimensionale Realität kann man mit 3 Mohrschen Spannungskreisen zeichnen. Es gibt einen äußeren der die Ebene von σ_Ⅲ und σ_Ⅰ aufspannt. Jeder Traktionsvektor muss innerhalb des Kreises liegen. Jene Spannendekombinationen aus Normalspannung und Schubspannung die innerhalb der inneren Kreise liegt können nicht angenommen werden, woraus auch folgt, dass es ausschließlich 3 Normalspannungen gibt bei der die Schubspannung Null ist. Bei einem Spannungszustand, bei dem zwei Hauptspannungen Null sind degeneriert ein Kreis zu einem Punkt und der andere innere Kreis ist ident mit dem äußeren Kreis. Bei einem hydrostatischen Spannungszustand degenerieren alle drei Kreise zu einem Punkt, da hier keine Schubspannungen vorhanden sind und in jeder Richtung dieselbe Normalspannung vorliegt.

Mohrscher Kreis: Konstruktion und Auswertung

Konstruktion

Bild 9: Mohrscher Kreis, Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen für Beispiel ${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&4\\4&5\end{bmatrix}}$

Die Konstruktion des Mohrschen Kreises geschieht wie in Bild 8 dargestellt nach folgendem Schema:

1. Zeichnen eines kart. Koordinatensystems für Punkte $(t_{\bar {x}},t_{\bar {y}})$.
2. Eintragen der zwei Punkte:
   • $P_{0^{\circ }}=\left(t_{\bar {x}}(0^{\circ }),t_{\bar {y}}(0^{\circ })\right)=\left(\sigma _{xx},\tau _{xy}\right)$
   • $P_{90^{\circ }}=\left(t_{\bar {x}}(90^{\circ }),t_{\bar {y}}(90^{\circ })\right)=\left(\sigma _{yy},-\tau _{xy}\right)$.

   Verbinden dieser zwei Punkte durch eine Gerade (strich-punktierte Linie).

3. Zeichnen des Kreises, der die Punkte $P_{0^{\circ }}$ und $P_{90^{\circ }}$ beinhaltet und dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt der strichpunktierten Linie mit der $t_{\bar {x}}$-Achse ist.
4. Eintragen/Ablesen der zwei Punkte:
   • $P_{\sigma _{\mathsf {max}}}=(\lambda _{1},0)$
   • $P_{\sigma _{\mathsf {min}}}=(\lambda _{2},0)$

   Verbinden dieser zwei Punkte mit $P_{0^{\circ }}$ (blaue gestrichelte Linien).

5. Eintragen/Ablesen der zwei Punkte:
   • $P_{\tau _{\mathsf {max}}}=(a,R)$
   • $P_{\tau _{\mathsf {min}}}=(a,-R)$

   Verbinden dieser zwei Punkte mit $P_{0^{\circ }}$ (rote gestrichelte Linien).

Auswertung

1. Schnittrichtung / Schnittspannung

Jeder Punkt auf dem Mohrschen Kreis in Bild 8 entspricht einem Schnittwinkel $\varphi$, siehe Bild 5. $\varphi$ ist einerseits der Winkel zwischen der x-Achse und dem Normalen-Einheitsvektor n – ausgehend von x entgegen dem Uhrzeigersinn positiv gezählt (in Bild 5). Andererseits ist $2\varphi$ im Mohrschen Kreis bzw. Bild 8 der Winkel zwischen $P_{0^{\circ }}$ und dem zur jeweiligen Schnittrichtung passenden Punkt $(t_{\bar {x}},t_{\bar {y}})$ – von $P_{0^{\circ }}$ ausgehend im Uhrzeigersinn positiv gezählt.

Für jeden vorgegebenen Schnittwinkel $\varphi$ liest man im Mohrschen Kreis die $({\bar {x}},{\bar {y}})$-Komponenten des zu dieser Schnittrichtung passenden Schnittspannungsvektors ab. Diese Komponenten sind das Paar $(t_{\bar {x}},t_{\bar {y}})$, das abzulesen ist an der Stelle $2\varphi$.

2. Hauptspannungen

An den Schnittpunkten des Kreises mit der $t_{\bar {x}}$-Achse sind die $({\bar {x}},{\bar {y}})$-Komponenten der Spannungsvektoren $(t_{\bar {x}},t_{\bar {y}})=(\lambda _{1},0)$ bzw. $(t_{\bar {x}},t_{\bar {y}})=(\lambda _{2},0)$. Der Schnittspannungsvektor t ist an diesen Schnittpunkten also parallel zu n, und darum sind $\lambda _{1}$ bzw. $\lambda _{2}$ die Hauptspannungen.

3. Hauptspannungsrichtungen

Die zwei zugehörigen Hauptspannungsrichtungen stehen senkrecht aufeinander. Darum reicht es aus, die zu $\lambda _{1}$ gehörende Richtung abzulesen. Diese ist gegeben durch den Schnittwinkel $\varphi _{1}$, d. h. die Hälfte des Winkels $2\varphi _{1}$ bzw. die blaue gestrichelte Linie zwischen $(\lambda _{2},0)$ und $P_{0^{\circ }}$. Diese Linie/Richtung ist die Hauptspannungsrichtung. Die Richtung, unter der der Freischnitt ausgeführt wird, steht senkrecht dazu. Sie ist durch die blaue gestrichelte Linie zwischen $(\lambda _{1},0)$ und $P_{0^{\circ }}$ gegeben.

4. Extremwerte der Schubspannung

Der Radius des Kreises ist die größte auftretende Schubspannung, d. h.

${\begin{aligned}\tau _{\textsf {max}}&=t_{{\bar {y}}_{\textsf {max}}}=R\\\tau _{\textsf {min}}&=t_{{\bar {y}}_{\textsf {min}}}=-R\\\end{aligned}}$

Die zugehörigen Schnittwinkel sind um $45^{\circ }$ versetzt zu den Schnittwinkeln, unter denen die Hauptspannungen auftreten (siehe rote gestrichelte Linien in Bild 8).

Spezialfall: Wenn der Deviator-Anteil des Spannungstensors Null ist – d. h., wenn der Spannungstensor ein Kugeltensor ist – entartet der Kreis zu einem Punkt. Für die Komponenten des Spannungstensors gilt dann in jedem Koordinatensystem:

${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\end{bmatrix}}=\alpha {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

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Mohrsche Verzerrungskreise

Analog zu den Mohrschen Spannungskreisen kann man Mohrsche Verzerrungskreise zeichnen, die einem aufzeigen, welche Verzerrungszustände angenommen werden. Jedoch gibt es hier keinen Traktionsvektor, der die Spannungskomponenten auf eine beliebige Fläche angibt, wie bei den Spannungskreisen.

Tensorkomponenten aus zwei Schnitten

Bild 10: Spannungstensor-Komponenten $(\sigma _{xx},\sigma _{yy},\tau _{xy})$ bezogen auf das $(x,y)$-Koordinatensystem; Spannungstensor-Komponenten $(\sigma _{{\bar {x}}{\bar {x}}},\sigma _{{\bar {y}}{\bar {y}}},\tau _{{\bar {x}}{\bar {y}}})$ bezogen auf das um $\varphi$ gedrehte $({\bar {x}},{\bar {y}})$-Koordinatensystem für Beispiel ${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&4\\4&5\end{bmatrix}}$

Seien die Spannungstensor-Komponenten bezüglich $(x,y)$-Koordinatensystem gegeben. Sei genau ein $({\bar {x}},{\bar {y}})$-Koordinatensystem definiert, das um einen Winkel $\varphi$ gegenüber dem $(x,y)$-Koordinatensystem gedreht ist, siehe Bild 9. Seien weiterhin die Spannungstensors-Komponenten bezogen auf dieses eine $({\bar {x}},{\bar {y}})$-Koordinatensystem $(\sigma _{xx},\sigma _{yy},\tau _{xy})$ gesucht.

Dann lassen sich diese Komponenten bestimmen durch einen Schnitt unter $\varphi$ – und einen zweiten Schnitt unter $\varphi +90^{\circ }$, denn:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\sigma _{{\bar {x}}{\bar {x}}}\\\tau _{{\bar {x}}{\bar {y}}}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}t_{\bar {x}}(\varphi )\\t_{\bar {y}}(\varphi )\\\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}\tau _{{\bar {x}}{\bar {y}}}\\\sigma _{{\bar {y}}{\bar {y}}}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}-t_{\bar {y}}(\varphi +90^{\circ })\\t_{\bar {x}}(\varphi +90^{\circ })\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}t_{\bar {y}}(\varphi )\\t_{\bar {x}}(\varphi +90^{\circ })\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Die letzten Formeln ermöglichen es, die Komponenten des Spannungstensors in Bezug auf ein um einen Winkel $\varphi$ gedrehtes Koordinatensystem zu berechnen. Die Funktionen $t_{\bar {x}}$ und $t_{\bar {y}}$, die dazu verwendet werden, sind dieselben wie die zur Konstruktion des Mohrschen Kreises. Und darum kann man die Komponenten des Spannungstensors in Bezug auf ein gedrehtes Koordinatensystem auch aus dem Mohrschen Kreis ablesen, siehe hierzu Bild 9.

Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung

Diese $({\bar {x}},{\bar {y}})$-Komponenten des Spannungstensors lassen sich auch direkt aus den $(x,y)$-Komponenten des Spannungstensors berechnen. Denn der Koordinatenwechsel von $(x,y)$ auf $({\bar {x}},{\bar {y}})$ erzeugt folgende Transformationsbeziehung (auch Pushforward genannt) für die Komponenten des (2,0)-Spannungstensors:

${\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}\sigma _{{\bar {x}}{\bar {x}}}&\tau _{{\bar {x}}{\bar {y}}}\\\tau _{{\bar {x}}{\bar {y}}}&\sigma _{{\bar {y}}{\bar {y}}}\end{bmatrix}}\\=&{\begin{bmatrix}c_{\varphi }&s_{\varphi }\\-s_{\varphi }&c_{\varphi }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{\varphi }&-s_{\varphi }\\s_{\varphi }&c_{\varphi }\\\end{bmatrix}}\\=&{\begin{bmatrix}c_{\varphi }\sigma _{xx}+s_{\varphi }\tau _{xy}&c_{\varphi }\tau _{xy}+s_{\varphi }\sigma _{yy}\\-s_{\varphi }\sigma _{xx}+c_{\varphi }\tau _{xy}&-s_{\varphi }\tau _{xy}+c_{\varphi }\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{\varphi }&-s_{\varphi }\\s_{\varphi }&c_{\varphi }\\\end{bmatrix}}\\=&{\begin{bmatrix}(c_{\varphi }\sigma _{xx}+s_{\varphi }\tau _{xy})c_{\varphi }+(c_{\varphi }\tau _{xy}+s_{\varphi }\sigma _{yy})s_{\varphi }&(c_{\varphi }\sigma _{xx}+s_{\varphi }\tau _{xy})(-s_{\varphi })+(c_{\varphi }\tau _{xy}+s_{\varphi }\sigma _{yy})c_{\varphi }\\(-s_{\varphi }\sigma _{xx}+c_{\varphi }\tau _{xy})c_{\varphi }+(-s_{\varphi }\tau _{xy}+c_{\varphi }\sigma _{yy})s_{\varphi }&(-s_{\varphi }\sigma _{xx}+c_{\varphi }\tau _{xy})(-s_{\varphi })+(-s_{\varphi }\tau _{xy}+c_{\varphi }\sigma _{yy})c_{\varphi }\\\end{bmatrix}}\\=&{\begin{bmatrix}(\sigma _{xx}c_{\varphi }+\tau _{xy}s_{\varphi })c_{\varphi }+(\tau _{xy}c_{\varphi }+\sigma _{yy}s_{\varphi })s_{\varphi }&-(\sigma _{xx}c_{\varphi }+\tau _{xy}s_{\varphi })s_{\varphi }+(\tau _{xy}c_{\varphi }+\sigma _{yy}s_{\varphi })c_{\varphi }\\-(\sigma _{xx}c_{\varphi }+\tau _{xy}s_{\varphi })s_{\varphi }+(\tau _{xy}c_{\varphi }+\sigma _{yy}s_{\varphi })c_{\varphi }&(\sigma _{xx}c_{\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}}+\tau _{xy}s_{\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}})c_{\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}}+(\tau _{xy}c_{\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}}+\sigma _{yy}s_{\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}})s_{\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Vergleich mit den Gleichungen für $t_{\bar {x}}$ und $t_{\bar {y}}$ aus Abschnitt #(n,m)-Komponenten liefert:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\sigma _{{\bar {x}}{\bar {x}}}&\tau _{{\bar {x}}{\bar {y}}}\\\tau _{{\bar {x}}{\bar {y}}}&\sigma _{{\bar {y}}{\bar {y}}}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}t_{\bar {x}}(\varphi )&t_{\bar {y}}(\varphi )\\t_{\bar {y}}(\varphi )&t_{\bar {x}}\left(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Dieses Ergebnis ist äquivalent zum Ergebnis aus dem letzten Abschnitt, siehe hierzu auch Bild 9.

Häufig wird dieses Ergebnis auch geschrieben als:

${\begin{aligned}\sigma _{{\bar {x}}{\bar {x}}}(\varphi )&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})+{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})c_{2\varphi }+\tau _{xy}s_{2\varphi }\\\tau _{{\bar {x}}{\bar {y}}}(\varphi )&=-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})s_{2\varphi }+\tau _{xy}c_{2\varphi }\end{aligned}}$

Umrechnung Flächenträgheitsmomente

Bild 11: Mohrscher Trägheitskreis, Hauptträgheitsmomente $I_{1},I_{2}$ für Beispiel ${\begin{bmatrix}I_{y}&I_{yz}\\I_{yz}&I_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\4&9\end{bmatrix}}$

Die Transformationsregel für Flächenträgheitsmomente kann genau wie die Transformationsregel für die Komponenten des Spannungstensors bestimmt werden. Der Spannungstensor ist eine lineare Abbildung zwischen Vektoren gemäß:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{x}\\t_{y}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{x}\\n_{y}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}t_{\bar {x}}\\t_{\bar {y}}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sigma _{{\bar {x}}{\bar {x}}}&\tau _{{\bar {x}}{\bar {y}}}\\\tau _{{\bar {x}}{\bar {y}}}&\sigma _{{\bar {y}}{\bar {y}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{\bar {x}}\\n_{\bar {y}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Damit diese Abbildungen unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems gelten, müssen die Komponenten des Spannungstensors folgenden Transformationsregeln erfüllen:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\sigma _{{\bar {x}}{\bar {x}}}&\tau _{{\bar {x}}{\bar {y}}}\\\tau _{{\bar {x}}{\bar {y}}}&\sigma _{{\bar {y}}{\bar {y}}}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}c_{\varphi }&s_{\varphi }\\-s_{\varphi }&c_{\varphi }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{\varphi }&-s_{\varphi }\\s_{\varphi }&c_{\varphi }\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Völlig analog gilt bei einem Profilstab zwischen Biegemomenten $M_{y},M_{z}$ und Verkrümmungen $\psi _{y},\psi _{z}$ (bezogen auf die Neutralachse) mit den Flächenträgheitsmomenten definiert als

${\begin{aligned}I_{y}&=\int z^{2}dA\\I_{z}&=\int y^{2}dA\\I_{yz}&=-\int yzdA\\\end{aligned}}$

der lineare Zusammenhang:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}M_{y}\\M_{z}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}EI_{y}&EI_{yz}\\EI_{yz}&EI_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\psi _{y}\\\psi _{z}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}M_{\bar {y}}\\M_{\bar {z}}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}EI_{\bar {y}}&EI_{{\bar {y}}z}\\EI_{{\bar {y}}{\bar {z}}}&EI_{\bar {z}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\psi _{\bar {y}}\\\psi _{\bar {z}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Die Momente und die Verkrümmungen transformieren sich wie Pseudovektoren – also bei Drehung des Koordinatensystems wie Vektoren. Und darum ist die Transformationsregel für die Flächenträgheitsmomente:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}EI_{\bar {y}}&EI_{{\bar {y}}{\bar {z}}}\\EI_{{\bar {y}}{\bar {z}}}&EI_{\bar {z}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}c_{\varphi }&s_{\varphi }\\-s_{\varphi }&c_{\varphi }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}EI_{y}&EI_{yz}\\EI_{yz}&EI_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{\varphi }&-s_{\varphi }\\s_{\varphi }&c_{\varphi }\\\end{bmatrix}}\\\Leftrightarrow {\begin{bmatrix}I_{\bar {y}}&I_{{\bar {y}}{\bar {z}}}\\I_{{\bar {y}}{\bar {z}}}&I_{\bar {z}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}c_{\varphi }&s_{\varphi }\\-s_{\varphi }&c_{\varphi }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{y}&I_{yz}\\I_{yz}&I_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{\varphi }&-s_{\varphi }\\s_{\varphi }&c_{\varphi }\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Der Mohrsche Kreis kann also zur Umrechnung der Flächenträgheitsmomente bei Koordinatenwechsel ebenso verwendet werden wie zur Umrechnung der Komponenten des Spannungstensors.

Programm zum Ausprobieren

Bild 12: Plot einiger Paare $(t_{\bar {x}},t_{\bar {y}})$, erzeugt mit nebenstehendem Programm

mit Matplotlib und NumPy

import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import pi, sin, cos, array, transpose, dot
from numpy import radians, degrees, set_printoptions

#There is the (x,y)-system and the (X,Y)-system.

#         [s_xx  t_xy ]     [-1  4 ]
#  S_xy = [           ]  =  [      ]
#         [t_xy  s_yy ]     [ 4  5 ]

# ---
# --- User input:
# ---

# 1: Stress tensor components:
(s_xx, s_yy, t_xy) = (-1, 5, 4)

# 2: List of angles phi in degrees:
phi_deg = array( [0., 30., 60., 90., 120., 150.] )


# ---
# --- Program output:
# ---

# phi [ t_X, t_Y ]

# 0.0  [-1.   4.  ]
# 30.0 [ 3.96 4.6 ]
# 60.0 [ 6.96 0.6 ]
# ...

# phi [ s_XX, t_XY ]
#     [ t_XY, s_YY ]

# 0.0   [-1.   4.  ]
#       [ 4.   5.  ]
# 30.0  [ 3.96 4.6 ]
#       [ 4.6  0.04]
# 60.0  [ 6.96 0.6 ]
#       [ 0.6 -2.96]
# ...


# ---
# --- Program:
# ---

# Matrix of components::
S_xy = array([ [s_xx, t_xy],
               [t_xy, s_yy] ])

# Yes
half = 0.5
two  = 2.0

# Some functions for later use:
def c2(phi):
    """ computes cos(2 phi) """
    return cos(two*phi)

def s2(phi):
    """ computes sin(2 phi) """
    return sin(two*phi)

def get_t_X(phi):
    """
    computes t_X(phi) as in section
    "(X,Y)-Komponenten"
    """
    t_X = half*(s_xx + s_yy) + half*(s_xx - s_yy) * c2(phi) + t_xy*s2(phi)
    return t_X

def get_t_Y(phi):
    """
    computes t_Y(phi) as in section
    "(X,Y)-Komponenten"
    """
    t_Y = -half*(s_xx - s_yy) * s2(phi) + t_xy * c2(phi)
    return t_Y

def get_t_XY(phi):
    """
    computes pair (t_X, t_Y)
    """
    t_X = get_t_X(phi)
    t_Y = get_t_Y(phi)
    return array([t_X, t_Y])

def get_R(phi):
    """
    computes rotation matrix as in section
    "Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung"
    """
    Rt = array([ [ cos(phi), sin(phi)],
                 [-sin(phi), cos(phi)] ] )
    return Rt

def get_S_XY(phi):
    """
    computes S_XY = R * S_xy * R^T as in section
    "Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung"
    """
    R = get_R(phi)
    R_T = R.transpose()
    S_XY = dot( dot(R, S_xy), R_T )
    return S_XY


# Compute and plot some pairs (t_X, t_Y):

# phi in radians:
phis = array( [ radians(a) for a in phi_deg ] )

# for prettier printing:
set_printoptions(precision=2)

print ()
print ("phi   [ t_X, t_Y ]")
print ()
for phi in phis:
    tX_tY = get_t_XY(phi)
    print (degrees(phi),"  ", tX_tY)

print ()
print ("phi   [ s_XX, t_XY ]")
print ("      [ t_XY, s_YY ]")
print ()
for phi in phis:
    S_XY = get_S_XY(phi)
    print (degrees(phi), "  ", S_XY[0])
    print ("       ",         S_XY[1])


# Now plot these pairs (t_X, t_Y):

# phi --> t_X(phi):
t_X = list(map(get_t_X, phis))
# phi --> t_Y(phi):
t_Y = list(map(get_t_Y, phis))

# color = phi in degrees:
color = degrees(phis)

# make the circle be a circle:
plt.axis("equal")

# plot some colored points:
plt.scatter(t_X, t_Y, s=100, c=color)

# add colorbar:
cbar = plt.colorbar()

# plt.clim(0,180.)
# add ticks to colorbar:
cbar.set_ticks(degrees(phis))

# show plot:
plt.show()

Literatur

• Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 2. 12. Auflage. Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-642-40965-3. 
• F. Jung: Der Culmannsche und der Mohrsche Kreis. In: Österreichisches Ingenieur-Archiv. 1, Nr. 4–5, 1946/47, ISSN 0369-7819, S. 408–410.
• Istvan Szabo: Einführung in die Technische Mechanik. Springer, 1984, ISBN 3-540-13293-7.
• Jerrold E. Marsden, Thomas J. R. Hughes: Mathematical Foundations of Elasticity. 1994, ISBN 0-486-67865-2.
• Walter Noll, Clifford Truesdell: The Non-Linear Field Theories of Mechanics. Springer-Verlag, New York 1965, ISBN 3-540-02779-3.
• Walter Noll: Foundations of Mechanics and Thermodynamics, Selected Papers. Springer-Verlag, New York 1974, ISBN 0-387-06646-2.
• Stephen P. Timoshenko, James Norman Goodier: Theory of Elasticity. 3. Auflage. McGraw-Hill International Editions, 1970, ISBN 0-07-085805-5. 
• Stephen P. Timoshenko: History of strength of materials: with a brief account of the history of theory of elasticity and theory of structures (= Dover Books on Physics). Dover Publications, 1983, ISBN 0-486-61187-6. 
• Johannes Wiedemann: Leichtbau, Band 1: Elemente. Springer, 1986, ISBN 3-540-16404-9. 

Weblinks

Commons: Mohr's circle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Visualisierung symmetrischer Tensoren mit Superquadriken