Reeb-Blätterung

In der Mathematik ist die Reeb-Blätterung eine spezielle Blätterung des Volltorus, benannt nach Georges Reeb.

Konstruktion

Querschnitt durch eine Reeb-Blätterung.

Definiere eine Submersion

$f:D^{2}\times {\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }$ durch

$f\left(x,t\right):=\left(|x|^{2}-1\right)e^{t},$

wobei $D^{2}$ die 2-dimensionalen Kreisscheibe ist. Die Niveaumengen dieser Submersion bilden eine Blätterung von $D^{2}\times {\mathbb {R} }$. Diese ist invariant unter der durch

$\left(x,t\right)\mapsto \left(x,t+n\right)$ für $\left(x,t\right)\in D^{2}\times {\mathbb {R} },n\in {\mathbb {Z} }$

gegebenen $\mathbb {Z}$-Wirkung, weil $f(x,t+n)=c_{n}f(x,t)$ mit der von $x,t$ unabhängigen Konstanten $c_{n}=e^{n}$ ist. Die induzierte Blätterung des Volltorus $D^{2}\times S^{1}\cong \left(D^{2}\times {\mathbb {R} }\right)/{\mathbb {Z} }$ heißt Reeb-Blätterung. Der berandende Torus

$T^{2}\cong \partial (D^{2}\times S^{1})$

ist ein Blatt dieser Blätterung (die Niveaumenge $f=0$).

Reeb-Komponenten

Man sagt, eine Blätterung ${\mathcal {F}}$ einer 3-Mannigfaltigkeit $M$ habe eine Reeb-Komponente, wenn es einen eingebetteten Volltorus

$D^{2}\times S^{1}\subset M$

gibt, so dass die Einschränkung von ${\mathcal {F}}$ auf $D^{2}\times S^{1}$ homöomorph zur Reeb-Blätterung ist.

Beispiel: Reeb-Blätterung der 3-Sphäre

Die 3-dimensionale Sphäre erhält man durch Verkleben zweier Volltori, siehe Standard-Heegaard-Zerlegung der 3-Sphäre. Die Reeb-Blätterung der 3-Sphäre erhält man durch die Reeb-Blätterungen der beiden Volltori.

Existenz von Blätterungen auf 3-Mannigfaltigkeiten

Nach einem Satz von Lickorish erhält man jede geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit durch Dehn-Chirurgie an einer Verschlingung in der 3-Sphäre. Man kann diesen Satz benutzen, um auf jeder geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit Blätterungen mit Reeb-Komponenten zu konstruieren.

Dagegen besitzen nicht alle geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeiten Blätterungen ohne Reeb-Komponenten.

Sogenannte straffe Blätterungen (engl.: taut foliations) besitzen keine Reeb-Komponenten.

Eigenschaften

Die Reeb-Blätterung ist $C^{\infty }$, aber nicht analytisch.

Ihr Blattraum ist nicht Hausdorffsch.

Literatur

Rosenberg, H.; Roussarie, R. Reeb foliations. Ann. of Math. (2) 91 1970 1–24. pdf

Weblinks

Manifold Atlas