„Zahlenpalindrom“ – Versionsunterschied
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Damit gibt es unter 10<sup>4</sup> (also 10.000) genau 9 + 9 + 90 + 90 = 198 Zahlenpalindrome. Insgesamt gibt es 9 + 9 + 90 + 90 + 900 = 1098 Zahlenpalindrome, die kleiner sind als 10<sup>5</sup> (also 100.000). Die Anzahl der Palindrome kleiner als 10<sup>''n''</sup> folgt dieser Zahlenreihe: 1998 (für ''n'' = 6), 10998 (für ''n'' = 7 usw.), 19998, 109998, 199998, 1099998, … |
Damit gibt es unter 10<sup>4</sup> (also 10.000) genau 9 + 9 + 90 + 90 = 198 Zahlenpalindrome. Insgesamt gibt es 9 + 9 + 90 + 90 + 900 = 1098 Zahlenpalindrome, die kleiner sind als 10<sup>5</sup> (also 100.000). Die Anzahl der Palindrome kleiner als 10<sup>''n''</sup> folgt dieser Zahlenreihe: 1998 (für ''n'' = 6), 10998 (für ''n'' = 7 usw.), 19998, 109998, 199998, 1099998, … ([[OEIS]], A050250<ref>{{Internetquelle |url=https://oeis.org/A050250 |titel=A050250|format=|abruf=2020-11-05}}</ref>). |
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Des Weiteren hat jede ganze Zahl, die nicht durch 10 teilbar ist, ein positives Vielfaches, das ein Dezimalpalindrom ist, was in einer Aufgabe des [[Bundeswettbewerb Mathematik|Bundeswettbewerbs Mathematik]] 2009 zu beweisen war.<ref>{{Internetquelle |url= |
Des Weiteren hat jede ganze Zahl, die nicht durch 10 teilbar ist, ein positives Vielfaches, das ein Dezimalpalindrom ist, was in einer Aufgabe des [[Bundeswettbewerb Mathematik|Bundeswettbewerbs Mathematik]] 2009 zu beweisen war.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.mathe-wettbewerbe.de/fileadmin/Mathe-Wettbewerbe/Bundeswettbewerb_Mathematik/Dokumente/Aufgaben_und_Loesungen_BWM/aufgaben_09_1.pdf |titel=Bundeswettbewerb Mathematik Aufgabenblatt 2009 1. Runde |format=PDF; 16 kB |abruf=2012-11-16}}</ref> |
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Aus den [[Teilbarkeitsregel]]n ergibt sich außerdem, dass alle Zahlenpalindrome mit gerader Stellenzahl durch 11 teilbar sind. |
Aus den [[Teilbarkeitsregel]]n ergibt sich außerdem, dass alle Zahlenpalindrome mit gerader Stellenzahl durch 11 teilbar sind. |
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=== Umkehrung und Addition === |
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Eine weitere Möglichkeit ist das [[Iteration|iterative]] Schema,<ref name="196-Alg">{{Internetquelle |url=https://mathworld.wolfram.com/196-Algorithm.html |titel=196-Algorithm |autor=Eric W. Weisstein |werk=MathWorld |sprache=en |abruf=2023-09-12}}</ref> bei dem eine beliebige positive Zahl (die nicht selber schon ein Palindrom ist) bis zum Erreichen eines Palindroms durch folgenden [[Algorithmus]] gedreht wird: |
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# Drehe die Zahl um (z. B. 84 zu 48), d. h. erstelle die [[Spiegelzahl]] |
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Bei den meisten Zahlen entsteht nach einer bestimmten Anzahl an Rechenschritten |
Bei den meisten Zahlen entsteht nach einer bestimmten Anzahl an Rechenschritten ein Zahlenpalindrom.<ref name="196-Alg"/> Allerdings existieren auch Zahlen, die sich dieser Transformation widersetzen und bei denen bisher keine Palindrombildung zu finden ist. Solche Zahlen nennt man [[Lychrel-Zahl]]en; die bekannteste Lychrel-Zahl ist ''196''. Man bezeichnet den obigen Algorithmus daher auch als 196-Algorithmus. |
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=== Palindrome bei Transformation des Zahlensystems === |
=== Palindrome bei Transformation des Zahlensystems === |
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== Summe von Zahlenpalindromen == |
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In einem Aufsatz von 2018 wurde gezeigt, dass jede positive ganze Zahl als Summe von drei Zahlenpalindromen geschrieben werden kann, unabhängig vom verwendeten Zahlensystem mit der Basis 5 oder größer.<ref> Javier Cilleruelo, Florian Luca, Lewis Baxter: ''Every positive integer is a sum of three palindromes'' In: [http://www.ams.org/journals/mcom/2018-87-314/S0025-5718-2017-03221-X/home.html Mathematics of Computation] ([https://arxiv.org/abs/1602.06208 arXiv Preprint])</ref> |
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== Zahlen und Zahlwörter == |
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Joel David Hamkins bemerkt in seinen „Vorlesungen über die Philosophie der Mathematik“ (engl. ''Lectures on the Philosophy of Mathematics''), dass palindrome Zahlen im Gegensatz zu [[Dreieckszahl|Dreiecks-]] oder [[Rechteckzahl|Rechteckszahlen]] keine Eigenschaften von Zahlen, sondern [[Zahlwörter]]n beschreiben. Einige Mathematiker, so Hamkins, halten daher das Konzept für unnatürlich oder laienhaft. So ist beispielsweise die Zahl 27 im Dezimalsystem kein Palindrom, in Binärform 11011 aber schon, in römischer Zahlschrift XXVII wieder nicht. Die Frage, ob eine Zahl ein Palindrom ist, hängt von der [[Stellenwertsystem#Basis|Basis]] ab, in der sie dargestellt wird. Jede Zahl ist in einer Basis ein Palindrom, da sie dann zu einer einzigen Ziffer, sprich einem Palindrom würde.<ref>{{Literatur |Autor=Joel David Hamkins |Titel=Lectures on the Philosophy of Mathematics |Hrsg=The MIT Press |Datum=2021-03 |ISBN=978-0262542234 |Seiten=2}}</ref> |
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== Siehe auch == |
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* [[Primzahlpalindrom]] |
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== Literatur == |
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* [http://www.mathematische-basteleien.de/palindrom.htm Zahlen-Palindrome] |
* [http://www.mathematische-basteleien.de/palindrom.htm Zahlen-Palindrome] |
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* {{Webarchiv |url=http://www.ph-linz.at/staff/boe/didaktik1/Kurioses.htm |wayback=20050221180057 |text=Eine nette Spielerei mit der Eins}} |
* {{Webarchiv |url=http://www.ph-linz.at/staff/boe/didaktik1/Kurioses.htm |wayback=20050221180057 |text=Eine nette Spielerei mit der Eins}} |
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* [[James Grime]] (Numberphile): {{YouTube|OKhacWQ2fCs|''Every Number is the Sum of Three Palindromes''}}, 17. September 2018 (englisch). |
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* sciencenotes.de: [https://sciencenotes.de/das-raetsel-um-die-196-wie-laesst-sich-etwas-beweisen-das-vielleicht-nicht-existiert/ ''Das Rätsel um die 196: Wie lässt sich etwas beweisen, das vielleicht nicht existiert?''] |
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== Einzelnachweise == |
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[[Kategorie:Unterhaltungsmathematik]] |
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[[pl:Palindrom#Palindromy liczbowe]] |
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Aktuelle Version vom 23. Juni 2024, 21:21 Uhr
Zahlenpalindrome bzw. Palindromzahlen sind natürliche Zahlen, deren Zahlensystemdarstellung von vorne und hinten gelesen den gleichen Wert hat, z. B. 1331 oder 742247, aber auch 21 zur Basis 2 (=10101). Manchmal wird auch die allgemeine Schreibweise a1a2a3 ...|... a3a2a1 für Zahlen mit der Basis verwendet.
Der Begriff Palindrom wurde in die Zahlentheorie, einem Teilbereich der Mathematik, aus der Sprachwissenschaft übernommen.
Palindrome im Dezimalsystem
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Alle Zahlen des Dezimalsystems mit nur einer Ziffer sind Palindromzahlen.
Es gibt neun zweistellige Palindromzahlen:
- {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}
Es gibt 90 dreistellige Palindromzahlen:
- {101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191,
- 202, 212, 222, 232, 242, 252, 262, 272, 282, 292,
- 303, 313, 323, 333, 343, 353, 363, 373, 383, 393,
- 404, 414, 424, 434, 444, 454, 464, 474, 484, 494,
- 505, 515, 525, 535, 545, 555, 565, 575, 585, 595,
- 606, 616, 626, 636, 646, 656, 666, 676, 686, 696,
- 707, 717, 727, 737, 747, 757, 767, 777, 787, 797,
- 808, 818, 828, 838, 848, 858, 868, 878, 888, 898,
- 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}
sowie ebenfalls 90 vierstellige Palindromzahlen:
- {1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991,
- 2002, 2112, 2222, 2332, 2442, 2552, 2662, 2772, 2882, 2992,
- 3003, 3113, 3223, 3333, 3443, 3553, 3663, 3773, 3883, 3993,
- 4004, 4114, 4224, 4334, 4444, 4554, 4664, 4774, 4884, 4994,
- 5005, 5115, 5225, 5335, 5445, 5555, 5665, 5775, 5885, 5995,
- 6006, 6116, 6226, 6336, 6446, 6556, 6666, 6776, 6886, 6996,
- 7007, 7117, 7227, 7337, 7447, 7557, 7667, 7777, 7887, 7997,
- 8008, 8118, 8228, 8338, 8448, 8558, 8668, 8778, 8888, 8998,
- 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999}
Damit gibt es unter 104 (also 10.000) genau 9 + 9 + 90 + 90 = 198 Zahlenpalindrome. Insgesamt gibt es 9 + 9 + 90 + 90 + 900 = 1098 Zahlenpalindrome, die kleiner sind als 105 (also 100.000). Die Anzahl der Palindrome kleiner als 10n folgt dieser Zahlenreihe: 1998 (für n = 6), 10998 (für n = 7 usw.), 19998, 109998, 199998, 1099998, … (OEIS, A050250[1]).
Des Weiteren hat jede ganze Zahl, die nicht durch 10 teilbar ist, ein positives Vielfaches, das ein Dezimalpalindrom ist, was in einer Aufgabe des Bundeswettbewerbs Mathematik 2009 zu beweisen war.[2]
Aus den Teilbarkeitsregeln ergibt sich außerdem, dass alle Zahlenpalindrome mit gerader Stellenzahl durch 11 teilbar sind.
Erzeugung von Zahlenpalindromen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Quadrieren von 1-er Zahlen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Im Dezimalsystem erhält man durch
Palindromzahlen, wobei [1]n die Kurzschreibweise für die n-fache Wiederholung der 1 ist und n von 1 bis 9 reicht.
1 | * | 1 | = | 1 |
11 | * | 11 | = | 121 |
111 | * | 111 | = | 12321 |
1111 | * | 1111 | = | 1234321 |
11111 | * | 11111 | = | 123454321 |
111111 | * | 111111 | = | 12345654321 |
1111111 | * | 1111111 | = | 1234567654321 |
11111111 | * | 11111111 | = | 123456787654321 |
111111111 | * | 111111111 | = | 12345678987654321 |
Umkehrung und Addition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine weitere Möglichkeit ist das iterative Schema,[3] bei dem eine beliebige positive Zahl (die nicht selber schon ein Palindrom ist) bis zum Erreichen eines Palindroms durch folgenden Algorithmus gedreht wird:
- Drehe die Zahl um (z. B. 84 zu 48), d. h. erstelle die Spiegelzahl
- Addiere die umgedrehte Zahl zu ihrer Ausgangszahl (48 + 84 = 132)
- Drehe die neu entstandene Zahl erneut um (132 zu 231)
- Addiere erneut beide Zahlen (132 + 231 = 363)
Bei den meisten Zahlen entsteht nach einer bestimmten Anzahl an Rechenschritten ein Zahlenpalindrom.[3] Allerdings existieren auch Zahlen, die sich dieser Transformation widersetzen und bei denen bisher keine Palindrombildung zu finden ist. Solche Zahlen nennt man Lychrel-Zahlen; die bekannteste Lychrel-Zahl ist 196. Man bezeichnet den obigen Algorithmus daher auch als 196-Algorithmus.
Palindrome bei Transformation des Zahlensystems
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Zahlenpalindrome können auch bei der Transformation von Dezimalzahlen in ein anderes Zahlensystem entstehen.
Die folgende Tabelle listet alle Zahlenpalindrome auf (für Zahlen von 10 bis 107), die sich bei der Transformation vom Dezimalsystem in das jeweilige Zahlensystem ergeben.
Basis | Dezimalzahl | Zahl in anderem Zahlensystem |
---|---|---|
4 | 13 | 31 |
7 | 23 | 32 |
46 | 64 | |
2116 | 6112 | |
15.226 | 62.251 | |
8 (oktal) | 1.527.465 | 5.647.251 |
9 | 445 | 544 |
313.725 | 527.313 | |
3.454.446 | 6.444.543 | |
12 (duodezimal) | 315.231 | 132.513 |
13 | 43 | 34 |
86 | 68 | |
774 | 477 | |
14 | 834 | 438 |
16 (hexadezimal) | 53 | 35 |
371 | 173 | |
5141 | 1415 | |
99.481 | 18.499 | |
19 | 21 | 12 |
42 | 24 | |
63 | 36 | |
84 | 48 | |
441 | 144 | |
882 | 288 | |
7721 | 1277 | |
9471 | 1749 | |
21 | 551 | 155 |
912 | 219 | |
22 | 73 | 37 |
511 | 115 | |
25 | 83 | 38 |
28 | 31 | 13 |
62 | 26 | |
93 | 39 | |
961 | 169 | |
37 | 41 | 14 |
82 | 28 | |
46 | 51 | 15 |
55 | 61 | 16 |
64 | 71 | 17 |
73 | 81 | 18 |
82 | 91 | 19 |
Summe von Zahlenpalindromen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]In einem Aufsatz von 2018 wurde gezeigt, dass jede positive ganze Zahl als Summe von drei Zahlenpalindromen geschrieben werden kann, unabhängig vom verwendeten Zahlensystem mit der Basis 5 oder größer.[4]
Zahlen und Zahlwörter
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Joel David Hamkins bemerkt in seinen „Vorlesungen über die Philosophie der Mathematik“ (engl. Lectures on the Philosophy of Mathematics), dass palindrome Zahlen im Gegensatz zu Dreiecks- oder Rechteckszahlen keine Eigenschaften von Zahlen, sondern Zahlwörtern beschreiben. Einige Mathematiker, so Hamkins, halten daher das Konzept für unnatürlich oder laienhaft. So ist beispielsweise die Zahl 27 im Dezimalsystem kein Palindrom, in Binärform 11011 aber schon, in römischer Zahlschrift XXVII wieder nicht. Die Frage, ob eine Zahl ein Palindrom ist, hängt von der Basis ab, in der sie dargestellt wird. Jede Zahl ist in einer Basis ein Palindrom, da sie dann zu einer einzigen Ziffer, sprich einem Palindrom würde.[5]
Siehe auch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Malcolm E. Lines: A Number for Your Thoughts: Facts and Speculations about Number from Euclid to the latest Computers. CRC Press, 1986, ISBN 0-85274-495-1, S. 61 (eingeschränkt (Google Books))
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Eric W. Weisstein: Zahlenpalindrom. In: MathWorld (englisch).
- Palindromzahlen in adischen Zahlensystemen
- Zahlen-Palindrome (interaktiv)
- Zahlen-Palindrome
- Eine nette Spielerei mit der Eins ( vom 21. Februar 2005 im Internet Archive)
- James Grime (Numberphile): Every Number is the Sum of Three Palindromes auf YouTube, 17. September 2018 (englisch).
- sciencenotes.de: Das Rätsel um die 196: Wie lässt sich etwas beweisen, das vielleicht nicht existiert?
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ A050250. Abgerufen am 5. November 2020.
- ↑ Bundeswettbewerb Mathematik Aufgabenblatt 2009 1. Runde. (PDF; 16 kB) Abgerufen am 16. November 2012.
- ↑ a b Eric W. Weisstein: 196-Algorithm. In: MathWorld. Abgerufen am 12. September 2023 (englisch).
- ↑ Javier Cilleruelo, Florian Luca, Lewis Baxter: Every positive integer is a sum of three palindromes In: Mathematics of Computation (arXiv Preprint)
- ↑ Joel David Hamkins: Lectures on the Philosophy of Mathematics. Hrsg.: The MIT Press. 2021, ISBN 978-0-262-54223-4, S. 2.