Zweistellige Verknüpfung

Eine zweistellige Verknüpfung (auch binäre Verknüpfung genannt) ist in der Mathematik eine Verknüpfung, die genau zwei Operanden besitzt. Zweistellige Verknüpfungen treten insbesondere in der Algebra sehr häufig auf, und man spricht dort abkürzend auch von Verknüpfung ohne den Zusatz zweistellig. Es gibt aber auch Verknüpfungen mit anderer Stelligkeit, die zum Beispiel drei oder mehr Operanden miteinander verknüpfen.

Definition

Eine zweistellige Verknüpfung ist eine Abbildung $f\colon A\times B\to C$ vom kartesischen Produkt zweier Mengen $A$ und $B$ nach einer dritten Menge $C$. Anders gesagt, eine solche Verknüpfung $f$ ordnet jedem Paar von Elementen $a\in A$ und $b\in B$ ein Element $c=f(a,b)$ in $C$ zu, das Ergebnis der Verknüpfung.

Schreibweisen

Zweistellige Verknüpfungen $f$ schreibt man oft in Infixnotation $a\,f\,b$ anstelle der gewöhnlichen Präfixnotation $f(a,b)$. Zum Beispiel schreibt man eine Addition als $a+b$ anstelle von ${+}(a,b)$. Eine Multiplikation $\cdot$ wird oft ganz ohne Symbol geschrieben, also $ab=a\cdot b=\cdot (a,b)$. Die bekannteste Postfixnotation ist die umgekehrte Polnische Notation, die ohne Klammern auskommt. Die gewählte Schreibweise, ob Präfix, Infix, oder Postfix, richtet sich im Wesentlichen nach der Nützlichkeit im gegebenen Kontext und den jeweiligen Traditionen.

Beispiele

• Die Grundrechenarten (Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division) auf entsprechenden Mengen von Zahlen sind zweistellige Verknüpfungen. Zum Beispiel entsteht durch die Division einer ganzen Zahl $a\in \mathbb {Z}$ durch eine natürliche Zahl $b\in \mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} \setminus \{0\}$ eine rationale Zahl $c=a/b$. Dies entspricht demnach einer Verknüpfung $/\colon \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*}\to \mathbb {Q}$.

• Die Komposition von Abbildungen ist eine zweistellige Verknüpfung: sie ordnet jeder Abbildung $f\colon X\to Y$ und jeder Abbildung $g\colon Y\to Z$ ihre Hintereinanderausführung $g\circ f\colon X\to Z$ zu. Dies entspricht demnach einer Verknüpfung $\circ \colon \mathrm {Abb} (Y,Z)\times \mathrm {Abb} (X,Y)\to \mathrm {Abb} (X,Z)$. Hierbei können die Mengen $X$, $Y$ und $Z$ beliebig gewählt werden. Diese Verknüpfung tritt in fast allen Gebieten der Mathematik auf und liegt der Kategorientheorie zugrunde.

Innere zweistellige Verknüpfung

Eine innere zweistellige Verknüpfung oder zweistellige Operation auf einer Menge $A$ ist eine zweistellige Verknüpfung $f\colon A\times A\to A$, die also jedem geordneten Paar aus $A$ ein Element von $A$ zuordnet. Dies entspricht der obigen allgemeinen Definition im Spezialfall $A=B=C$. Das zusätzliche Attribut innere drückt aus, dass alle Operanden aus der Menge $A$ sind und die Verknüpfung nicht aus $A$ hinausführt. Man sagt dazu auch, $A$ ist abgeschlossen bezüglich $f$.

Innere zweistellige Verknüpfungen sind ein wichtiger Bestandteil von algebraischen Strukturen, die in der abstrakten Algebra untersucht werden. Sie treten auf bei Halbgruppen, Monoiden, Gruppen, Ringen und anderen Strukturen.

Ganz allgemein nennt man eine Menge $A$ mit einer beliebigen inneren Verknüpfung $*\colon A\times A\to A$ auch Magma. Oft haben solche Verknüpfungen noch weitere Eigenschaften, zum Beispiel sind sie assoziativ oder kommutativ. Viele haben auch ein neutrales Element und invertierbare Elemente.

Beispiele

• Die Addition und die Multiplikation ganzer Zahlen sind innere Verknüpfungen $+\colon \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ bzw. $\cdot \colon \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$. Dasselbe gilt für die natürlichen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen.
• Die Subtraktion ganzer Zahlen ist eine innere Verknüpfung $-\colon \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$. Dasselbe gilt für die rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Man beachte jedoch, dass die Subtraktion natürlicher Zahlen $-\colon \mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {Z}$ aus der Menge der natürlichen Zahlen hinausführt und demnach keine innere Verknüpfung ist. (Hier ist z.B. $1-2=-1\notin \mathbb {N}$).
• Die Division rationaler Zahlen ohne $0$ ist eine innere Verknüpfung $/\colon \mathbb {Q} ^{*}\times \mathbb {Q} ^{*}\to \mathbb {Q} ^{*}$. Gleiches gilt für die reellen und komplexen Zahlen jeweils ohne $0$. Man beachte jedoch, dass die Division ganzer Zahlen $/\colon \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{*}\to \mathbb {Q}$ aus der Menge der ganzen Zahlen hinausführt und demnach keine innere Verknüpfung ist. (Hier ist z.B. $1/2\notin \mathbb {Z}$).
• Für eine gegebene Menge $M$ sind die Durchschnittsbildung $X\cap Y$ und die Vereinigung $X\cup Y$ von Teilmengen $X,Y\subset M$ innere Verknüpfungen auf der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(M)$.
• Für jede Menge $X$ ist die Komposition $g\circ f$ von Abbildungen $f,g\colon X\to X$ eine innere Verknüpfung auf $\mathrm {Abb} (X,X)$.

Äußere zweistellige Verknüpfungen erster Art

Eine äußere zweistellige Verknüpfungen erster Art ist eine zweistellige Verknüpfung $f\colon O\times A\to A$, die man Linksoperation von $O$ auf $A$ nennt, bzw. $f\colon A\times O\to A$, die man Rechtsoperation von $O$ auf $A$ nennt. Sie unterscheiden sich von inneren zweistelligen Verknüpfungen dadurch, dass die als Operatorenbereich bezeichnete Menge $O$ (welche die Operatoren beinhaltet) nicht notwendigerweise eine Teilmenge von $A$ ist, von außerhalb kommt. Man sagt dann $O$ operiert von links bzw. von rechts auf $A$, und die Elemente von $O$ heißen Links- bzw. Rechtsoperatoren.

Bei multiplikativer Schreibweise schreibt man statt $o\,f\,a,$ bzw. $a\,f\,o$ auch kurz $oa$ bzw. $ao$; man spricht dann von der Operatorenschreibweise. Durch jeden Operator $o\in O$ ist genau eine Abbildung $\tau _{of}\colon A\to A,\,a\mapsto \tau _{of}(a):=o\,f\,a,$ bzw. $\tau _{fo}\colon A\to A,\,a\mapsto \tau _{fo}(a):=a\,f\,o,$ definiert, die auch die Transformation zu $o$ genannt wird. Zwischen dem Operator $o$ und der zugehörigen Transformation $\tau _{of}$ bzw. $\tau _{fo}$ wird dabei in der Regel nicht unterschieden.

Beispiele

• Bei einer Gruppenoperation $\bullet \colon G\times X\to X$ ist $G$ eine Gruppe und $X$ eine Menge. Man fordert zusätzlich eine gewisse Verträglichkeit dieser Operation mit der Gruppenstruktur $(G,\cdot )$, nämlich $1\bullet x=x$ und $g_{1}\bullet (g_{2}\bullet x)=(g_{1}\cdot g_{2})\bullet x$ für alle $g_{1},g_{2}\in G$ und $x\in X$.
• Bei der Skalarmultiplikation $\bullet \colon K\times V\to V$ in der linearen Algebra ist der Operatorenbereich $K$ ein Körper, meist $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$, und $V$ eine abelsche Gruppe, etwa $\mathbb {R} ^{n}$ bzw. $\mathbb {C} ^{n}$. Man fordert zusätzlich die Verträglichkeit der Skalarmultiplikation mit den bereits gegebenen Strukturen $(K,+,\cdot )$ und $(V,+)$. Ausgestattet mit der Operation $\bullet$ wird $V$ zu einem Vektorraum über $K$.

Bemerkung

Der Begriff Operation bzw. Operator wird, z.B. in der Funktionalanalysis, auch für allgemeine zweistellige Verknüpfungen $f\colon O\times A\to B$ bzw. $f\colon A\times O\to B$ gebraucht. Hierbei sind $A,B$ Mengen mit gleicher (meist algebraischer) Struktur, und oft soll die Transformation $\tau _{of}\colon A\to A$ bzw. $\tau _{fo}\colon A\to A$ mit der Struktur auf $A$ und $B$ verträglich sein.

Äußere zweistellige Verknüpfungen zweiter Art

Eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art ist eine Abbildung $f\colon A\times A\to B$, das heißt $f$ ist eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge $A$, aber bezüglich dieser ist $A$ nicht abgeschlossen.

Beispiele

• Das Skalarprodukt in $\mathbb {R} ^{n}$ ordnet je zwei Vektoren aus $\mathbb {R} ^{n}$ eine reelle Zahl zu und ist somit eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art.

• Ist $A$ ein affiner Raum über einem Vektorraum $V$, so ist $A\times A\to V$ mit $(P,Q)\mapsto {\overrightarrow {PQ}}$ eine äußere zweistellige Verknüpfung zweiter Art.

Siehe auch

• einstellige Verknüpfung

Weblinks

Commons: Binary operations – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien