En Álgebra abstracta, si tenemos un conjunto
en el que se ha definido una operación matemática
, que anotamos:
, siendo la operación
, interna en
:
![{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80zDlEzDBDaNzDygwQoti3a2e4njCOz2oPoNmOnDs5zjm5zja5nAnA)
Con elemento neutro
![{\displaystyle \exists \,e\in A\;,\quad \forall a\in A\;:\quad a\circledcirc e=e\circledcirc a=a}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PntFFajwQnjCPaNoOnta4njm2a2zAo2a4otmOaNs3ajdAzDw4nDdC)
Se dice que un elemento
tiene:
elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación
si:
![{\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\overrightarrow {a}}\in A\;:\quad {\overrightarrow {a}}\circledcirc a=e}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QzjJAnqrEaNhFyjnEots5nDs1ntJAzjCQaNK5zqs2yta2zgrCyqeQ)
elemento simétrico por la derecha respecto de la operación
si:
![{\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\overleftarrow {a}}\in A\;:\quad a\circledcirc {\overleftarrow {a}}=e}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Azjo2zNhCyghBz2a0otw4oqa2aqw4oDJAzgvEoNBEzjnAa2a4zAnD)
elemento simétrico respecto de la operación
si existe un elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:
![{\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\bar {a}}\in A\;:\quad {\bar {a}}\circledcirc a=a\circledcirc {\bar {a}}=e}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Boqe0aNw0oNFEzNG1aqdBzjo2zNvBoDJCoNe3njJBo2hCaDhBnDKN)
Un elemento simétrico
de
es simétrico por la derecha del elemento
y simétrico por la izquierda del elemento
.
Cuando la operación se denota por "+" (se lee "más"), se denomina suma o adición.
La suma en el conjunto de los números enteros: ,
-
es interna:
-
En este caso al elemento neutro se denomina cero y se denota por "0",
-
El elemento simétrico de se denomina elemento opuesto de y se denota por: .
Para dicho conjunto de números entero la operación suma: , tenemos que:
-
Notación multiplicativa
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Cuando la operación se denota por "·" (se lee "por"), se denomina producto o multiplicación.
La multiplicación en el conjunto de los números racionales: ,
-
es interna:
-
En este caso al elemento neutro se denomina uno o unidad y se denota por "1":
-
El elemento simétrico de se denomina elemento inverso de y se denota por o por
Para dicho conjunto de números racionales la operación multiplicación cumple:
-