Doble negación (lógica)

En lógica proposicional, la eliminación de la doble negación (también llamada eliminación del negativo doble, introducción del doble negativo, introducción de la doble negación, o simplemente doble negación^[1]^[2]^[3]) son dos reglas de reemplazo válidas. Son las inferencias que si A es verdad, entonces no no-A es verdad y su conversión, que, si no no-A es verdad, entonces A es verdad. La norma permite introducir o eliminar una negación de una prueba lógica. La norma se basa en la equivalencia de, por ejemplo, es falso que no está lloviendo. y está lloviendo.

La regla de introducción de la doble negación es:

P $\Leftrightarrow$ ¬¬P

y la regla eliminación de la doble negación es:

¬¬P $\Leftrightarrow$ P

Donde " $\leftrightarrow$ " es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una prueba con... ."

Notación formal

La regla de introducción de la doble negación puede escribirse en la notación subsiguiente:

P\vdash \neg \neg P

La regla de eliminación de la doble negación se puede escribir como:

\neg \neg P\vdash P

En forma de regla:

{\frac {P}{\neg \neg P}}

y

{\frac {\neg \neg P}{P}}

o como la afirmación de una verdadera tautología (sentencia simple de cálculo proposicional):

P\to \neg \neg P

y

\neg \neg P\to P

Estos se pueden combinar en una sola fórmula bicondicional:

\neg \neg P\leftrightarrow P

.

Puesto que la bicondicionalidad es una relación de equivalencia, cualquier instancia de ¬¬A en una fórmula bien formada puede ser sustituida por A, dejando sin cambios el valor de verdad de la fórmula bien formada.

La eliminación de la doble negación es un teorema de la lógica clásica, pero no de la lógica más débil, como la lógica intuicionista y la lógica mínima. Debido a su carácter constructivo, una sentencia como No es el caso de que no llueve es más débil que Está lloviendo. Esta última requiere una prueba de lluvia, mientras que la primera se limita a exigir una prueba de que lluve no sería contradictorio. (Esta distinción también se plantea en lenguaje natural en forma de litotes.) La introducción de la doble negación es un teorema tanto de la lógica intuicionista como de la lógica mínima, como es $\neg \neg \neg A\vdash \neg A$ .

En la teoría de conjuntos también tenemos la operación de negación del complemento que obedece a esta propiedad: un conjunto A y un conjunto (A^C)^C (donde A^C representa el complemento de A) son los mismos.