Taylori valem

Taylori valem annab pideva funktsiooni punkti ja selle lähisümbruse lähendamiseks n-ndat järku polünoomi. Kuna summa polünoom koosneb funktsiooni tuletistest, siis saab seda leida vaid juhul, kui funktsioonil mingis punktis a on kõik tuletised kuni järguni n. Juhul, kui eksisteerib ka (n+1)-järku tuletis kohal a, siis saame leida ka jääkliikme.

Ühe muutuja funktsioon

Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:

$f(x)\approx f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.$

, mis kompaktsemalt kirja panduna summa notatsiooniga omandab kuju:

$f(x)\approx \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

Vea hinnang

Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse $f(x)$ vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt.

Kui n ≥ 0 on täisarv ja $f\,$ on funktsioon, mis on n korda pidevalt diferentseeruv lõigul [a, x] ja n + 1 korda diferentseeruv vahemikus (a, x), siis leidub arv $\xi \in (a,x)$ nii, et

$R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$

Polünoomile jääkliikme lisamisel muutub väärtus ligikaudsest võrdseks:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}+R_{n}(x)$

Erijuhul, a = 0, saame Maclaurini valemi:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}+R_{n}(x)$

Näited

Eksponentfunktsioon

Lihtne näide Taylori valemist on eksponentfunktsiooni $e^{x}\,$ lähendamine x = 0 juures:

${\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}.$

Trigonomeetrilised funktsioonid

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ iga }}x\!{\text{-i korral.}}$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ iga }}x\!{\text{-i korral.}}$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ igale x-ile vahemikus }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

Kus B_s on Bernoulli numbrid.

Koosinus kohal x=1

Fail:TaylorCos1.png

Koondjoonis: Pildil on näha koosinuse funktsioon hallina. Iga järgneva astme polünoom täpsustab funtsiooni punkti ja selle lähiümbruses paremini. Esimesel juhul lõikab sirge antud punktis funktsiooni, teisel juhul ta puutub seda, ning tõusunurk punktis on sama, ning mida edasi seda suuremat lähiümbruskonda polünoom hakkab kirjeldama.

Fail:Out.ogg

Taylori valemi esimesed 26 arendust funktsioonile cos(x) graafikud, kohal x=1

Kohal x=1 Taylori valemi 1-8'dat järku polünoomid koosinusele. Nagu alljärgnevalt näha, siis käsitsi Taylori polünoomide leidmine on aeganõudev, ning veatalumatu protsess.

Joonised:

• Koosinus lõigul [-3Pi;3Pi]
  Koosinus lõigul [-3Pi;3Pi]
• Taylori 0-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
  Taylori 0-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
• Taylori 1-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
  Taylori 1-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
• Taylori 2-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
  Taylori 2-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
• Taylori 3-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
  Taylori 3-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
• Taylori 4-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
  Taylori 4-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
• Taylori 5-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
  Taylori 5-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
• Taylori 6-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
  Taylori 6-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
• Taylori 7-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
  Taylori 7-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
• Taylori 8-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])
  Taylori 8-järku polünoom funktsioonist cos(x), punktis P(1;Cos[1])

Koosinus kohal x=0

Fail:TaylorCos0.png

Koondjoonis: Taylori 8 esimest järku polünoomile funktsioonist cos(x), punktis P(0;Cos[0]).

Juhul, kui x=0 on tuntud ka, kui Maclaurini valem. Punktis P(0;cos(0)) on Taylori valemi esimesed 8-järku polünoomid funktsioonile:

• n=1 = $\,1+O\left(x^{2}\right)$
• n=2 = $\,1-{\frac {x^{2}}{2}}+O\left(x^{3}\right)$
• n=3 = $\,1-{\frac {x^{2}}{2}}+O\left(x^{4}\right)$
• n=4 = $\,1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+O\left(x^{5}\right)$
• n=5 = $\,1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+O\left(x^{6}\right)$
• n=6 = $\,1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O\left(x^{7}\right)$
• n=7 = $\,1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O\left(x^{8}\right)$
• n=8 = $\,1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+{\frac {x^{8}}{40320}}+O\left(x^{9}\right)$

Video näited

Salman Khan. "CALCULUS » Taylor Polynomials : Approximating a function with a Taylor Polynomial, Jun 18, 2008" (xHTML) (inglise keeles). http://khanexercises.appspot.com/. Khan Academy. Vaadatud 06.03.2011. {{netiviide}}: välislink kohas |Väljaandja= (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:

OCW Scholar

Loeng

David Jerison. "( 18.01 ) Single Variable Calculus, Lecture 38 : Taylor's series, Fall 2006" (xHTML) (inglise keeles). http://ocw.mit.edu. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. Vaadatud 06.03.2011. {{netiviide}}: välislink kohas |Väljaandja= (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:

Harjutus

Joel Lewis. "( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Finding Taylor's Series" (xHTML) (inglise keeles). http://ocw.mit.edu. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. Vaadatud 06.03.2011. {{netiviide}}: välislink kohas |Väljaandja= (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:

Joel Lewis. "( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Taylor's Series for sec(x)" (xHTML) (inglise keeles). http://ocw.mit.edu. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. Vaadatud 06.03.2011. {{netiviide}}: välislink kohas |Väljaandja= (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:

Christine Breiner. "( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Taylor's Series of a Polynomial" (xHTML) (inglise keeles). http://ocw.mit.edu. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. Vaadatud 06.03.2011. {{netiviide}}: välislink kohas |Väljaandja= (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:

Mitme muutuja funktsioon

Taylori valem esitab reaal- või kompleksarvulise funktsiooni, mis peab olema polünoomi astme n+1'i reaal- või kompleksarvuliste väljade ümbruses differenseeruv, kahe muutuja funktsiooni binoomide (x - a) ja (y - b) astmete polünoomi ja ühe jääkliikme summana, kus polünoomi aste on n.

Eksponentfunktsioon astmel -(x^2+y^2)

Fail:Ep-(2p2plusyp2).ogg

Taylori valemi esimesed 20 arendust funktsioonile E^-(x^2+y^2) graafikud, kohal x=0; y=0

Vaata ka

• Tuletis
• Polünoom