برخورد: تفاوت میان نسخهها
جز ربات:برداشتن پیوند به خود |
جز ویرایش با ابرابزار |
||
خط ۱: | خط ۱: | ||
[[پرونده:Newtons cradle animation book.gif|thumb|left|325px]] |
[[پرونده:Newtons cradle animation book.gif|thumb|left|325px]] |
||
در برخورد دو جسم در زمان کوتاه تماس, [[نیرو]]هایی به هم اعمال میکنند. به علت برقراری [[قانون سوم نیوتون]] در مورد [[نیرو]]های برخوردی, [[نیرو]]یی که یکی از اجسام به دیگری وارد میکند از نظر اندازه مساوی ولی در خلاف جهت [[نیرو]]یی است که از طرف جسم مقابل به آن وارد |
در برخورد دو جسم در زمان کوتاه تماس, [[نیرو]]هایی به هم اعمال میکنند. به علت برقراری [[قانون سوم نیوتون]] در مورد [[نیرو]]های برخوردی, [[نیرو]]یی که یکی از اجسام به دیگری وارد میکند از نظر اندازه مساوی ولی در خلاف جهت [[نیرو]]یی است که از طرف جسم مقابل به آن وارد شدهاست. |
||
[[قانون پایستگی انرژی|قوانین پایستگی انرژی مکانیکی]] و [[قانون پایستگی تکانه|پایستگی تکانه خطی]], دقیقا برقرار بوده ( |
[[قانون پایستگی انرژی|قوانین پایستگی انرژی مکانیکی]] و [[قانون پایستگی تکانه|پایستگی تکانه خطی]], دقیقا برقرار بوده (پایستگی انرژی جنبشی همواره برقرار نیست) و به ما این امکان را میدهد تا نتیجه برخورد را پیشبینی کنیم. |
||
هرگاه در برخورد [[انرژی جنبشی]] پایسته باشد [[انرژی پتانسیل]] نیز پایسته خواهد بود. |
هرگاه در برخورد [[انرژی جنبشی]] پایسته باشد [[انرژی پتانسیل]] نیز پایسته خواهد بود. |
||
==تکانه خطی در برخورد== |
== تکانه خطی در برخورد == |
||
[[پرونده:Elastischer stoß.gif|frame|left|در این پویانمایی میتوان [[قانون پایستگی انرژی]] و [[قانون پایستگی تکانه]] را بین دو جسم برخوردکننده با جرم برابر مشاهده کرد.]] |
[[پرونده:Elastischer stoß.gif|frame|left|در این پویانمایی میتوان [[قانون پایستگی انرژی]] و [[قانون پایستگی تکانه]] را بین دو جسم برخوردکننده با جرم برابر مشاهده کرد.]] |
||
هر گاه دو جسم با هم برخورد کنند, در صورتی که با هم یک تک [[سیستم]] تلفیقی شوند, [[نیرو]]یی که هر کدام در خلال تماس بر دیگری وارد میآورد, [[نیرو]]یی داخلی است. |
هر گاه دو جسم با هم برخورد کنند, در صورتی که با هم یک تک [[سیستم]] تلفیقی شوند, [[نیرو]]یی که هر کدام در خلال تماس بر دیگری وارد میآورد, [[نیرو]]یی داخلی است. |
||
خط ۱۰: | خط ۱۱: | ||
p_1 + p_2 = p'_1 + p'_2 |
p_1 + p_2 = p'_1 + p'_2 |
||
</math></center> |
</math></center> |
||
{{سخ}}بنابراین: |
|||
<center><math> |
<center><math> |
||
m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v'_1 + m_2v'_2 |
m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v'_1 + m_2v'_2 |
||
خط ۱۸: | خط ۱۹: | ||
\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1{v'_1}^2 + \frac{1}{2}m_2{v'_2}^2 + Q |
\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1{v'_1}^2 + \frac{1}{2}m_2{v'_2}^2 + Q |
||
</math></center> |
</math></center> |
||
{{سخ}} |
|||
<br/> |
|||
در اینجا [[کمیت]] [[انرژی درونی|Q]] وارد |
در اینجا [[کمیت]] [[انرژی درونی|Q]] وارد شدهاست تا بر کاهش یا افزایش خالص [[انرژی جنبشی]], ناشی از برخورد, دلالت کند.{{سخ}} |
||
در حالت برخورد کشسان, [[انرژی جنبشی]] کل تغیر نمیکند, از این رو 0 = Q است. |
در حالت برخورد کشسان, [[انرژی جنبشی]] کل تغیر نمیکند, از این رو 0 = Q است. |
||
اگر کاهش [[انرژی]] پیش بیاید, در این صورت [[انرژی درونی|Q]] مثبت است و این برخورد را '''انرژیزا''' (گرمازا) میگویند. |
اگر کاهش [[انرژی]] پیش بیاید, در این صورت [[انرژی درونی|Q]] مثبت است و این برخورد را '''انرژیزا''' (گرمازا) میگویند. |
||
اما اگر اتفاقا بر اثر برخورد [[انرژی]] تولید شود, مثلا هرگاه برخوردی انفجاری روی یکی از اجسام پیش آید, در این حالت [[انرژی درونی|Q]] منفی است و برخورد '''انرژیگیر''' (گرماگیر) خواهد بود. |
اما اگر اتفاقا بر اثر برخورد [[انرژی]] تولید شود, مثلا هرگاه برخوردی انفجاری روی یکی از اجسام پیش آید, در این حالت [[انرژی درونی|Q]] منفی است و برخورد '''انرژیگیر''' (گرماگیر) خواهد بود. |
||
==برخورد مستقیم (یک بعدی)== |
== برخورد مستقیم (یک بعدی) == |
||
حالت خاص برخورد رو در روی دو جسم یا ذره, را که در آن حرکت کاملا بر یک خط مستقیم ([[دستگاه مختصات دکارتی|محور x]]) صورت میگیرد, در نظر میگیریم. |
حالت خاص برخورد رو در روی دو جسم یا ذره, را که در آن حرکت کاملا بر یک خط مستقیم ([[دستگاه مختصات دکارتی|محور x]]) صورت میگیرد, در نظر میگیریم. |
||
===تعیین سرعت=== |
=== تعیین سرعت === |
||
این که [[سرعت]] بعد از برخورد چه مقداری باشد بستگی به پایسته بودن یا نبودن [[انرژی جنبشی]] دارد. |
این که [[سرعت]] بعد از برخورد چه مقداری باشد بستگی به پایسته بودن یا نبودن [[انرژی جنبشی]] دارد. |
||
====در صورت پایستگی انرژی جنبشی==== |
==== در صورت پایستگی انرژی جنبشی ==== |
||
در این حالت مقدار [[انرژی درونی|Q]] برابر با صفر خواهد بود. اگر <math>v_1</math> و <math>v_2</math> [[سرعت]]های اولیه دو جسم که در امتداد یک خط مستقیم حرکت کرده و به هم برخورد کردهاند در دست باشد با به کار گرفتن [[قانون پایستگی تکانه]] و [[قانون پایستگی انرژی]] [[انرژی جنبشی|جنبشی]] میتوان [[سرعت]]های دو جسم را بعد از برخورد به دست آورد. بنابراین: |
در این حالت مقدار [[انرژی درونی|Q]] برابر با صفر خواهد بود. اگر <math>v_1</math> و <math>v_2</math> [[سرعت]]های اولیه دو جسم که در امتداد یک خط مستقیم حرکت کرده و به هم برخورد کردهاند در دست باشد با به کار گرفتن [[قانون پایستگی تکانه]] و [[قانون پایستگی انرژی]] [[انرژی جنبشی|جنبشی]] میتوان [[سرعت]]های دو جسم را بعد از برخورد به دست آورد. بنابراین: |
||
<center><math> |
<center><math> |
||
v'_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1 |
v'_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1 |
||
</math></center> |
</math></center> |
||
{{سخ}} |
|||
<br/> |
|||
<center><math> |
<center><math> |
||
v'_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_2 |
v'_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_2 |
||
</math></center> |
</math></center> |
||
====در صورت پایسته نبودن انرژی جنبشی==== |
==== در صورت پایسته نبودن انرژی جنبشی ==== |
||
در این حالت مقدار [[انرژی درونی|Q]] را میدانیم. در اینگونه مسائل اغلب اوقات بهتر است که با پارامتر دیگر, |
در این حالت مقدار [[انرژی درونی|Q]] را میدانیم. در اینگونه مسائل اغلب اوقات بهتر است که با پارامتر دیگر, |
||
<math>\epsilon</math>, به نام [[ضریب بازگشت]] آشنا شویم. |
<math>\epsilon</math>, به نام [[ضریب بازگشت]] آشنا شویم. |
||
این [[کمیت]] عبارت است از نسبت [[سرعت]] جدا شدن <math>v'</math> به [[سرعت]] نزدیک شدن, یعنی <math>v</math>. |
این [[کمیت]] عبارت است از نسبت [[سرعت]] جدا شدن <math>v'</math> به [[سرعت]] نزدیک شدن, یعنی <math>v</math>. |
||
خط ۴۸: | خط ۵۲: | ||
در حالت '''برخورد کشسان''', مقدار <math>\epsilon = 1</math> میباشد و در آن <math>Q = 0</math> است, که قبلا بررسی شد. |
در حالت '''برخورد کشسان''', مقدار <math>\epsilon = 1</math> میباشد و در آن <math>Q = 0</math> است, که قبلا بررسی شد. |
||
{{سخ}} |
|||
<br/> |
|||
در حالت '''برخورد کاملا ناکشسان''', دو جسم بعد از برخورد به هم میچسبند, به طوری که |
در حالت '''برخورد کاملا ناکشسان''', دو جسم بعد از برخورد به هم میچسبند, به طوری که |
||
<math>\epsilon = 0</math> است. |
<math>\epsilon = 0</math> است. |
||
{{سخ}} |
|||
<br/> |
|||
[[پرونده:Inelastischer stoß.gif|frame|left|'''برخورد کاملا ناکشسان''' بین دو جسم با جرم برابر. سرعت بعد از برخورد نصف میشود, زیرا جرم دو برابر شده.]] |
[[پرونده:Inelastischer stoß.gif|frame|left|'''برخورد کاملا ناکشسان''' بین دو جسم با جرم برابر. سرعت بعد از برخورد نصف میشود, زیرا جرم دو برابر شده.]] |
||
در مورد اکثر اجسام حقیقی مقدار <math>\epsilon</math> بین دو مقدار |
در مورد اکثر اجسام حقیقی مقدار <math>\epsilon</math> بین دو مقدار ۰ و ۱ است. |
||
خط ۶۴: | خط ۶۸: | ||
حال میتوانیم مقادیر [[سرعت]] نهایی را محاسبه کنیم. نتیجه عبارت خواهد بود از: |
حال میتوانیم مقادیر [[سرعت]] نهایی را محاسبه کنیم. نتیجه عبارت خواهد بود از: |
||
<ref> |
<ref> |
||
فرمول گفتهشده از کتاب مدرسان شریف است, این در حالی است که کتاب فولز همان رابطه را به شکل زیر بیان |
فرمول گفتهشده از کتاب مدرسان شریف است, این در حالی است که کتاب فولز همان رابطه را به شکل زیر بیان کردهاست. احتمال خطای تایپی در یکی از آنها یا هر دو محتمل است. |
||
<center><math> |
<center><math> |
||
v'_1 = \frac{(m_1 - {\epsilon}m_2)v_1 + (m_2 + {\epsilon}m_2)v_2}{m_1 + m_2} |
v'_1 = \frac{(m_1 - {\epsilon}m_2)v_1 + (m_2 + {\epsilon}m_2)v_2}{m_1 + m_2} |
||
</math></center> |
</math></center> |
||
{{سخ}}<center><math> |
|||
v'_2 = \frac{(m_1 - {\epsilon}m_1)v_1 + (m_2 - {\epsilon}m_1)v_2}{m_1 + m_2} |
v'_2 = \frac{(m_1 - {\epsilon}m_1)v_1 + (m_2 - {\epsilon}m_1)v_2}{m_1 + m_2} |
||
</math></center> |
</math></center> |
||
خط ۷۵: | خط ۷۹: | ||
v'_1 = \frac{(m_1 - {\epsilon}m_2)v_1 + (m_2 + {\epsilon}m_1)v_2}{m_1 + m_2} |
v'_1 = \frac{(m_1 - {\epsilon}m_2)v_1 + (m_2 + {\epsilon}m_1)v_2}{m_1 + m_2} |
||
</math></center> |
</math></center> |
||
{{سخ}}<center><math> |
|||
v'_2 = \frac{(m_1 + {\epsilon}m_2)v_1 + (m_2 - {\epsilon}m_1)v_2}{m_1 + m_2} |
v'_2 = \frac{(m_1 + {\epsilon}m_2)v_1 + (m_2 - {\epsilon}m_1)v_2}{m_1 + m_2} |
||
</math></center> |
</math></center> |
||
===اتلاف انرژی=== |
=== اتلاف انرژی === |
||
در حالت کلی برخورد ناکشسان مستقیم, بین [[انرژی درونی|اتلاف انرژی Q]] و [[ضریب بازگشت]] |
در حالت کلی برخورد ناکشسان مستقیم, بین [[انرژی درونی|اتلاف انرژی Q]] و [[ضریب بازگشت]] رابطهٔ زیر برقرار است: |
||
<center><math> |
<center><math> |
||
Q = \frac{1}{2}{\mu}v^2(1 - \epsilon^2) |
Q = \frac{1}{2}{\mu}v^2(1 - \epsilon^2) |
||
خط ۸۷: | خط ۹۱: | ||
و <math>v = |v_2 - v_1|</math> عبارت است از ''[[سرعت]] نسبی'' دو جسم قبل از برخورد. |
و <math>v = |v_2 - v_1|</math> عبارت است از ''[[سرعت]] نسبی'' دو جسم قبل از برخورد. |
||
==ضربه در برخورد== |
== ضربه در برخورد == |
||
نیروهایی فوقالعاده کوتاه مدت که تحت برخورد وارد میشود نیروهای ضربهای نامیده میشوند. |
نیروهایی فوقالعاده کوتاه مدت که تحت برخورد وارد میشود نیروهای ضربهای نامیده میشوند. |
||
اگر بازه زمانی برخورد از t1 تا t2 باشد (این بازه زمانی عبارت است از مدت زمانی که در خلال آن نیروی مورد نظر وارد میآید), و نیرویی که در حین برخورد اعمال شده F باشد در این صورت ضربه که آن را با J نشان میدهیم چنین بیان میشود: |
اگر بازه زمانی برخورد از t1 تا t2 باشد (این بازه زمانی عبارت است از مدت زمانی که در خلال آن نیروی مورد نظر وارد میآید), و نیرویی که در حین برخورد اعمال شده F باشد در این صورت ضربه که آن را با J نشان میدهیم چنین بیان میشود: |
||
خط ۹۷: | خط ۱۰۱: | ||
</center> |
</center> |
||
==برخورد مایل (دو بعدی)== |
== برخورد مایل (دو بعدی) == |
||
برخورد مایل زمانی رخ میدهد که مرکز جرم دو جسم برخورد کننده در یک راستا نباشند, مانند توپها در بازی [[بیلیارد]]. |
برخورد مایل زمانی رخ میدهد که مرکز جرم دو جسم برخورد کننده در یک راستا نباشند, مانند توپها در بازی [[بیلیارد]]. |
||
در این حالت با توجه به اینکه [[نیرو]]های ضربهای فوقالعاده بزرگاند میتوان از سایر [[نیرو]]های وارد بر دو جسم چشمپوشی کرد. در نتیجه تکانه خطی کل پایسته میماند. |
در این حالت با توجه به اینکه [[نیرو]]های ضربهای فوقالعاده بزرگاند میتوان از سایر [[نیرو]]های وارد بر دو جسم چشمپوشی کرد. در نتیجه تکانه خطی کل پایسته میماند. |
||
خط ۱۰۷: | خط ۱۱۱: | ||
''''' ثابت ''''' |
''''' ثابت ''''' |
||
<math> P_x = </math> |
<math> P_x = </math> |
||
''' |
''': در راستای محور x''' |
||
{{سخ}} |
|||
<br> |
|||
<math> \to 0 + 0 = m_1v'_1\sin\theta - m_2v'_2 \sin\varphi</math> |
<math> \to 0 + 0 = m_1v'_1\sin\theta - m_2v'_2 \sin\varphi</math> |
||
''''' ثابت ''''' |
''''' ثابت ''''' |
||
<math> P_y = </math> |
<math> P_y = </math> |
||
''' |
''': در راستای محور y''' |
||
</center> |
</center> |
||
==پانویس== |
== پانویس == |
||
{{پانویس}} |
{{پانویس}} |
||
==منابع== |
== منابع == |
||
* مکانیک تحلیلی: کارشناسی ارشد / مولفین: محمد مولوی, وحید بهرامی / مدرسان شریف |
* مکانیک تحلیلی: کارشناسی ارشد / مولفین: محمد مولوی, وحید بهرامی / مدرسان شریف |
||
* مکانیک تحلیلی / گرانت فولز, جورج کسیدی / ترجمه جعفر قیصری / مرکز نشر دانشگاهی |
* مکانیک تحلیلی / گرانت فولز, جورج کسیدی / ترجمه جعفر قیصری / مرکز نشر دانشگاهی |
نسخهٔ ۸ مهٔ ۲۰۱۲، ساعت ۰۹:۵۸
در برخورد دو جسم در زمان کوتاه تماس, نیروهایی به هم اعمال میکنند. به علت برقراری قانون سوم نیوتون در مورد نیروهای برخوردی, نیرویی که یکی از اجسام به دیگری وارد میکند از نظر اندازه مساوی ولی در خلاف جهت نیرویی است که از طرف جسم مقابل به آن وارد شدهاست. قوانین پایستگی انرژی مکانیکی و پایستگی تکانه خطی, دقیقا برقرار بوده (پایستگی انرژی جنبشی همواره برقرار نیست) و به ما این امکان را میدهد تا نتیجه برخورد را پیشبینی کنیم. هرگاه در برخورد انرژی جنبشی پایسته باشد انرژی پتانسیل نیز پایسته خواهد بود.
تکانه خطی در برخورد
هر گاه دو جسم با هم برخورد کنند, در صورتی که با هم یک تک سیستم تلفیقی شوند, نیرویی که هر کدام در خلال تماس بر دیگری وارد میآورد, نیرویی داخلی است. تکانهی خطی کل بدون تغییر باقی میماند, بنابراین میتوان نوشت:
بنابراین:
با توجه به قانون پایستگی انرژی میتوانیم بنویسیم:
در اینجا کمیت Q وارد شدهاست تا بر کاهش یا افزایش خالص انرژی جنبشی, ناشی از برخورد, دلالت کند.
در حالت برخورد کشسان, انرژی جنبشی کل تغیر نمیکند, از این رو 0 = Q است.
اگر کاهش انرژی پیش بیاید, در این صورت Q مثبت است و این برخورد را انرژیزا (گرمازا) میگویند.
اما اگر اتفاقا بر اثر برخورد انرژی تولید شود, مثلا هرگاه برخوردی انفجاری روی یکی از اجسام پیش آید, در این حالت Q منفی است و برخورد انرژیگیر (گرماگیر) خواهد بود.
برخورد مستقیم (یک بعدی)
حالت خاص برخورد رو در روی دو جسم یا ذره, را که در آن حرکت کاملا بر یک خط مستقیم (محور x) صورت میگیرد, در نظر میگیریم.
تعیین سرعت
این که سرعت بعد از برخورد چه مقداری باشد بستگی به پایسته بودن یا نبودن انرژی جنبشی دارد.
در صورت پایستگی انرژی جنبشی
در این حالت مقدار Q برابر با صفر خواهد بود. اگر و سرعتهای اولیه دو جسم که در امتداد یک خط مستقیم حرکت کرده و به هم برخورد کردهاند در دست باشد با به کار گرفتن قانون پایستگی تکانه و قانون پایستگی انرژی جنبشی میتوان سرعتهای دو جسم را بعد از برخورد به دست آورد. بنابراین:
در صورت پایسته نبودن انرژی جنبشی
در این حالت مقدار Q را میدانیم. در اینگونه مسائل اغلب اوقات بهتر است که با پارامتر دیگر, , به نام ضریب بازگشت آشنا شویم. این کمیت عبارت است از نسبت سرعت جدا شدن به سرعت نزدیک شدن, یعنی . بنابر نمادگذاری ما در اینجا میتوان را از این قرار نوشت:
مقدار عمدتا به ترکیب و ساختار فیزیکی دو جسم بستگی دارد.
در حالت برخورد کشسان, مقدار میباشد و در آن است, که قبلا بررسی شد.
در حالت برخورد کاملا ناکشسان, دو جسم بعد از برخورد به هم میچسبند, به طوری که
است.
در مورد اکثر اجسام حقیقی مقدار بین دو مقدار ۰ و ۱ است.
حال میتوانیم مقادیر سرعت نهایی را محاسبه کنیم. نتیجه عبارت خواهد بود از: [۱]
اتلاف انرژی
در حالت کلی برخورد ناکشسان مستقیم, بین اتلاف انرژی Q و ضریب بازگشت رابطهٔ زیر برقرار است:
که در آن عبات است از جرم کاهیده, و عبارت است از سرعت نسبی دو جسم قبل از برخورد.
ضربه در برخورد
نیروهایی فوقالعاده کوتاه مدت که تحت برخورد وارد میشود نیروهای ضربهای نامیده میشوند. اگر بازه زمانی برخورد از t1 تا t2 باشد (این بازه زمانی عبارت است از مدت زمانی که در خلال آن نیروی مورد نظر وارد میآید), و نیرویی که در حین برخورد اعمال شده F باشد در این صورت ضربه که آن را با J نشان میدهیم چنین بیان میشود:
برخورد مایل (دو بعدی)
برخورد مایل زمانی رخ میدهد که مرکز جرم دو جسم برخورد کننده در یک راستا نباشند, مانند توپها در بازی بیلیارد. در این حالت با توجه به اینکه نیروهای ضربهای فوقالعاده بزرگاند میتوان از سایر نیروهای وارد بر دو جسم چشمپوشی کرد. در نتیجه تکانه خطی کل پایسته میماند.
اکنون حالت خاصی را که بررسی میکنیم که ذرهای به جرم با سرعت اولیه به ذرهای به جرم که در حال سکون قرار دارد برخورد میکند. [۲]
ثابت
: در راستای محور x
ثابت
: در راستای محور y
پانویس
منابع
- مکانیک تحلیلی: کارشناسی ارشد / مولفین: محمد مولوی, وحید بهرامی / مدرسان شریف
- مکانیک تحلیلی / گرانت فولز, جورج کسیدی / ترجمه جعفر قیصری / مرکز نشر دانشگاهی
- تشریح مسائل فیزیک هالیدی / مولف: امین شیرانی / انتشارات پویش اندیشه