Alkulukupari

Alkulukupariksi eli alkulukukaksosiksi kutsutaan kahta alkulukua, joiden erotus on 2. Ensimmäisiä alkulukupareja ovat (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) ja (29, 31). Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu.

Kaikki alkulukuparit lukuun ottamatta paria (3, 5) ovat muotoa (6n − 1, 6n + 1), missä n on luonnollinen luku, jonka täytyy päättyä lukuun 0, 2, 3, 5, 7 tai 8, lukuun ottamatta tapausta n = 1.

Clementin lauseen mukaan [1] (m, m + 2) on alkulukupari, jos ja vain jos

$4((m-1)!+1)=-m\mod (m(m+2)).$

Lisäksi on todistettu seuraava lause [1]:

Olkoon $n\geq 3,n\neq 7$. Tällöin $n$ ja $n+2$ muodostavat alkulukuparin, jos ja vain jos $4(n-3)!+2+n$ on jaollinen $n$:llä muttei $n+2$:lla.

Suurin tunnettu alkulukupari

Suurin tunnettu alkulukupari on 6. elokuuta 2009 löydetty $65516468355\cdot 2^{333333}\pm 1\,$. Molemmissa alkulukuparin luvuissa on 100 355 numeroa.

Alkulukuparien määrä

Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. Niiden lukumäärä onkin lukuteorian suurimpia ratkaisemattomia ongelmia. Alkulukupareille on kuitenkin olemassa samankaltainen laskufunktio kuin alkuluvuillekin, $\pi _{2}(n)$, joka ilmaisee lukua n pienempien alkulukuparien määrän.

n	$\pi _{2}(n)$
$10^{2}$	8
$10^{3}$	35
$10^{4}$	205
$10^{5}$	1 224
$10^{6}$	8 169
$10^{7}$	58 980
$10^{8}$	440 312
$10^{9}$	3 424 506
$10^{10}$	27 412 679
$10^{11}$	224 376 048
$10^{12}$	1 870 585 220
$10^{13}$	15 834 664 872
$10^{14}$	135 780 321 665

Viitteet: [1] M. Chaves, Twin Primes and a Primality Test by Indivisibilty