Ero sivun ”Alkulukupari” versioiden välillä
[katsottu versio] | [katsottu versio] |
Ei muokkausyhteenvetoa |
kuva, muotoilu |
||
Rivi 1: | Rivi 1: | ||
'''Alkulukupariksi''' eli '''alkulukukaksosiksi''' kutsutaan kahta [[alkuluku]]a, joiden [[erotus]] on 2. |
'''Alkulukupariksi''' eli '''alkulukukaksosiksi''' kutsutaan kahta [[alkuluku]]a, joiden [[erotus]] on 2. Kymmenen ensimmäistä alkulukuparia ovat (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103) ja (107, 109).<ref>{{OEIS|A014574}}</ref> |
||
Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. 14. toukokuuta 2013 Zhang Yitang New Hampshiren |
Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. 14. toukokuuta 2013 Zhang Yitang [[New Hampshiren yliopisto]]sta julkaisi todistuksen<ref>{{cite web | url = https://www.dropbox.com/s/su3uak2a057yrqv/YitangZhang.pdf | title = Bounded gaps between primes}}</ref>, jonka mukaan on olemassa äärettömän monta alkulukua <math>p</math> ja <math>p+k</math>, missä <math>2\leq k<70000000.</math><ref>{{cite web | url = http://www.nature.com/news/first-proof-that-infinitely-many-prime-numbers-come-in-pairs-1.12989 | title = First proof that infinitely many prime numbers come in pairs | accessdate = 2013-05-14 | date = 14. toukokuuta 2013}}</ref> Myöhemmin <math>k</math>:n arvo on saatu pudotettua lukuun 246.<ref>{{cite web | url = http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes | title = Bounded_gaps_between_primes | accessdate = 2014-04-19 | date = 19. huhtikuuta 2014}}</ref> |
||
Kaikki alkulukuparit lukuun ottamatta paria (3, 5) ovat muotoa (6''n'' − 1, 6''n'' + 1), jossa ''n'' on [[luonnollinen luku]], jonka täytyy päättyä |
Kaikki alkulukuparit lukuun ottamatta paria (3, 5) ovat muotoa (6''n'' − 1, 6''n'' + 1), jossa ''n'' on [[luonnollinen luku]], jonka täytyy päättyä numeroon 0, 2, 3, 5, 7 tai 8, lukuun ottamatta tapausta <var>n</var> = 1. |
||
Clementin lauseen mukaan<ref>http://www.math.sunysb.edu/~moira/mat331-spr10/papers/1949%20ClementCongruences%20for%20Sets%20of%20Primes.pdf |
Clementin lauseen mukaan<ref>http://www.math.sunysb.edu/~moira/mat331-spr10/papers/1949%20ClementCongruences%20for%20Sets%20of%20Primes.pdf</ref> (''m'', ''m'' + 2) on alkulukupari, jos ja vain jos |
||
:<math>4((m-1)! + 1) = -m \mod (m(m+2)).</math> |
:<math>4((m-1)! + 1) = -m \mod (m(m+2)).</math> |
||
Lisäksi on todistettu seuraava lause |
Lisäksi on todistettu seuraava lause:<ref>M. Chaves, Twin Primes and a Primality Test by Indivisibility, http://arxiv.org/pdf/math/0211034v3</ref> |
||
Olkoon <math>n\geq 3,n\ne 7</math>. Tällöin <math>n</math> ja <math>n+2</math> muodostavat alkulukuparin, jos ja vain jos <math>4(n-3)!+2+n</math> on jaollinen <math>n</math>:llä muttei <math>n+2</math>:lla. |
:Olkoon <math>n\geq 3,n\ne 7</math>. Tällöin <math>n</math> ja <math>n+2</math> muodostavat alkulukuparin, jos ja vain jos <math>4(n-3)!+2+n</math> on jaollinen <math>n</math>:llä muttei <math>n+2</math>:lla. |
||
[[Sergusovin lause|Sergusovin lauseen]] mukaan <math>n</math> ja <math>n+2</math> ovat alkulukuja [[jos ja vain jos]] |
[[Sergusovin lause|Sergusovin lauseen]] mukaan <math>n</math> ja <math>n+2</math> ovat alkulukuja [[jos ja vain jos]] |
||
:<math>\phi(m) \sigma(m)=(m - 3)(m + 1)</math>, missä <math>m = n(n+2)</math> sekä funktio <math>\phi</math> [[Eulerin φ-funktio|Eulerin funktio]] ja <math>\sigma</math> luvun jakajien summan laskeva [[Sigma funktio]].<ref>http://www.math.snu.ac.kr/~mhkim/speech/speech_44.pdf</ref>{{selvennä|mitä fii ja sigma tarkoittavat}}<ref> |
:<math>\phi(m) \sigma(m)=(m - 3)(m + 1)</math>, missä <math>m = n(n+2)</math> sekä funktio <math>\phi</math> [[Eulerin φ-funktio|Eulerin funktio]] ja <math>\sigma</math> luvun jakajien summan laskeva [[Sigma funktio]].<ref>http://www.math.snu.ac.kr/~mhkim/speech/speech_44.pdf</ref>{{selvennä|mitä fii ja sigma tarkoittavat}}<ref> |
||
Tomasz Bucher, http://tomasz.buchert.pl/files/math-one.pdf, Pro Gradu, Puola, 2011. s. 26-28</ref> |
Tomasz Bucher, http://tomasz.buchert.pl/files/math-one.pdf, Pro Gradu, Puola, 2011. s. 26-28</ref> |
||
== Suurin tunnettu alkulukupari == |
== Suurin tunnettu alkulukupari == |
||
Rivi 22: | Rivi 23: | ||
== Alkulukuparien määrä == |
== Alkulukuparien määrä == |
||
[[Tiedosto:Anzahl Primzahl-Zwillingspaare.png|thumb|''n'':ää pienempien tai yhtä suurten alkulukuparien määrä]] |
|||
Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. Niiden lukumäärä onkin [[lukuteoria]]n suurimpia ratkaisemattomia ongelmia. Alkulukupareille on kuitenkin olemassa samankaltainen laskufunktio kuin alkuluvuillekin, <math>\pi_2(n)</math>, joka ilmaisee lukua ''n'' pienempien alkulukuparien määrän. |
Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. Niiden lukumäärä onkin [[lukuteoria]]n suurimpia ratkaisemattomia ongelmia. Alkulukupareille on kuitenkin olemassa samankaltainen laskufunktio kuin alkuluvuillekin, <math>\pi_2(n)</math>, joka ilmaisee lukua ''n'' pienempien alkulukuparien määrän. |
||
{| |
{| class="wikitable" style="text-align:right;" |
||
|- |
|||
!''n'' |
|||
⚫ | |||
|- |
|- |
||
|<center>''n'' |
|||
⚫ | |||
|- align="right" |
|||
|<math>10^2</math> |
|<math>10^2</math> |
||
|8 |
|8 |
||
|- |
|||
|- align="right" |
|||
|<math>10^3</math> |
|<math>10^3</math> |
||
|35 |
|35 |
||
|- |
|||
|- align="right" |
|||
|<math>10^4</math> |
|<math>10^4</math> |
||
|205 |
|205 |
||
|- |
|||
|- align="right" |
|||
|<math>10^5</math> |
|<math>10^5</math> |
||
|1 224 |
|1 224 |
||
|- |
|||
|- align="right" |
|||
|<math>10^6</math> |
|<math>10^6</math> |
||
|8 169 |
|8 169 |
||
|- |
|||
|- align="right" |
|||
|<math>10^7</math> |
|<math>10^7</math> |
||
|58 980 |
|58 980 |
||
|- |
|||
|- align="right" |
|||
|<math>10^8</math> |
|<math>10^8</math> |
||
|440 312 |
|440 312 |
||
|- |
|||
|- align="right" |
|||
|<math>10^9</math> |
|<math>10^9</math> |
||
|3 424 506 |
|3 424 506 |
||
|- |
|||
|- align="right" |
|||
|<math>10^{10}</math> |
|<math>10^{10}</math> |
||
|27 412 679 |
|27 412 679 |
||
|- |
|||
|- align="right" |
|||
|<math>10^{11}</math> |
|<math>10^{11}</math> |
||
|224 376 048 |
|224 376 048 |
||
|- |
|||
|- align="right" |
|||
|<math>10^{12}</math> |
|<math>10^{12}</math> |
||
|1 870 585 220 |
|1 870 585 220 |
||
|- |
|||
|- align="right" |
|||
|<math>10^{13}</math> |
|<math>10^{13}</math> |
||
|15 834 664 872 |
|15 834 664 872 |
||
|- |
|||
|- align="right" |
|||
|<math>10^{14}</math> |
|<math>10^{14}</math> |
||
|135 780 321 665 |
|135 780 321 665 |
||
|} |
|} |
||
== Katso myös == |
== Katso myös == |
||
* [[ |
* [[alkulukukolmikko]] |
||
* [[ |
* [[alkulukuserkku]] |
||
==Lähteet== |
== Lähteet == |
||
{{Viitteet}} |
{{Viitteet}} |
||
{{tynkä/Matematiikka}} |
{{tynkä/Matematiikka}} |
Versio 6. huhtikuuta 2023 kello 00.34
Alkulukupariksi eli alkulukukaksosiksi kutsutaan kahta alkulukua, joiden erotus on 2. Kymmenen ensimmäistä alkulukuparia ovat (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103) ja (107, 109).[1]
Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. 14. toukokuuta 2013 Zhang Yitang New Hampshiren yliopistosta julkaisi todistuksen[2], jonka mukaan on olemassa äärettömän monta alkulukua ja , missä [3] Myöhemmin :n arvo on saatu pudotettua lukuun 246.[4]
Kaikki alkulukuparit lukuun ottamatta paria (3, 5) ovat muotoa (6n − 1, 6n + 1), jossa n on luonnollinen luku, jonka täytyy päättyä numeroon 0, 2, 3, 5, 7 tai 8, lukuun ottamatta tapausta n = 1.
Clementin lauseen mukaan[5] (m, m + 2) on alkulukupari, jos ja vain jos
Lisäksi on todistettu seuraava lause:[6]
- Olkoon . Tällöin ja muodostavat alkulukuparin, jos ja vain jos on jaollinen :llä muttei :lla.
Sergusovin lauseen mukaan ja ovat alkulukuja jos ja vain jos
- , missä sekä funktio Eulerin funktio ja luvun jakajien summan laskeva Sigma funktio.[7][8]
Suurin tunnettu alkulukupari
Suurin tunnettu alkulukupari on 14. syyskuuta 2016 löydetty . Molemmissa alkulukuparin luvuissa on 388 342 numeroa.[9]
Alkulukuparien määrä
Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. Niiden lukumäärä onkin lukuteorian suurimpia ratkaisemattomia ongelmia. Alkulukupareille on kuitenkin olemassa samankaltainen laskufunktio kuin alkuluvuillekin, , joka ilmaisee lukua n pienempien alkulukuparien määrän.
n | |
---|---|
8 | |
35 | |
205 | |
1 224 | |
8 169 | |
58 980 | |
440 312 | |
3 424 506 | |
27 412 679 | |
224 376 048 | |
1 870 585 220 | |
15 834 664 872 | |
135 780 321 665 |
Katso myös
Lähteet
- ↑ A014574 OEIS-tietokannassa
- ↑ Bounded gaps between primes dropbox.com.
- ↑ First proof that infinitely many prime numbers come in pairs nature.com. 14. toukokuuta 2013. Viitattu 14.5.2013.
- ↑ Bounded_gaps_between_primes michaelnielsen.org. 19. huhtikuuta 2014. Viitattu 19.4.2014.
- ↑ http://www.math.sunysb.edu/~moira/mat331-spr10/papers/1949%20ClementCongruences%20for%20Sets%20of%20Primes.pdf
- ↑ M. Chaves, Twin Primes and a Primality Test by Indivisibility, http://arxiv.org/pdf/math/0211034v3
- ↑ http://www.math.snu.ac.kr/~mhkim/speech/speech_44.pdf
- ↑ Tomasz Bucher, http://tomasz.buchert.pl/files/math-one.pdf, Pro Gradu, Puola, 2011. s. 26-28
- ↑ www.primegrid.com