Ero sivun ”Alkulukupari” versioiden välillä

[arvioimaton versio]

[katsottu versio]

Poistettu sisältö Lisätty sisältö

Rivinsisäinen

Nykyinen versio 23. maaliskuuta 2024 kello 14.15

Alkulukupariksi eli alkulukukaksosiksi kutsutaan kahta alkulukua, joiden erotus on 2. Kymmenen ensimmäistä alkulukuparia ovat (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103) ja (107, 109).^[1]

Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. 14. toukokuuta 2013 Zhang Yitang New Hampshiren yliopistosta julkaisi todistuksen^[2], jonka mukaan on olemassa äärettömän monta alkulukua $p$ ja $p+k$ , missä $2\leq k<70000000.$ ^[3] Myöhemmin $k$ :n arvo on saatu pudotettua lukuun 246.^[4]

Kaikki alkulukuparit lukuun ottamatta paria (3, 5) ovat muotoa (6n − 1, 6n + 1), jossa n on luonnollinen luku, jonka täytyy päättyä numeroon 0, 2, 3, 5, 7 tai 8, lukuun ottamatta tapausta n = 1.

Clementin lauseen mukaan^[5] (m, m + 2) on alkulukupari, jos ja vain jos

4((m-1)!+1)=-m\mod (m(m+2)).

Lisäksi on todistettu seuraava lause:^[6]

Olkoon

n\geq 3,n\neq 7

. Tällöin

n

ja

n+2

muodostavat alkulukuparin, jos ja vain jos

4(n-3)!+2+n

on jaollinen

n

:llä muttei

n+2

:lla.

Sergusovin lauseen mukaan $n$ ja $n+2$ ovat alkulukuja jos ja vain jos

\phi (m)\sigma (m)=(m-3)(m+1)

, missä

m=n(n+2)

sekä funktio

\phi

Eulerin funktio ja

\sigma

luvun jakajien summan laskeva Sigma funktio.^[7]^selvennä^[8]

Suurin tunnettu alkulukupari

Suurin tunnettu alkulukupari on 14. syyskuuta 2016 löydetty $2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1$ . Molemmissa alkulukuparin luvuissa on 388 342 numeroa.^[9]

Alkulukuparien määrä

Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. Niiden lukumäärä onkin lukuteorian suurimpia ratkaisemattomia ongelmia. Alkulukupareille on kuitenkin olemassa samankaltainen laskufunktio kuin alkuluvuillekin, $\pi _{2}(n)$ , joka ilmaisee lukua n pienempien alkulukuparien määrän.

n	$\pi _{2}(n)$
$10^{2}$	8
$10^{3}$	35
$10^{4}$	205
$10^{5}$	1 224
$10^{6}$	8 169
$10^{7}$	58 980
$10^{8}$	440 312
$10^{9}$	3 424 506
$10^{10}$	27 412 679
$10^{11}$	224 376 048
$10^{12}$	1 870 585 220
$10^{13}$	15 834 664 872
$10^{14}$	135 780 321 665

Katso myös

Lähteet

↑ A014574 OEIS-tietokannassa
↑ Yitang Zhang (2014). "Bounded gaps between primes". Annals of Mathematics (2) 179: 1121-1174.
↑ First proof that infinitely many prime numbers come in pairs nature.com. 14. toukokuuta 2013. Viitattu 14.5.2013.
↑ Bounded_gaps_between_primes michaelnielsen.org. 19. huhtikuuta 2014. Viitattu 19.4.2014.
↑ http://www.math.sunysb.edu/~moira/mat331-spr10/papers/1949%20ClementCongruences%20for%20Sets%20of%20Primes.pdf
↑ M. Chaves, Twin Primes and a Primality Test by Indivisibility, http://arxiv.org/pdf/math/0211034v3
↑ http://www.math.snu.ac.kr/~mhkim/speech/speech_44.pdf
↑ Tomasz Bucher, http://tomasz.buchert.pl/files/math-one.pdf, Pro Gradu, Puola, 2011. s. 26-28
↑ www.primegrid.com

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.

[1] A014574 OEIS-tietokannassa

[2] Yitang Zhang (2014). "Bounded gaps between primes". Annals of Mathematics (2) 179: 1121-1174.

[3] First proof that infinitely many prime numbers come in pairs nature.com. 14. toukokuuta 2013. Viitattu 14.5.2013.

[4] Bounded_gaps_between_primes michaelnielsen.org. 19. huhtikuuta 2014. Viitattu 19.4.2014.

[5] ttp://www.math.sunysb.edu/~moira/mat331-spr10/papers/1949%20ClementCongruences%20for%20Sets%20of%20Primes.pdf

[6] M. Chaves, Twin Primes and a Primality Test by Indivisibility, http://arxiv.org/pdf/math/0211034v3

[7] ttp://www.math.snu.ac.kr/~mhkim/speech/speech_44.pdf

[8] Tomasz Bucher, http://tomasz.buchert.pl/files/math-one.pdf, Pro Gradu, Puola, 2011. s. 26-28

[9] www.primegrid.com

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

@@ Rivi 1: / Rivi 1: @@
-'''Alkulukupariksi''' eli '''alkulukukaksosiksi''' kutsutaan kahta [[alkuluku]]a, joiden [[erotus]] on 2. Ensimmäisiä alkulukupareja ovat (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) ja (29, 31). Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu.
+'''Alkulukupariksi''' eli '''alkulukukaksosiksi''' kutsutaan kahta [[alkuluku]]a, joiden [[erotus]] on 2. Kymmenen ensimmäistä alkulukuparia ovat (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103) ja (107, 109).<ref>{{OEIS|A014574}}</ref>
+Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. 14. toukokuuta 2013 Zhang Yitang [[New Hampshiren yliopisto]]sta julkaisi todistuksen<ref>{{cite journal | url = https://doi.org/10.4007/annals.2014.179.3.7 | author = Yitang Zhang | title = Bounded gaps between primes | journal = Annals of Mathematics (2) | volume = 179 | year = 2014 | number = 3 | pages = 1121-1174 }}</ref>, jonka mukaan on olemassa äärettömän monta alkulukua <math>p</math> ja <math>p+k</math>, missä <math>2\leq k<70000000.</math><ref>{{cite web | url = http://www.nature.com/news/first-proof-that-infinitely-many-prime-numbers-come-in-pairs-1.12989 | title = First proof that infinitely many prime numbers come in pairs | accessdate = 2013-05-14 | date = 14. toukokuuta 2013}}</ref> Myöhemmin <math>k</math>:n arvo on saatu pudotettua lukuun 246.<ref>{{cite web | url = http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes | title = Bounded_gaps_between_primes | accessdate = 2014-04-19 | date = 19. huhtikuuta 2014}}</ref>
-Kaikki alkulukuparit lukuun ottamatta paria (3, 5) ovat muotoa (6''n'' − 1, 6''n'' + 1), missä ''n'' on [[luonnollinen luku]], jonka täytyy päättyä lukuun 0, 2, 3, 5, 7 tai 8, lukuun ottamatta tapausta <var>n</var> = 1.
+Kaikki alkulukuparit lukuun ottamatta paria (3, 5) ovat muotoa (6''n'' − 1, 6''n'' + 1), jossa ''n'' on [[luonnollinen luku]], jonka täytyy päättyä numeroon 0, 2, 3, 5, 7 tai 8, lukuun ottamatta tapausta <var>n</var> = 1.
-Clementin lauseen mukaan [1] (''m'', ''m'' + 2) on alkulukupari, jos ja vain jos
+Clementin lauseen mukaan<ref>http://www.math.sunysb.edu/~moira/mat331-spr10/papers/1949%20ClementCongruences%20for%20Sets%20of%20Primes.pdf</ref> (''m'', ''m'' + 2) on alkulukupari, jos ja vain jos
 :<math>4((m-1)! + 1) = -m \mod (m(m+2)).</math>
-Lisäksi on todistettu seuraava lause [1]:
+Lisäksi on todistettu seuraava lause:<ref>M. Chaves, Twin Primes and a Primality Test by Indivisibility, http://arxiv.org/pdf/math/0211034v3</ref>
+:Olkoon <math>n\geq 3,n\ne 7</math>. Tällöin <math>n</math> ja <math>n+2</math> muodostavat alkulukuparin, jos ja vain jos <math>4(n-3)!+2+n</math> on jaollinen <math>n</math>:llä muttei <math>n+2</math>:lla.
+[[Sergusovin lause|Sergusovin lauseen]] mukaan <math>n</math> ja <math>n+2</math> ovat alkulukuja [[jos ja vain jos]]
+:<math>\phi(m) \sigma(m)=(m - 3)(m + 1)</math>, missä <math>m = n(n+2)</math> sekä funktio <math>\phi</math> [[Eulerin φ-funktio|Eulerin funktio]] ja <math>\sigma</math> luvun jakajien summan laskeva [[Sigma funktio]].<ref>http://www.math.snu.ac.kr/~mhkim/speech/speech_44.pdf</ref>{{selvennä|mitä fii ja sigma tarkoittavat}}<ref>
+Tomasz Bucher, http://tomasz.buchert.pl/files/math-one.pdf, Pro Gradu, Puola, 2011. s. 26-28</ref>
-Olkoon <math>n\geq 3,n\ne 7</math>. Tällöin <math>n</math> ja <math>n+2</math> muodostavat alkulukuparin, jos ja vain jos <math>4(n-3)!+2+n</math> on jaollinen <math>n</math>:llä muttei <math>n+2</math>:lla.
 == Suurin tunnettu alkulukupari ==
-Suurin tunnettu alkulukupari on [[6. elokuuta]] [[2009]] löydetty <math>65 516 468 355 \cdot 2^{333 333}\pm 1\,</math>. Molemmissa alkulukuparin luvuissa on 100&nbsp;355 numeroa.
+Suurin tunnettu alkulukupari on 14. syyskuuta 2016 löydetty <math>2996863034895 \cdot 2^{1290000}\pm 1</math>. Molemmissa alkulukuparin luvuissa on 388&nbsp;342 numeroa.<ref>[http://www.primegrid.com/ www.primegrid.com]</ref>
 == Alkulukuparien määrä ==
+[[Tiedosto:Anzahl Primzahl-Zwillingspaare.png|thumb|''n'':ää pienempien tai yhtä suurten alkulukuparien määrä]]
 Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. Niiden lukumäärä onkin [[lukuteoria]]n suurimpia ratkaisemattomia ongelmia. Alkulukupareille on kuitenkin olemassa samankaltainen laskufunktio kuin alkuluvuillekin, <math>\pi_2(n)</math>, joka ilmaisee lukua ''n'' pienempien alkulukuparien määrän.
-{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" align = "center"
+{| class="wikitable" style="text-align:right;"
+|-
+!''n''
+!<math>\pi_2 (n)</math>
 |-
-|<center>''n''
-|<center><math>\pi_2 (n)</math>
-|- align="right"
 |<math>10^2</math>
 |8
+|-
-|- align="right"
 |<math>10^3</math>
 |35
+|-
-|- align="right"
 |<math>10^4</math>
 |205
+|-
-|- align="right"
 |<math>10^5</math>
 |1&nbsp;224
+|-
-|- align="right"
 |<math>10^6</math>
 |8&nbsp;169
+|-
-|- align="right"
 |<math>10^7</math>
 |58&nbsp;980
+|-
-|- align="right"
 |<math>10^8</math>
 |440&nbsp;312
+|-
-|- align="right"
 |<math>10^9</math>
 |3&nbsp;424&nbsp;506
+|-
-|- align="right"
 |<math>10^{10}</math>
 |27&nbsp;412&nbsp;679
+|-
-|- align="right"
 |<math>10^{11}</math>
 |224&nbsp;376&nbsp;048
+|-
-|- align="right"
 |<math>10^{12}</math>
 |1&nbsp;870&nbsp;585&nbsp;220
+|-
-|- align="right"
 |<math>10^{13}</math>
 |15&nbsp;834&nbsp;664&nbsp;872
+|-
-|- align="right"
 |<math>10^{14}</math>
 |135&nbsp;780&nbsp;321&nbsp;665
 |}
+== Katso myös ==
-Viitteet:
-[1] M. Chaves, Twin Primes and a Primality Test by Indivisibilty
+* [[alkulukukolmikko]]
+* [[alkulukuserkku]]
+== Lähteet ==
+{{Viitteet}}
 {{tynkä/Matematiikka}}
-[[Luokka:Lukuteoria]]
 [[Luokka:Ratkaisemattomat matemaattiset ongelmat]]
+[[Luokka:Alkuluvut]]
-[[ar:حدسية التوأمين الأولية]]
-[[zh-min-nan:Siang-siⁿ sò͘-sò͘]]
-[[ca:Nombres primers bessons]]
-[[cs:Prvočíselná dvojice]]
-[[da:Primtalstvillinger]]
-[[de:Primzahlzwilling]]
-[[el:Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί]]
-[[en:Twin prime]]
-[[es:Números primos gemelos]]
-[[eo:Ĝemela primo]]
-[[fr:Nombres premiers jumeaux]]
-[[ko:쌍둥이 소수]]
-[[it:Numeri primi gemelli]]
-[[he:ראשוניים תאומים]]
-[[hu:Ikerprím]]
-[[mn:Ихэр анхны тоонууд]]
-[[nl:Priemtweeling]]
-[[ja:双子素数]]
-[[no:Tvillingprimtall]]
-[[nds:Primtalltweeschen]]
-[[pl:Liczby bliźniacze]]
-[[pt:Números primos gémeos]]
-[[ksh:Primzalzwilling]]
-[[ru:Простые числа-близнецы]]
-[[sl:Praštevilski dvojček]]
-[[sv:Primtalstvilling]]
-[[ta:இரட்டைப் பகாத்தனி]]
-[[tr:İkiz asallar sanısı]]
-[[uk:Прості числа-близнюки]]
-[[zh:孪生素数]]

Ero sivun ”Alkulukupari” versioiden välillä

Nykyinen versio 23. maaliskuuta 2024 kello 14.15

Sisällys

Suurin tunnettu alkulukupari

Alkulukuparien määrä

Katso myös

Lähteet

Navigointivalikko

Ero sivun ”Alkulukupari” versioiden välillä

Nykyinen versio 23. maaliskuuta 2024 kello 14.15

Suurin tunnettu alkulukupari

Alkulukuparien määrä

Katso myös

Lähteet

Navigointivalikko

Haku