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La loi bêta est la loi conjuguée de la loi binomiale. Ceci résulte d'un changement analytique d'une loi composée où le paramètre de la loi binomiale est aléatoire et donné par une loi bêta. Plus précisément, si
En utilisant les propriétés de la fonction bêta, ceci peut être écrit de la manière suivante :
Dans ce contexte, la loi bêta-binomiale apparaît souvent en inférence bayésienne : la loi bêta binomiale est la loi prédictive d'une variable aléatoire binomiale avec une probabilité de succès donnée par une loi bêta.
Loi bêta-binomiale dans un modèle d'urnes
La loi bêta-binomiale peut égelament être motivée par un modèle d'urnes pour des paramètres et entiers positifs. Plus précisément, on considère une urne contenant boules rouges et boules noires, on effectue alors des tirages aléatoires. Si une boule rouge est tirée, alors deux boules rouges sont replacées dans l'urne (elle-même plus une autre). De la même manière, si une boule noire est tirée, elle est remise avec une autre boule noire dans l'urne. Si on répète cette opération fois, alors la probabilité de tirer boules rouges suit une loi bêta-binomiale de paramètres et .
Il est à noter que si après les tirages on replace une unique boule, alors la loi est binomiale, et si les tirages sont effectués sans remise, alors la loi est hypergéométrique.
Si on pose , on remarque que la moyenne peut être écrite sous la forme et la variance par
où est la corrélation deux à deux entre les tirages de Bernoulli et est appelé le paramètre de sur-dispersion.
Estimations ponctuelles
Méthode des moments
L'estimation par la méthode des moments peut être obtenue par l'utilisation des premier et deuxième moments de la loi bêta-binomiale, c'est-à-dire
et en les considérant égaux aux moments empiriques
En résolvant en et en , on obtient
Maximum de vraisemblance
Alors que la méthode du maximum de vraisemblance est inutilisable, sachant que la densité de probabilité est la densité d'un couple de fonction (fonction gamma et/ou fonction bêta), elles peuvent être facilement calculée via une optimisation numérique directe. Les estimées du maximum de vraisemblance à partir des données empiriques peuvent être calculées en utilisant des méthodes générales adaptées aux lois de Pólya multinomiales décrites dans (Minka 2003).
Exemple
Les données suivantes donnent le nombre de garçons parmi les 12 premiers enfants de familles de 13 enfants, pour 6115 familles prises dans des données d’hôpital en Saxe au XIXe siècle (Sokal et Rohlf, p. 59 de Lindsey). Le 13e enfant est ignoré pour considérer le fait non aléatoire que des familles s'arrêtent quand elles obtiennent le genre attendu.
Garçons
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Familles
3
24
104
286
670
1 033
1 343
1 112
829
478
181
45
7
Les deux premiers moments empiriques sont
et ainsi les estimées par la méthode des moments sont
Les estimées par le maximum de vraisemblance peuvent être trouvées numériquement