« Torsion » : différence entre les versions

La '''torsion''' est le fait de vriller une pièce, comme lorsque l'on essore une serpillière — notons que dans le langage courant, «  tordre  » désigne plutôt ce que l'on appelle la [[flexion (matériau)|flexion]] en mécanique.

[[Fichier:Backstube aus dem 19. Jahrhundert.jpg|thumb|300pxvignette|Pétrin mécanisé ({{s-|XIX|e}}) : l'[[Arbre (mécanique)|arbre]], suspendu au plafond au-dessus de la porte, transmet l'effort entre le moteur (sous le plan de travail à gauche) et le pétrin à droite (transmisisontransmission par [[poulie]]s-[[courroie]]s).]]

[[Fichier:Ressort hélicoïdal de torsion.png|thumb|Ressort hélicoïdal de torsion.]]

* les [[ressort de torsion|ressorts de torsion]] : leur rôle est d'opposer un couple, un «  effort tournant  », c'est le cas par exemple du ressort de la [[pince à linge]] ; du point de vue de la matière, le fil de ce ressort se déforme en flexion ;

* les ressorts dont la matière est soumise à de la torsion : c'est le cas des ressorts de traction et des ressorts de compression ([[ressort hélicoïdal|ressorts hélicoïdaux]]).

[[Fichier:Skr-pr.JPG|thumb|[[moment de force|Moments de force]] résultant de l'action d'un couple de forces dans deux plans parallèles.]]

La torsion s'exprime sous la forme d'un moment de torsion M<submath>M_{t}</submath> agissant dans l'axe ''<math>x</math>'' de la poutre. Sous l'effet de la torsion, les sections transversales de la poutre ne restent généralement pas planes, on doit abandonner l'hypothèse de Bernoulli ; on dit qu'elles « gauchissent ». Lorsque leur gauchissement est libre, seules des contraintes tangentielles τ<math>\tau</math> apparaissent et la poutre n'est soumise qu'à de la torsion dite « uniforme » (ou « torsion de Saint-Venant »).

Lorsque leur gauchissement est empêché, par exemple par un encastrement en rotation, ou que le moment de torsion n'est pas constant, provoquant un gauchissement variable d'une section transversale à l'autre, des contraintes normales σ<math>\sigma</math> apparaissent en plus des contraintes de cisaillement et la barre est soumise à de la torsion « non uniforme ».

La torsion non uniforme est toujours accompagnée de la torsion uniforme. Le moment de torsion M<submath>M_{t}</submath> peut donc se décomposer en la somme

* d'une part uniforme M<submath>vM_{y}</submath> (générant de la contrainte tangentielle τ<math>\tau</math>) et

* d'une part non uniforme M<submath>M_{w}</submath> (générant de la contrainte normale σ<math>\sigma</math>).

[[Fichier:Angle torsion cylindre.svg|thumb|Déformation d'une génératrice et angle de torsion.]]

Considérons une poutre de longueur <math>L</math>, encastrée à une extrémité, l'autre extrémité étant libre. Traçons un rayon sur la section droite de l'extrémité libre ; en petites déformations, on suppose que ce rayon reste rectiligne, il tourne d'un angle α<math>\alpha</math>. On suppose que la déformation est homogène, l'angle autour duquel tourne une section droite quelconque dépend de manière linéaire de la distance à l'encastrement. On définit le taux de rotation, ou '''angle unitaire de torsion''' θ<math>\theta</math> par :

: θ<math>\theta = α\alpha/L ;</math>

θ<math>\theta</math> s'exprime en radian par mètre (rad/m).

Selon la [[Théorie des poutres|théorie d'Euler-Bernoulli]], si l'on reste en petites déformations, le moment de torsion M<submath>M_{t}</submath> crée des cissions (contraintes de cisaillement) τ<math>\tau</math> qui sont proportionnelles à la distance ''<math>r</math>'' par rapport à l'axe de torsion :

* M<submath>M_{t}</submath> est le moment de torsion ;

* I<submath>I_{G}</submath> est le moment quadratique de torsion, dépendant de la forme de la section (diamètre extérieur, et diamètre intérieur dans le cas d'un tube).

Considérons deux points d'une génératrice du cylindre, <math>A</math> et <math>B</math>, situés à une distance respective ''<math>x''</math> et ''<math>x'' + \mathrm{d''}x''</math> de la partie encastrée, et à une même distance ''<math>r''</math> de la fibre neutre (axe du cylindre). Avec la torsion, ils restent sur leur section droite respective (torsion uniforme) et se déplacent sur un cercle de centre <math>G</math> et de rayon ''<math>r''</math> ; ils deviennent respectivement <math>A'</math> et <math>B'</math>.

Le point <math>A</math> tourne d'un angle θ×''<math>\theta\times x''</math>, donc se déplace sur un arc de longueur ''u''<submath>u_{A</sub>} = θ×''\theta\times x''×''\times r''</math>. De même, le point <math>B</math> se déplace d'une quantité ''u''<submath>u_{B</sub>} = θ×\theta\times (''x'' + \mathrm{d''}x'')×''\times r''</math>. La déformation vaut donc

la quantité G×θ<math>G\times\theta</math> étant à déterminer. Un petit [[élément de surface]] dS<math>\mathrm{d}S</math> autour de <math>A</math> reçoit une force dF<math>\mathrm{d}\vec{\mathrm{F}}</math> valant

où <math>\vec({t)}</math> est le vecteur tangent au cercle de déplacement.

Le moment dM<math>\mathrm{d}\vec{M}</math> de cette force par rapport au point <math>G (0,0,0)</math> appartenant donc à la ligne moyenne vaut :

où ''<math>v</math>'' est le rayon extérieur de la pièce (<math>D/2</math>). La quantité <math>C = (I<sub>I_{G<}/sub>/''v''&thinsp;)</math> est appelée module de torsion.

| Nm{{nb|N m}} || Nm{{nb|N m}} || Nmm{{nb|N mm}}

[[Fichier:Twisted bar.png|thumb|Torsion d'une barre de section carrée.]]

[[Fichier:Torsion section rectangulaire pleine axes eurocode 3.svg|thumb|Contrainte sur les axes ''y'' et ''z''.]]

: τ<submath>\tau_{max</sub>} = τ<sub>''\tau_{z''}</submath>.

: τ<submath>''\tau_{y''</sub>} = η×τ_{''\eta\times\tau_{z''}} = η×τ<sub>\eta\times\tau_{max}</submath>.

Les coefficients ''k''<submath>k_{1}</submath>, ''k''<submath>k_{2}</submath> et η<math>\eta</math> dépendent du rapport ''<math>h''/''b''</math> et sont donnés dans la table ci-dessous.

|+ Coefficients de la torsion d'une section rectangulaire<ref> {{ouvrage

| nom1 = Fanchon || prénom1 = Jean-Louis

}} </ref>{{,}}<ref> {{lire en ligne

| langue = fr

}} </ref>

! ''<math>h''/''b''</math>

! 1 !! 1,2 !! 1,5 !! 1,75 !! 2 !! 2,5 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 8 !! 10 !! <math>\infty</math>

! ''k''<submath>k_{1}</submath>

| 0,208 || 0,216 || 0,231 || 0,239 || 0,246 || 0,258 || 0,267 || 0,282 || 0,291 || 0,299 || 0,307 || 0,313 || 1/3

! ''k''<submath>k_{2}</submath>

| 1 || || 0,859 || 0,820 || 0,795 || 0,766 ||0,753 || 0,745 || || 0,743 || 0,742 || 0,742 || 0,742

Considérons un tube à paroi mince, la forme de la section étant quelconque mais fermée. L'équilibre d'un élément donne tout de suite que le produit de la contrainte moyenne (sur la ligne médiane) par l'épaisseur, {{formule|τ×''<math>\tau\times e''}}</math>, est uniforme. On a :

où <math>A</math> est l'aire comprise à l'intérieur de la ligne moyenne. Comme la paroi est mince, on peut considérer par approximation que la contrainte maximale est égale à la contrainte moyenne.

| auteur1 = [[Éric Davalle]]