Sinus hyperbolique réciproque

Le sinus hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Courbe représentative de la fonction arsinh.

Définition

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La fonction sinus hyperbolique réciproque, ou argument sinus hyperbolique[1], notée arsinh[2] (ou argsh),

 

est définie à l'aide du sinus hyperbolique par :

 .

Propriétés

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Cette fonction est bijective et son image est  . Elle est continue, impaire, strictement croissante, convexe sur   et concave sur  .

Sa valeur en 0 est 0 et sa limite en +∞ est +∞.

Elle est dérivable sur   et sa dérivée est donnée par :

 .

Par conséquent[3], la fonction arsinh s'exprime à l'aide du logarithme népérien par :

 .

Sinus hyperbolique réciproque complexe

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Lien externe

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(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Hyperbolic Sine », sur MathWorld

Notes et références

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  1. Daniel Guinin et Bernard Joppin, Analyse MPSI, Bréal, (lire en ligne), p. 26.
  2. Notation recommandée par la norme ISO/CEI 80000-2.
  3. Pour une preuve plus directe, voir par exemple Argument sinus hyperbolique sur Wikiversité.