Conjecture de Singmaster

La conjecture de Singmaster, nommée ainsi en l'honneur de David Singmaster, affirme qu'il y a un majorant fini des multiplicités des termes du triangle de Pascal (autres que 1 qui apparaît un nombre infini de fois), à savoir le nombre de fois où un terme apparaît dans le triangle. Paul Erdős a dit que la conjecture de Singmaster était probablement vraie mais qu'elle serait très difficile à démontrer.

Conjecture et résultats connus

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Il est clair que le seul nombre qui apparaît une infinité de fois dans le triangle de Pascal est 1 car tout autre nombre x ne peut apparaître que dans les x + 1 premières lignes du triangle.

Soit N(a) le nombre de fois où le nombre a > 1 apparaît dans le triangle de Pascal. En notation « grand O de », la conjecture affirme que :

 

Singmaster a montré[1] que

 

Abbot, Erdős, et Hanson[2] affinèrent l'estimation. La meilleure limite actuelle, due à Daniel Kane[3], est

 

Singmaster a montré[4] que l'équation diophantienne

 

a une infinité de solutions (m, j). Il s'ensuit qu'il y a une infinité de termes de multiplicité au moins 6. Les solutions sont données par[5]

 

≥ 2 et Fn est le n-ième nombre de Fibonacci (indicé selon la convention suivante : F1 = F2 = 1).

Exemples numériques

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  • 2 apparaît une seule fois ; tout nombre plus grand apparaît plus d'une fois.
  • 4, ainsi que tout nombre premier différent de 2, apparaît 2 fois.
  • 6 apparaît 3 fois.
  • Beaucoup de nombres apparaissent 4 fois.
  • On ne sait pas s'il existe des nombres apparaissant 5 fois.
  • Les sept nombres suivants apparaissent 6 fois :
 


 


 


 


 


 
 
qui correspond à = 3 dans la suite de Singmaster.
  • Parmi les autres nombres apparaissant au moins 7 fois, le plus petit est le précédent dans la suite de Singmaster ( = 2). Il apparaît 8 fois : On ne sait pas s'il existe d'autres nombres apparaissant au moins 7 fois.

Voir aussi

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Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Singmaster's conjecture » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) D. Singmaster, « Research Problems: How often does an integer occur as a binomial coefficient? », Amer. Math. Monthly, vol. 78, no 4,‎ , p. 385–386.
  2. (en) H. L. Abbott, Paul Erdős et D. Hanson, « On the number of times an integer occurs as a binomial coefficient », Amer. Math. Monthly, vol. 81, no 3,‎ , p. 256–261 (DOI 10.2307/2319526).
  3. (en) Daniel M. Kane, « Improved bounds on the number of ways of expressing t as a binomial coefficient », Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, vol. 7,‎ , #A53 (lire en ligne).
  4. (en) D. Singmaster, « Repeated binomial coefficients and Fibonacci numbers », Fibonacci Quarterly, vol. 13, no 4,‎ , p. 295-298 (lire en ligne).
  5. Voir (en) Eric W. Weisstein, « Pascal's Triangle », sur MathWorld et suite A003015 de l'OEIS.

Liens externes

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