« Discussion:Constante limite de Laplace » : différence entre les versions

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Lien entre la constante limite-de-Laplace L = A 033259 et a = A085984 := 1.199 678...

--Guerinsylvie (discuter) 17 mars 2019 à 17:26 (CET) : Juste pour préciser ce qui est indiqué dans l'article :[répondre]

L = max t/ch(t) pour une valeur de t égale à a ,

soit après un petit calcul,

$L={\frac {a}{ch(a)}}={\frac {1}{sh(a)}}$

donc

$L={\frac {a}{ch(a)}}={\frac {1}{sh(a)}}={\frac {a+1}{exp(a)}}=(a+1)e^{-a}$

et aussi

$L^{2}={\frac {a^{2}}{ch^{2}(a)}}={\frac {1}{sh^{2}(a)}}={\frac {a^{2}-1}{1}}=a^{2}-1$

donc au total,

$L=(a+1)e^{-a}=(a-1)e^{a}=ach(a)-sh(a)={\frac {a}{ch(a)}}={\frac {1}{sh(a)}}$

[et bien sûr, en passant au gudermannien, $sh(a)=tan(\alpha )$ ,(ou bien $L=1/sh(a)=tan(\beta )$ ), on aura alpha = 56° 28' = 0.9855 rd ; ainsi que son complémentaire beta ~33°33'~0.5853 rd]

Bien sûr, d'autres fois , on trouvera $1/L=1.50888...={\frac {ch(a)}{a}}=...$ et $1/a=0.833557...$ ; et $L/a=0.552434$ ; $a/L=1.801170$

Cette ubiquitous value de L ( donc de a ) la rend courante dans d'autres situations. Un des exemples est : en capillarité ( tension superficielle ) , dans l'expérience de la caténoïde , la distance maximale d entre anneaux de diamètre D est telle que d/D = L ( cf Mathworld capillarité ), le rayon de gorge du waist = (L/a)R = 0.552.R , ce qui permet de construire la figure du diabolo de Laplace-Plateau, AA'BB' , les diagonales AB' et BA' étant tangentes à la méridienne de la caténoïde , as usual.

Je ne vois pas ce que la règle de L'Hôpital vient faire dans une recherche d'extremum.

{\frac {t}{\cosh t}}

atteint son max,

L={\frac {a}{\cosh a}}

, pour

\cosh a=a\sinh a

, donc (évidemment)

L={\frac {1}{\sinh a}}

, etc.

Anne, 21 h 40

--Guerinsylvie (discuter) 25 juillet 2019 à 16:54 (CEST)Bonjour Anne, I agree with you ; je ne sais comment appeler cette astuce de term-S : au point a du maximum L, f'/g' = f/ g = L_max ( en fait on dérive logarithmiquement f'/f - g'/g , et puis on ré-agence les termes, on appelait cela "astuce de L'Hopital") ( mais je m'en fous ). Soit! Votre calcul est moins compact ; mais ok, c'est tellement simple.[répondre]

@@ Ligne 27 : / Ligne 27 : @@
 <math>L = (a+1)e^{-a}  = (a-1)e^a = a ch(a) - sh(a) = \frac{a}{ch(a)} = \frac {1}{sh(a) } </math>
-et bien sûr, en passant au gudermannien, <math> sh(a) = tan(\phi)</math>, on aura
+[et bien sûr, en passant au gudermannien, <math> sh(a) = tan(\alpha)</math>,(ou bien <math> L = 1/sh(a) = tan(\beta)</math>), on aura alpha = 56° 28' = 0.9855 rd ; ainsi que son complémentaire beta ~33°33'~0.5853 rd]
-<math> L = cotan(\phi) = 1/cos(\phi)*( argtanh(sin(\phi)) -sin(\phi) ) </math> , avec phi = 56° 28', as usual, après qq calcul.
 Bien sûr, d'autres fois , on trouvera