« Boulet de Mersenne » : différence entre les versions

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Le problème du boulet de Mersenne est un problème de mécanique classique énoncé par Marin Mersenne en 1634. Il consiste à considérer un boulet de canon lancé verticalement et à déterminer l'endroit où il retombera. Si l'on néglige le pivotement de la Terre, la réponse est immédiate : il retombe dans le fût du canon. Si l'on en tient compte,le boulet retombe à l'ouest de sa position initiale. L'expérience correspondant à ce problème constitue donc simultanément un test de la mécanique newtonienne et de l'existence de la rotation de la Terre, à l'instar du problème très similaire de la déviation vers l'est ou du pendule de Foucault.

Solution

Préliminaire: retombera-t-il?

Une première approximation consiste à dire que le boulet s'élèvera jusqu'à une hauteur

h={\frac {V_{0}^{2}}{2g}}

puis retombera (Utiliser la conservation de l'énergie).

Mais, comme g(z) diminue avec l'altitude z, le boulet monte en réalité jusqu'à une hauteur H > h telle que

{\frac {1}{H}}={\frac {1}{h}}-{\frac {1}{R}}

.

Si maintenant, on prend h = R , cela donne $V_{0}=11,2$ km/s qui correspond à la vitesse de libération et le boulet s'éloigne pour toujours.

Réponse approchée

Soit D₀ la déviation vers l'est si le boulet était lâché de la hauteur h. On a vu (formule de la déviation vers l'est) qu'à l'équateur

D_{0}=+{\frac {2}{3}}.\omega .T_{0}.h

.

S'il monte à la hauteur h , il est dévié vers l'ouest de -2D₀ , et à la descente de -2D₀ ; soit au total -4D₀.

Démonstration :

On considère que V₀ n'est pas trop grand, donnant H voisin de h (soit ~50 m) et donc que le mouvement est uniformément accéléré. La petite déviation que l'on attend (voir article sur la déviation vers l'Est) est-elle vers l'ouest, l'est ou nulle ? Ainsi est sollicitée l'intuition de l'étudiant, le canon étant placé à l'équateur et « dans le vide ».

La réponse évidente est vers l'ouest , si on pense au raisonnement de la loi des aires ( voir l'article sur la formule de la déviation vers l'est). Plus précisément , la déviation équatoriale théorique est D = - 4D₀ (donc vers l'Ouest). En voici la démonstration:

On a déjà vu la formule de la déviation. Il faut juste la modifier légèrement à cause de la vitesse initiale V₀. Quelques lignes de calcul donnent :

{\vec {D}}(t)=-2\omega {\vec {k}}\wedge \int _{0}^{t}{\vec {OM}}dt

avec ${\vec {OM}}(t)=({\frac {1}{2}}g.t^{2}-V_{0}t){\vec {u}}+{\vec {D}}(t)$

que l'on peut approcher par

({\frac {1}{2}}g.t^{2}-V_{0}t){\vec {u}}

Ce qui donne après intégration sur l'intervalle [0 ; 2T₀] (temps de la montée puis de la descente), un D total de

D=-{\frac {8}{3}}\omega .T_{0}.h=-4D_{0}

avec

$T_{0}={\frac {V_{0}}{g}}$ (temps de la montée)
$h={\frac {1}{2}}gT_{0}^{2}$

Commentaire

Cette déviation se décompose en D = D₁ + D₂.

À la montée, D₁ est vers l'ouest, et, à la descente, D₂= D₁ ! c’est-à-dire vers l'ouest et de la même quantité. Souvent l'intuition est déroutée!

Voici la rééducation de cette intuition : dans le référentiel absolu, à la montée le boulet prend du retard par rapport au sol, soit D₁, vers l'ouest. Dans la deuxième partie du mouvement, la descente, comme cela est déjà su de Newton en 1679, tout est symétrique : même raisonnement : le boulet continue à prendre le même retard : D₁=D₂=D/2 .

Alors où est l'erreur dans le raisonnement dans le référentiel tournant ? Et pourquoi ce 2 : D₁ = -2D₀?

Erreur fréquente

En effet une intuition erronée serait celle-ci : quand le boulet redescendra , il subira la déviation vers l'est, soit D₀. Réciproquement, quand il est monté, il a subi ( même vitesse donc même force de Coriolis en module) la même déviation mais vers l'ouest : au total aucune déviation.

Or quand le boulet monte, D₁= - 2D₀ ! C'est ce que donne le calcul.

Ce facteur 2 n'est contre-intuitif que par manque d'attention. Car le raisonnement dans le référentiel « absolu » était : il fallait intégrer h - z, pour trouver l'angle polaire relatif, $\theta -\omega T_{0}$ . Ici, il faut intégrer z , pour trouver D₁. D'où le facteur 2 (Remarque : ce facteur 2 a une histoire célèbre: voir article quadrature de la parabole, par Archimède).

Et une fois là-haut, le boulet a une vitesse relative négative par rapport au sol : il est « lancé » horizontalement vers l'ouest avec la vitesse 2 $\omega$ h. D'où une déviation vers l'ouest 2 $\omega$ hT₀ = -3D₀ ET(problème linéaire,donc on ajoute...(#note1)) la force de Coriolis contre-balancera de + D₀ vers l'est ; et donc D₂ est bien vers l'ouest et égal à - 2D₀:

au total, D = - 4D₀ ; voilà le pseudo-paradoxe résolu.

Pour h = 50 m, rappelons que les déviations sont de quelques millimètres, et que la trajectoire absolue est de quelques kilomètres !

note1

Attention ! Piège! Ce raisonnement donne le résultat juste , mais le ET est FAUX, donc le raisonnement est FAUX. Néanmoins, quelques instants de réflexion permettent de rétablir une rédaction correcte avec un raisonnement EXACT; cette rectification de raisonnement assez adroite est laissée au plaisir du lecteur.

Historique

Le père minime Marin Mersenne jouait vers 1630-1648 le rôle qu'aura la future Académie des Sciences (créée par Colbert en 1666) : il rediffusait en les commentant tous les papiers scientifiques qu'on lui remettait. Une fameuse controverse au sujet de la chute d'un boulet depuis le mât d'un navire enflamma la France vers 1638 : Galilée disait qu'il tomberait au pied du mât ; Pierre Gassendi fit réaliser l'expérience sur une galère dans le port de Marseille, ce qui corrobora la position de Galilée. Mersenne possédait le don fabuleux de poser les bonnes questions pseudo-naïves : il suggéra le questionnement suivant, appelé depuis : le problème du boulet de Mersenne

Soit un boulet tiré verticalement. Retombera-t-il dans le fût du canon ?

La réponse est : Non. Le boulet retombe à l'Ouest.

L'expérience fut faite: on ne retrouva jamais les boulets ...!

Eppur si mueve ?

Mersenne n'y allait pas de main morte : 3 heures de montée et 3 heures de descente pour que la Terre eût tourné de 90°. Bien sûr à l'époque , soit on était anti-Copernicien et le boulet retombait à l'Ouest de 90°; soit on suivait l'argument de Galilée, et le mouvement de pivotement uniforme de la Terre était « comme rien », et le boulet retombait dans le fût du canon.

Peu de gens ont évoqué que rotation uniforme n'était pas translation uniforme. Galilée reste peu assuré et prudent sur cette distinction dans les Discorso de 1638. Encore aujourd'hui, c'est une question pour les historiens des sciences : Galilée croyait-il à une "inertie circulaire"? Évidemment la référence à la déviation vers l'Est aurait ennuyé Galilée dans son argumentation. Même s'il avait saisi la difficulté, peut-être a-t-il préféré la taire.

En tout cas, le problème d'un missile balistique tel que celui de Mersenne (6 heures de vol) n'est plus du ressort de la "petite" déviation. Il faudrait prendre la vraie trajectoire elliptique de Kepler et refaire tous les calculs.Ce qui est certain est que de Kourou, on lance les missiles vers l'Est pour "profiter" du pivotement de la Terre.

Voir aussi

Article connexe

la grosse Bertha

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 {{à recycler}}
-Le problème du '''boulet de Mersenne''' est un problème de [[mécanique classique]] énoncé par [[Marin Mersenne]] vers 1640. Il consiste à considérer un boulet de canon lancé verticalement et à déterminer l'endroit où il retombera. Si l'on néglige le pivotement de la Terre, la réponse est immédiate : il retombe dans le fût du canon. Si l'on en tient compte, on constate que le boulet retombe à l'ouest de sa position initiale. L'expérience correspondant à ce problème constitue donc simultanément un test de la mécanique newtonienne et de l'existence de la rotation de la Terre, à l'instar du problème très similaire de la [[déviation vers l'est]] ou du [[pendule de Foucault]].
+Le problème du '''boulet de Mersenne''' est un problème de [[mécanique classique]] énoncé par [[Marin Mersenne]] en 1634. Il consiste à considérer un boulet de canon lancé verticalement et à déterminer l'endroit où il retombera. Si l'on néglige le pivotement de la Terre, la réponse est immédiate : il retombe dans le fût du canon. Si l'on en tient compte,'''le boulet retombe à l'ouest''' de sa position initiale. L'expérience correspondant à ce problème constitue donc simultanément un test de la mécanique newtonienne et de l'existence de la rotation de la Terre, à l'instar du problème très similaire de la [[déviation vers l'est]] ou du [[pendule de Foucault]].
 == Solution ==
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 Si maintenant, on prend  ''h'' = ''R'' , cela donne <math>V_0 =11,2</math>&nbsp;km/s qui correspond à la [[vitesse de libération]] et le boulet s'éloigne pour toujours.
-=== Solution approchée ===
+=== Réponse approchée ===
 Soit ''D''<sub>0</sub> la déviation vers l'est si le boulet était lâché de la hauteur h. On a vu ([[Formule de la déviation vers l'est|formule de la déviation vers l'est]]) qu'à l'équateur
 :<math>D_0= +\frac{2}{3}. \omega.T_0.h </math>.
+S'il monte à la hauteur h , il est dévié vers l'ouest de -2''D''<sub>0</sub> , et à la descente de -2''D''<sub>0</sub> ; soit au total -4''D''<sub>0</sub>.
+Démonstration :
 On considère que  ''V''<sub>0</sub> n'est pas trop grand, donnant ''H'' voisin de ''h '' (soit ~50 m) et donc que le mouvement est uniformément accéléré. La petite déviation que l'on attend  (voir article sur la [[déviation vers l'Est]]) est-elle vers l'ouest, l'est ou nulle ? Ainsi est sollicitée l'intuition de l'étudiant, le canon étant placé à l'équateur et « dans le vide ».
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 :<math>\vec{D}(t) = - 2\omega\vec{k}\wedge\int_0^t\vec{OM}dt </math>
-avec <math> \vec{OM}(t)=\frac{1}{2}g.t^2 - V_0t)\vec{u}+ D(t)</math>
+avec <math> \vec{OM}(t)= (\frac{1}{2}g.t^2 - V_0t)\vec{u}+ \vec{D}(t)</math>
 que l'on peut approcher par
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 Cette déviation se décompose en ''D'' = ''D''<sub>1</sub> + ''D''<sub>2</sub>.
-À la montée, ''D''<sub>1</sub> est vers l'ouest, et, à la descente, ''D''<sub>2</sub>= ''D''<sub>1</sub> ! c’est-à-dire vers l'ouest et de la même quantité. Bigre, voilà peut-être l'intuition déroutée!
+À la montée, ''D''<sub>1</sub> est vers l'ouest, et, à la descente, ''D''<sub>2</sub>= ''D''<sub>1</sub> ! c’est-à-dire vers l'ouest et de la même quantité. Souvent  l'intuition est déroutée!
 Voici la rééducation de cette intuition : dans le référentiel absolu, à la montée le boulet prend du retard par rapport au sol, soit ''D''<sub>1</sub>, vers l'ouest. Dans la deuxième partie du mouvement, la descente, comme cela est déjà su de [[Isaac Newton|Newton]] en 1679, '''tout est symétrique''' : même raisonnement : le boulet continue à prendre le même retard : ''D''<sub>1</sub>=''D''<sub>2</sub>=''D''/2 .
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 Or quand le boulet monte, ''D''<sub>1</sub>= - 2''D''<sub>0</sub> ! C'est ce que donne le calcul.
-Ce facteur 2 n'est contre-intuitif que par manque d'attention. Car le raisonnement dans le référentiel « absolu » était : il fallait intégrer ''h'' - ''z'', pour trouver l'angle polaire relatif, <math>\theta -\omega T_0</math>. Ici, il faut intégrer ''z'' , pour trouver ''D''<sub>1</sub>. D'où le facteur 2 (ce facteur 2 a une histoire célèbre: voir article [[quadrature de la parabole]], par Archimède).
+Ce facteur 2 n'est contre-intuitif que par manque d'attention. Car le raisonnement dans le référentiel « absolu » était : il fallait intégrer ''h'' - ''z'', pour trouver l'angle polaire relatif, <math>\theta -\omega T_0</math>. Ici, il faut intégrer ''z'' , pour trouver ''D''<sub>1</sub>. D'où le facteur 2 (Remarque : ce facteur 2 a une histoire célèbre: voir article [[quadrature de la parabole]], par Archimède).
 Et une fois là-haut, le boulet a une vitesse relative négative par rapport au sol : il est « lancé  » horizontalement vers l'ouest avec la vitesse 2<math>\omega</math>''h''. D'où une déviation vers l'ouest 2<math>\omega</math>''hT''<sub>0</sub> = -3''D''<sub>0</sub> '''ET'''(problème linéaire,donc on ajoute...([[#note1]])) la force de Coriolis  contre-balancera de + ''D''<sub>0</sub> '''vers''' '''l'est''' ; et donc ''D''<sub>2</sub> est bien vers l'ouest et égal à - 2''D''<sub>0</sub>:
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 ===note1===
-Attention ! Piège! Ce raisonnement donne le résultat juste , mais le '''ET''' est FAUX, donc le raisonnement est FAUX. Néanmoins, quelques instants de réflexion permettent de rétablir une rédaction correcte avec un raisonnement EXACT; cette rectification adroite est laissée au lecteur.
+Attention ! Piège! Ce raisonnement donne le résultat juste , mais le '''ET''' est FAUX, donc le raisonnement est FAUX. Néanmoins, quelques instants de réflexion permettent de rétablir une rédaction correcte avec un raisonnement EXACT; cette rectification de raisonnement assez adroite est laissée au plaisir du lecteur.
 == Historique ==
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 La réponse est : Non. Le boulet retombe à l'Ouest.
-L'expérience fut faite: on ne retrouva jamais les boulets ...
+L'expérience fut faite: on ne retrouva jamais les boulets ...!
 === Eppur si mueve ? ===
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 Mersenne n'y allait pas de main morte : 3 heures de montée et 3 heures de descente pour que la Terre eût tourné de 90°. Bien sûr à l'époque , soit on était anti-Copernicien et le boulet retombait à l'Ouest de 90°; soit on suivait l'argument de Galilée, et le mouvement de pivotement uniforme de la Terre était « comme rien », et le boulet retombait dans le fût du canon.
-Peu de gens ont évoqué que rotation uniforme '''n'était pas''' translation uniforme. Galilée reste peu assuré et prudent sur cette distinction dans les Discorso de 1638. Encore aujourd'hui, c'est une question pour les historiens des sciences : Galilée croyait-il à une "inertie circulaire"? Évidemment la référence à la [[déviation vers l'Est]] aurait ennuyé Galilée dans son argumentation. Même s'il avait saisi la difficulté, peut-être a-t-il préféré l'omerta.
+Peu de gens ont évoqué que rotation uniforme '''n'était pas''' translation uniforme. Galilée reste peu assuré et prudent sur cette distinction dans les Discorso de 1638. Encore aujourd'hui, c'est une question pour les historiens des sciences : Galilée croyait-il à une "inertie circulaire"? Évidemment la référence à la [[déviation vers l'Est]] aurait ennuyé Galilée dans son argumentation. Même s'il avait saisi la difficulté, peut-être a-t-il préféré la taire.
-En tout cas, le problème d'un missile balistique tel que celui de Mersenne (6 heures de vol) n'est plus du ressort de la "petite" déviation. Il faudrait prendre la vraie trajectoire elliptique de Kepler et refaire tous les calculs.
+En tout cas, le problème d'un missile balistique tel que celui de Mersenne (6 heures de vol) n'est plus du ressort de la "petite" déviation. Il faudrait prendre la vraie trajectoire elliptique de Kepler et refaire tous les calculs.Ce qui est certain est que de Kourou, on lance les missiles vers l'Est pour "profiter" du pivotement de la Terre.
 ==Voir aussi==
 *[[déviation vers l'est]]
 *[[force de Coriolis]]
+*[[Marin Mersenne]]
 ===Article connexe===
 *la [[grosse Bertha]]
 [[Catégorie:Mécanique classique]]