« Théorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz) » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique

Contenu supprimé Contenu ajouté

Intégrés

Dernière version du 10 octobre 2023 à 18:40

En mathématiques, plus précisément en analyse fonctionnelle, le théorème de représentation de Riesz, en l'honneur du mathématicien Frigyes Riesz, est un théorème qui représente les éléments du dual d'un espace de Hilbert comme produit scalaire par un vecteur de l'espace.

Ce théorème est aussi parfois appelé théorème de Fréchet-Riesz (à ne pas confondre avec le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov). Il s'apparente singulièrement au théorème de Lax-Milgram qui englobe l'énoncé ci-dessous. Pour tout vecteur $y$ d'un espace de Hilbert $H$ , la forme linéaire qui à $x$ associe $⟨ y, x ⟩$ est continue sur $H$ (sa norme est égale à celle de $y$ , d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz). Le théorème de Riesz énonce la réciproque : toute forme linéaire continue sur $H$ s'obtient de cette façon^[1].

Énoncé

Soient :

$H$ un espace de Hilbert (réel ou complexe)^[2] muni de son produit scalaire noté ⟨∙, ∙⟩ ;
$f \in H'$ une forme linéaire continue sur $H$ .

Alors il existe un unique $y$ dans $H$ tel que pour tout $x$ de $H$ on ait $f (x) = ⟨ y, x ⟩$ .

\exists \,!\ y\in H\,,\quad \forall x\in H\,,\quad f(x)=\langle y,x\rangle

Démonstration

On sait déjà — comme rappelé en introduction et démontré dans le § « Structure du dual » de l'article sur les espaces préhilbertiens — que l'application R-linéaire (semi-linéaire dans le cas complexe)

H\to H',\quad y\mapsto \langle y,\cdot \rangle

est injective (et même isométrique). Cette injectivité se traduit par l'unicité de $y$ pour tout $f$ .

On peut remarquer que si $H$ est de dimension finie, la surjectivité — c'est-à-dire l'existence de $y$ pour tout $f$ — s'en déduit, puisque l'espace dual $H'$ est alors de même dimension sur R que $H$ .

Démontrons à présent l'existence de $y$ , sans hypothèse de dimension.

Si $f$ est la forme nulle, il suffit de choisir $y = 0$ .

Supposons que $f$ n'est pas identiquement nulle. Son noyau $ker f$ est alors un hyperplan, or il est fermé (par continuité de $f$ ). D'après le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert, l'orthogonal de cet hyperplan est donc une droite vectorielle qui lui est supplémentaire. Soit $b$ un vecteur de cette droite tel que $f (b) = 1$ . Pour $y = b /‖ b ‖$ ², les deux formes linéaires $f$ et $⟨ y, ∙⟩$ coïncident non seulement sur $ker f = b ⊥$ mais aussi en $b$ , donc partout.

Extension aux formes bilinéaires

Article détaillé : Forme bilinéaire continue.

Si $a$ est une forme bilinéaire continue sur un espace de Hilbert réel $H$ (ou une forme sesquilinéaire complexe continue sur un Hilbert complexe), alors il existe une unique application $A$ de $H$ dans $H$ telle que, pour tout $(u, v) \in H \times H$ , on ait $a (u, v) = ⟨ Au, v ⟩$ . De plus, $A$ est linéaire et continue, de norme égale à celle de $a$ .

\exists !\,A\in {\mathcal {L}}(H),\ \forall (u,v)\in H\times H,\ a(u,v)=\langle Au,v\rangle .

Cela résulte immédiatement de l'isomorphisme canonique (isométrique) entre l'espace normé des formes bilinéaires continues sur $H \times H$ et celui des applications linéaires continues de $H$ dans son dual, et de l'isomorphisme ci-dessus entre ce dual et $H$ lui-même.

Notes et références

↑ Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions] p. 77.
↑ Dans le cas complexe, deux conventions coexistent (voir l'article Forme sesquilinéaire complexe) : produit scalaire $⟨ v, w ⟩$ linéaire par rapport à $v$ et semi-linéaire par rapport à $w$ , comme dans les articles Espace préhilbertien et Espace de Hilbert, ou l'inverse, comme ici et dans l'article Dual topologique. Les formules sont à adapter en fonction de la convention choisie.

Portail de l'analyse

[1] Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions] p. 77.

[2] Dans le cas complexe, deux conventions coexistent (voir l'article Forme sesquilinéaire complexe) : produit scalaire $⟨ v, w ⟩$ linéaire par rapport à $v$ et semi-linéaire par rapport à $w$ , comme dans les articles Espace préhilbertien et Espace de Hilbert, ou l'inverse, comme ici et dans l'article Dual topologique. Les formules sont à adapter en fonction de la convention choisie.

[1]

[2]

@@ Ligne 1 : / Ligne 1 : @@
 {{Homon|Théorème de Riesz}}
-Il existe en [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] plusieurs théorèmes nommés '''théorème de représentation de Riesz''', en l'honneur du mathématicien [[Frigyes Riesz]].
+En [[mathématiques]], plus précisément en [[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], le '''théorème de représentation de Riesz''', en l'honneur du mathématicien [[Frigyes Riesz]], est un [[théorème]] qui représente les éléments du [[dual topologique|dual]] d'un [[espace de Hilbert]] comme [[produit scalaire]] par un vecteur de l'espace.
+Ce théorème est aussi parfois appelé '''théorème de [[Maurice René Fréchet|Fréchet]]-Riesz''' (à ne pas confondre avec le [[théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov]]). Il s'apparente singulièrement au [[théorème de Lax-Milgram]] qui englobe l'énoncé ci-dessous. Pour tout vecteur {{formule|''y''}} d'un espace de Hilbert {{formule|''H''}}, la [[forme linéaire]] qui à {{formule|''x''}} associe {{math|⟨''y'', ''x''⟩}} est [[continue]] sur {{formule|''H''}} (sa norme est égale à celle de {{formule|''y''}}, d'après l'[[inégalité de Cauchy-Schwarz]]). Le théorème de Riesz énonce la réciproque : toute forme linéaire continue sur {{formule|''H''}} s'obtient de cette façon<ref>{{Rudin}} p. 77.</ref>.
-==Le théorème de représentation de Riesz dans les espaces de Hilbert==
+== Énoncé ==
-Ce théorème est aussi parfois appelé '''théorème de [[Maurice René Fréchet|Fréchet]]-Riesz''' (à ne pas confondre avec le [[théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov]]). Il s'apparente singulièrement au [[théorème de Lax-Milgram]] qui englobe l'énoncé ci-dessous. Pour tout vecteur ''y'' d'un espace de Hilbert ''H'', la forme linéaire qui à ''x'' associe <''y'',''x''> est continue sur ''H'' (sa norme est égale à celle de ''y'', d'après l'[[inégalité de Cauchy-Schwarz]]). Le théorème de Riesz énonce la réciproque : toute forme linéaire continue sur ''H'' s'obtient de cette façon<ref>{{Rudin}} p. 77</ref>.
-=== Énoncé ===
 Soient :
-*<math>H</math> un [[espace de Hilbert]] (réel ou complexe)<ref>Dans le cas complexe, deux conventions coexistent (voir l'article [[Forme sesquilinéaire complexe]]) : produit scalaire <math>\scriptstyle\langle v,w\rangle</math> linéaire par rapport à <math>v</math> et semi-linéaire par rapport à <math>w</math>, comme dans les articles [[Espace préhilbertien]] et [[Espace de Hilbert]], ou l'inverse, comme ici et dans l'article [[Dual topologique]]. Les formules sont à adapter en fonction de la convention choisie.</ref> muni de son [[produit scalaire]] noté <math>\langle.,.\rangle</math>
+* {{formule|''H''}} un espace de Hilbert (réel ou complexe)<ref>Dans le cas complexe, deux conventions coexistent (voir l'article [[Forme sesquilinéaire complexe]]) : produit scalaire {{math|⟨''v'', ''w''⟩}} linéaire par rapport à {{formule|''v''}} et semi-linéaire par rapport à {{formule|''w''}}, comme dans les articles [[Espace préhilbertien]] et [[Espace de Hilbert]], ou l'inverse, comme ici et dans l'article [[Dual topologique]]. Les formules sont à adapter en fonction de la convention choisie.</ref> muni de son produit scalaire noté ⟨∙, ∙⟩ ;
-*<math>f \in H'</math> une [[forme linéaire]] [[Continuité|continue]] sur <math>H</math>.
+* {{math|''f ''∈ ''H{{'}}''}} une forme linéaire continue sur {{formule|''H''}}.
-Alors il existe un unique <math>y</math> dans <math>H</math> tel que pour tout <math>x</math> de <math>H</math> on ait <math>f(x)=\langle y,x\rangle</math>.
+Alors il existe un unique {{formule|''y''}} dans {{formule|''H''}} tel que pour tout {{formule|''x''}} de {{formule|''H''}} on ait {{math|''f''(''x'') {{=}} ⟨''y'', ''x''⟩}}.
 {{bloc emphase|<math>\exists\,!\ y \in H\,, \quad \forall x\in H\,, \quad f(x) = \langle y,x\rangle</math>}}
-=== Démonstration ===
+== Démonstration ==
+On sait déjà — comme rappelé en introduction et démontré dans le [[Espace préhilbertien#Structure du dual|§ « Structure du dual »]] de l'article sur les espaces préhilbertiens — que l'[[Application linéaire|application '''R'''-linéaire]] (semi-linéaire dans le cas complexe)<center><math>H\to H',\quad y\mapsto\langle y,\cdot\rangle</math></center>est [[Injection (mathématiques)|injective]] (et même [[Isométrie|isométrique]]). Cette injectivité se traduit par l'[[Unicité (mathématiques)|unicité]] de {{math|''y''}} pour tout {{math|''f''}}.
-==== Unicité de <math>y</math> ====
-Soient <math>y</math> et <math>z</math> deux éléments de <math>H</math> vérifiant <math>f(x) = \langle y, x \rangle = \langle z, x \rangle</math>.
+On peut remarquer que si {{math|''H''}} est [[Espace vectoriel de dimension finie|de dimension finie]], la [[surjectivité]] — c'est-à-dire l'[[Existence (mathématiques)|existence]] de {{math|''y''}} pour tout {{math|''f''}} — [[Théorème du rang#Application à la caractérisation des isomorphismes|s'en déduit, puisque]] l'[[espace dual]] {{formule|''H'''}} est alors de même [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] sur '''R''' que {{math|''H''}}.
-Pour tout <math>x \in H</math> on a <math>\langle y-z, x \rangle = 0</math> et en particulier <math>\|y-z\|^2 = \langle y-z, y-z \rangle = 0</math> d'où <math>y = z</math>.
-==== Existence de <math>y</math> en dimension finie ====
-Si ''H'' est de dimension finie, l'existence se déduit de l'unicité. En effet, puisque l'application de <math>H</math> dans son [[espace dual]] (de même dimension sur '''R''') qui à tout ''y'' associe la forme linéaire <''y'', > est '''R'''-linéaire (antilinéaire dans le cas complexe) et [[injection (mathématiques)|injective]], elle est [[surjection|surjective]].
+Démontrons à présent l'existence de {{math|''y''}}, sans hypothèse de dimension.
-==== Existence de <math>y</math> en dimension quelconque ====
-Si <math>f\equiv 0</math>, il suffit de choisir <math>y=0</math>.
+Si {{math|''f''}} est la forme nulle, il suffit de choisir {{formule|''y ''{{=}} 0}}.
-Supposons <math>f\not\equiv 0</math>. Le [[Noyau (algèbre)|noyau]] <math>\ker(f)</math> de <math>f</math> est alors distinct de <math>H</math>. Or c'est un [[sous-espace vectoriel]] de <math>H</math> (par [[Application linéaire|linéarité]] de <math>f</math>) et il est [[Fermé (topologie)|fermé]] (car c'est l'image réciproque du fermé {0} par l'application [[continuité|continue]] <math>f</math>). D'après le [[théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert]] on en déduit que <math>\ker(f)^\bot</math> n'est pas réduit à {0}.
+Supposons que {{math|''f''}} n'est pas identiquement nulle. Son [[Noyau (algèbre)|noyau]] {{math|ker ''f''}} est alors un [[hyperplan]], or il est [[Fermé (topologie)|fermé]] ([[Espace vectoriel normé#Opérateur borné|par continuité de {{math|''f''}}]]). D'après le [[théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert]], l'[[Orthogonal#Définitions formelles|orthogonal]] de cet hyperplan est donc une [[droite vectorielle]] qui lui est [[sous-espace supplémentaire|supplémentaire]]. Soit {{formule|''b''}} un vecteur de cette droite tel que {{math|1=''f''(''b'') = 1}}. Pour {{math|1=''y'' = ''b''/‖''b''‖}}{{2}}, les deux formes linéaires {{math|''f''}} et {{math|⟨''y'', ∙⟩}} coïncident non seulement sur {{math|1=ker ''f = b''{{exp|⊥}}}} mais aussi en {{math|''b''}}, donc partout.
-Soit donc <math>b</math> un vecteur non nul orthogonal à <math>\ker(f)</math>.
+== Extension aux formes bilinéaires ==
-Pour tout <math>x \in H</math>, posons <math>p_x=x-\tfrac{f(x)}{f(b)}b</math>.
+{{Voir|Forme bilinéaire#Forme bilinéaire continue{{!}}Forme bilinéaire continue}}
+Si {{formule|''a''}} est une [[forme bilinéaire]] continue sur un espace de Hilbert réel {{math|''H''}} (ou une [[forme sesquilinéaire complexe]] continue sur un Hilbert complexe), alors il existe une unique application {{formule|''A''}} de {{math|''H''}} dans {{math|''H''}} telle que, pour tout {{math|(''u'', ''v'') ∈ ''H ''× ''H''}}, on ait {{math|''a''(''u'', ''v'') {{=}} ⟨''Au'', ''v''⟩}}.
-Ainsi <math>p_x \in \ker(f)</math> et en particulier <math>\langle b,p_x\rangle = 0</math>.
+De plus, {{formule|''A''}} est [[Espace vectoriel normé#Opérateur borné|linéaire et continue]], de [[Norme d'opérateur|norme]] égale à celle de {{math|''a''}}.
+<center><math>\exists !\,A\in\mathcal{L}(H),\ \forall (u,v)\in H\times H,\ a(u,v)=\langle Au,v \rangle.</math></center>
+Cela résulte immédiatement de l'isomorphisme [[Canonique (mathématiques)|canonique]] ([[Isométrie|isométrique]]) entre l'[[espace normé]] des formes bilinéaires continues sur {{math|''H ''× ''H''}} et celui des applications linéaires continues de {{math|''H''}} dans son dual, et de l'isomorphisme ci-dessus entre ce dual et {{math|''H''}} lui-même.
-En développant, on obtient
-<center><math>0 = \left\langle b, x-{f(x) \over f(b)}b \right\rangle = \langle b, x\rangle - {f(x) \over f(b)} \| b \|^2 </math> </center>
-D'où finalement
-<center><math>f(x) = \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}\langle b, x\rangle =\langle y, x \rangle </math></center>
-avec <math>y = \tfrac{\overline{f(b)}}{\|b\|^2}b</math>.
-=== Extension aux formes bilinéaires ===
-==== Énoncé ====
-Si <math>a</math> est une [[forme bilinéaire]] [[continuité|continue]]  sur un espace de Hilbert réel <math>\mathcal{H}</math> (ou une [[forme sesquilinéaire complexe]] continue sur un Hilbert complexe), alors il existe une unique application ''A'' de <math>\mathcal{H}</math> dans <math>\mathcal{H}</math> telle que, pour tout <math>(u,v)\in \mathcal{H}\times\mathcal{H}</math> on ait <math>a(u,v)=\langle Au,v \rangle</math>.
-De plus, ''A'' est [[Application linéaire|linéaire]] et [[continuité|continue]], de norme égale à celle de ''a''.
-<center><math>\exists !\,A\in\mathcal{L}(\mathcal{H}),\ \forall (u,v)\in\mathcal{H}\times\mathcal{H},\ a(u,v)=\langle Au,v \rangle</math></center>
-==== Démonstration ====
-Démontrons-le dans le cas réel (le cas complexe est analogue). Pour un vecteur fixé <math>u</math> de <math>\mathcal{H}</math>, le théorème de représentation de Riesz assure de l'existence d'un unique vecteur <math>A_u</math> dans <math>\mathcal{H}</math> tel que : pour tout <math>v\in\mathcal{H}</math>, <math>a(u,v)=\langle A_u,v\rangle</math>
-On pose <math>A:u\mapsto A_u</math> défini tel que décrit ci-dessus. Pour tous <math>v, u_1, u_2</math> de <math>\mathcal{H}</math> et tout réel <math>\lambda</math> on a
-<center><math>\langle A(u_1+\lambda u_2),v\rangle=a(u_1+\lambda u_2,v)=a(u_1,v)+\lambda a(u_2,v)=\langle A(u_1)+ \lambda A(u_2),v\rangle</math></center>
-donc <math>A</math> est linéaire.
-Soit <math>c</math> la norme de l'application bilinéaire continue <math>a</math>. Pour tous vecteurs <math>u, v</math> on a :
-<center><math>|\langle A u,v \rangle|=|a(u,v)|\le c\|u\| \|v\|</math>.</center>
-Pour <math>v=A u</math>, on en déduit <math>\|A u\|\le c\|u\|</math>. Donc l'application linéaire ''A'' est continue, et sa norme - notons-la ''d'' - est inférieure ou égale à ''c''.
-Montrons l'inégalité inverse. Pour tous vecteurs <math>u, v</math> on a :
-<center><math>|a(u,v)|=|\langle A u,v \rangle|\le \|Au\| \|v\|\le d\|u\| \|v\|</math>,</center>
-donc ''c'' est inférieure ou égale à ''d'', d'où l'égalité.
-== Le théorème de représentation de Riesz en théorie de la mesure ==
-Le théorème de représentation de Riesz est fondamental en [[théorie de la mesure]], et permet entre autres une construction efficace de la [[mesure de Lebesgue]] à partir de l'[[intégrale de Riemann]]. Il est connu que l'intégrale sur un [[espace topologique]] <math>X</math> associée à une [[mesure de Borel]] quelconque <math>\mu</math> est une forme linéaire positive sur l'espace vectoriel <math>C_c(X)</math> des fonctions réelles, continues et à support compact définies sur <math>X</math>.  Le théorème de représentation de Riesz établit sous certaines hypothèses la réciproque de cette propriété : on se donne une forme linéaire sur <math>C_c(X)</math>, et on veut savoir si elle correspond à l'intégrale associée à une mesure <math>\mu</math>.
-=== Énoncé ===
-Soit <math>X</math> un espace séparé [[espace localement compact|localement compact]], et soit <math>\Lambda</math> une forme linéaire positive sur <math>C_c(X)</math>. Alors il existe une [[tribu (mathématiques)|tribu]] <math>\mathfrak{M}</math> contenant les [[Tribu borélienne|borélien]]s, et une unique mesure <math>\mu</math> sur <math>\mathfrak{M}</math> telles que :
-# <math>\forall f \in C_c(X)</math>, <math>\Lambda(f) = \int f\mathrm d\mu</math>
-# Pour tout compact <math>K</math> de X, <math>\mu(K)<\infty</math>
-# Pour tout <math>E\in\mathfrak{M}</math>, <center><math>\mu(E)=\inf \{\mu(V), E\subset V {\rm ouvert}\}</math></center>
-# Pour tout <math>E</math> ouvert de <math>X</math> ou appartenant à <math>\mathfrak{M}</math> et vérifiant <math>\mu(E)<\infty</math>, <center><math>\mu(E)=\sup\{\mu(K), K\subset E, K \text{ compact}\}</math></center>
-La mesure <math>\mu</math> est construite comme suit<ref>Rudin, op. cit.</ref> :
-*Pour tout ouvert <math>V</math> de X, on pose <math>\mu(V) = \sup\{\Lambda(f)\}</math> où <math>f</math> décrit l'ensemble des fonctions à valeurs dans [0,1] et dont le [[Support de fonction|support]] est compact et inclus dans <math>V</math>.
-*Pour toute partie <math>E</math> de <math>X</math>, on pose <math>\mu(E) = \inf\{\mu(V), E \subset V {\rm ouvert }\}</math>
-*La tribu <math>\mathfrak{M}</math> est constituée des parties <math>E</math> de <math>X</math> telles que, pour tout compact <math>K</math>, <math>\mu(E \cap K) = \sup\{\mu(K'), K' {\rm compact } \subset E \cap K \}</math>
 == Notes et références ==
@@ Ligne 88 : / Ligne 38 : @@
 {{Palette|Algèbre bilinéaire|Analyse fonctionnelle}}
 {{portail|Analyse}}
 {{DEFAULTSORT:Theoreme Representation Riesz}}
 [[Catégorie:Espace de Hilbert]]
-[[Catégorie:Théorie de la mesure]]
+[[Catégorie:Théorème d'analyse fonctionnelle|Riesz]]
-[[Catégorie:Théorème de mathématiques|Representation Riesz]]
-[[de:Rieszscher Darstellungssatz]]
-[[en:Riesz representation theorem]]
-[[es:Teorema de representación de Riesz]]
-[[fi:Rieszin esityslause]]
-[[he:משפט ההצגה של ריס]]
-[[it:Teorema di rappresentazione di Riesz]]
-[[nl:Representatiestelling van Riesz]]
-[[pl:Twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)]]
-[[pt:Teorema da representação de Riesz]]
-[[sv:Riesz representationssats]]
-[[uk:Теорема Ріса]]
-[[zh:里斯表示定理]]