Théorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz)

Il existe en analyse fonctionnelle plusieurs théorèmes nommés théorème de représentation de Riesz, en l'honneur du mathématicien Frigyes Riesz.

Le théorème de représentation de Riesz dans les espaces de Hilbert

Ce théorème est aussi parfois appelé théorème de Fréchet-Riesz (à ne pas confondre avec le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov). Il s'apparente singulièrement au théorème de Lax-Milgram qui englobe l'énoncé ci-dessous. Pour tout vecteur y d'un espace de Hilbert H, la forme linéaire qui à x associe <y,x> est continue sur H (sa norme est égale à celle de y, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz). Le théorème de Riesz énonce la réciproque : toute forme linéaire continue sur H s'obtient de cette façon.

Énoncé

Soient :

• $H$ un espace de Hilbert (réel ou complexe) muni de son produit scalaire noté $\langle .,.\rangle$
• $f\in H'$ une forme linéaire continue sur $H$.

Alors il existe un unique $y$ dans $H$ tel que pour tout $x$ de $H$ on ait $f(x)=\langle y,x\rangle$.

$\exists \,!\ y\in H\,,\quad \forall x\in H\,,\quad f(x)=\langle y,x\rangle$

Démonstration

Unicité de $y$

Soient $y$ et $z$ deux éléments de $H$ vérifiant $f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle$.

Pour tout $x\in H$ on a $\langle y-z,x\rangle =0$ et en particulier $\|y-z\|^{2}=\langle y-z,y-z\rangle =0$ d'où $y=z$.

Existence de $y$ en dimension finie

Si H est de dimension finie, l'existence se déduit de l'unicité. En effet, puisque l'application de $H$ dans son espace dual (de même dimension sur R) qui à tout y associe la forme linéaire <y, > est R-linéaire (antilinéaire dans le cas complexe) et injective, elle est surjective.

Existence de $y$ en dimension quelconque

Si $f\equiv 0$, il suffit de choisir $y=0$.

Supposons $f\not \equiv 0$. Le noyau $\ker(f)$ de $f$ est alors distinct de $H$. Or c'est un sous-espace vectoriel de $H$ (par linéarité de $f$) et il est fermé (car c'est l'image réciproque du fermé {0} par l'application continue $f$). D'après le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert on en déduit que $\ker(f)^{\bot }$ n'est pas réduit à {0}.

Soit donc $b$ un vecteur non nul orthogonal à $\ker(f)$.

Pour tout $x\in H$, posons $p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b$.

Ainsi $p_{x}\in \ker(f)$ et en particulier $\langle b,p_{x}\rangle =0$.

En développant, on obtient

$0=\left\langle b,x-{f(x) \over f(b)}b\right\rangle =\langle b,x\rangle -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}$

D'où finalement

$f(x)={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}\langle b,x\rangle =\langle y,x\rangle$

avec $y={\tfrac {\overline {f(b)}}{\|b\|^{2}}}b$.

Extension aux formes bilinéaires

Énoncé

Si $a$ est une forme bilinéaire continue sur un espace de Hilbert réel ${\mathcal {H}}$ (ou une forme sesquilinéaire complexe continue sur un Hilbert complexe), alors il existe une unique application A de ${\mathcal {H}}$ dans ${\mathcal {H}}$ telle que, pour tout $(u,v)\in {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}$ on ait $a(u,v)=\langle Au,v\rangle$. De plus, A est linéaire et continue, de norme égale à celle de a.

$\exists !\,A\in {\mathcal {L}}({\mathcal {H}}),\ \forall (u,v)\in {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}},\ a(u,v)=\langle Au,v\rangle$

Démonstration

Démontrons-le dans le cas réel (le cas complexe est analogue). Pour un vecteur fixé $u$ de ${\mathcal {H}}$, le théorème de représentation de Riesz assure de l'existence d'un unique vecteur $A_{u}$ dans ${\mathcal {H}}$ tel que : pour tout $v\in {\mathcal {H}}$, $a(u,v)=\langle A_{u},v\rangle$

On pose $A:u\mapsto A_{u}$ défini tel que décrit ci-dessus. Pour tous $v,u_{1},u_{2}$ de ${\mathcal {H}}$ et tout réel $\lambda$ on a

$\langle A(u_{1}+\lambda u_{2}),v\rangle =a(u_{1}+\lambda u_{2},v)=a(u_{1},v)+\lambda a(u_{2},v)=\langle A(u_{1})+\lambda A(u_{2}),v\rangle$

donc $A$ est linéaire.

Soit $c$ la norme de l'application bilinéaire continue $a$. Pour tous vecteurs $u,v$ on a :

$|\langle Au,v\rangle |=|a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|$.

Pour $v=Au$, on en déduit $\|Au\|\leq c\|u\|$. Donc l'application linéaire A est continue, et sa norme - notons-la d - est inférieure ou égale à c.

Montrons l'inégalité inverse. Pour tous vecteurs $u,v$ on a :

$|a(u,v)|=|\langle Au,v\rangle |\leq \|Au\|\|v\|\leq d\|u\|\|v\|$,

donc c est inférieure ou égale à d, d'où l'égalité.

Le théorème de représentation de Riesz en théorie de la mesure

Partant d'une mesure de Borel (positive) sur un espace topologique $X$, on peut l'utiliser pour intégrer toutes les fonctions numériques continues à support compact. L'application ainsi définie sur l'espace vectoriel $C_{c}(X)$ composé de toutes ces fonctions est clairement une forme linéaire positive (au sens où elle envoie toute fonction à valeurs positives sur un réel positif).

Le théorème de représentation de Riesz établit sous certaines hypothèses la réciproque de cette propriété : on se donne une forme linéaire positive sur $C_{c}(X)$, et on veut savoir si elle peut être représentée comme intégrale par rapport à une mesure de Borel, et si oui si la mesure est unique.

Il en existe un grand nombre de variantes, et il s'agit plutôt aujourd'hui d'une collection de théorèmes dont quelques énoncés sont présentés ci-dessous. Les hypothèses utiles à la preuve de l'existence sont bien stabilisées d'une source à l'autre (on requiert locale compacité et séparation de $X$) ; il existe en revanche plusieurs variantes de technicité variable permettant d'écrire des résultats d'unicité.

Un énoncé assez général

Dans l'énoncé ci-dessous :

• la notation $C_{c}(X)$ désigne l'espace vectoriel des fonctions continues à support compact définies sur $X$ et à valeurs réelles ;
• dire qu'une forme linéaire $\Lambda$ définie sur $C_{c}(X)$ est « positive » signifie que pour toute $f$ de $C_{c}(X)$ à valeurs positives, $\Lambda (f)$ ≥ 0 ;
• on entend par « mesure de Borel » une mesure borélienne (positive) finie sur les compacts ;
• on entend par « mesure intérieurement régulière » une mesure borélienne $\mu$ qui vérifie la condition suivante :

pour tout borélien $A$ ⊂ $X$, $\mu (A)$=Sup{$\mu (K)$ | $K$ est compact et inclus dans $A$} ;

• enfin on entend par « mesure quasi-régulière » une mesure borélienne qui vérifie les deux conditions suivantes (la première est une condition de régularité extérieure, la deuxième une condition de régularité intérieure, mais qui n'est requise que pour les ouverts) :

pour tout borélien $A$ ⊂ $X$, $\mu (A)$=Inf{$\mu (U)$ | $U$ est un ouvert contenant $A$},

pour tout ouvert $A$ ⊂ $X$, $\mu (U)$=Sup{$\mu (K)$ | $K$ est compact et inclus dans $U$}.

Avec toutes ces conventions de vocabulaire, on peut énoncer :

Théorème : Soit $X$ un espace topologique localement compact et séparé, et soit $\Lambda$ une forme linéaire positive sur $C_{c}(X)$. Il existe une mesure de Borel $\mu$ sur $X$ qui représente $\Lambda$ au sens suivant :

pour toute $f$ appartenant à $C_{c}(X)$, $\Lambda (f)$ = $\int$ $f$ d$\mu$.

De plus, il existe une et une seule mesure de Borel sur $X$ qui représente ainsi $\Lambda$ et est intérieurement régulière, et une et une seule qui est quasi-régulière.

Plusieurs auteurs soulignent que, lorsque ces deux mesures sont distinctes, la première est la plus utile ; ainsi c'est sur ses propriétés qu'est calquée une définition courante de ce qu'on appelle une mesure de Radonmesure de Radon.

Utilisations

Il est possible de construire la mesure de Lebesgue à partir d'une théorie élémentaire d'intégration des fonctions continues en s'appuyant sur ce théorème, plutôt que de se baser sur le volume des parallélépipèdes pour initier la construction.