Théorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz)

Le théorème de représentation de Riesz, en l'honneur du mathématicien Frigyes Riesz, est un théorème qui représente les éléments du dual d'un espace de Hilbert comme produit scalaire par un vecteur de l'espace.

Ce théorème est aussi parfois appelé théorème de Fréchet-Riesz (à ne pas confondre avec le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov). Il s'apparente singulièrement au théorème de Lax-Milgram qui englobe l'énoncé ci-dessous. Pour tout vecteur y d'un espace de Hilbert H, la forme linéaire qui à x associe <y,x> est continue sur H (sa norme est égale à celle de y, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz). Le théorème de Riesz énonce la réciproque : toute forme linéaire continue sur H s'obtient de cette façon.

Énoncé

Soient :

• H un espace de Hilbert (réel ou complexe) muni de son produit scalaire noté $\langle .,.\rangle$
• $f\in H'$ une forme linéaire continue sur H.

Alors il existe un unique y dans H tel que pour tout x de H on ait $f(x)=\langle y,x\rangle$.

$\exists \,!\ y\in H\,,\quad \forall x\in H\,,\quad f(x)=\langle y,x\rangle$

Démonstration

Unicité de y

Soient y et z deux éléments de H vérifiant $f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle$.

Pour tout $x\in H$ on a $\langle y-z,x\rangle =0$ et en particulier $\|y-z\|^{2}=\langle y-z,y-z\rangle =0$ d'où $y=z$.

Existence de y en dimension finie

Si H est de dimension finie, l'existence se déduit de l'unicité. En effet, puisque l'application de H dans son espace dual (de même dimension sur R) qui à tout y associe la forme linéaire <y, • > est R-linéaire (antilinéaire dans le cas complexe) et injective, elle est surjective.

Existence de $y$ en dimension quelconque

Si $f\equiv 0$, il suffit de choisir y=0.

Supposons $f\not \equiv 0$. Le noyau $\ker(f)$ de $f$ est alors distinct de H. Or c'est un sous-espace vectoriel de H (par linéarité de $f$) et il est fermé (car c'est l'image réciproque du fermé {0} par l'application continue f). D'après le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert on en déduit que $\ker(f)^{\bot }$ n'est pas réduit à {0}.

Soit donc b un vecteur non nul orthogonal à $\ker(f)$.

Pour tout $x\in H$, posons $p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b$.

Ainsi $p_{x}\in \ker(f)$ et en particulier $\langle b,p_{x}\rangle =0$.

En développant, on obtient

$0=\left\langle b,x-{f(x) \over f(b)}b\right\rangle =\langle b,x\rangle -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}$

D'où finalement

$f(x)={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}\langle b,x\rangle =\langle y,x\rangle$

avec $y={\tfrac {\overline {f(b)}}{\|b\|^{2}}}b$.

Extension aux formes bilinéaires

Énoncé

Si a est une forme bilinéaire continue sur un espace de Hilbert réel ${\mathcal {H}}$ (ou une forme sesquilinéaire complexe continue sur un Hilbert complexe), alors il existe une unique application A de ${\mathcal {H}}$ dans ${\mathcal {H}}$ telle que, pour tout $(u,v)\in {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}$ on ait $a(u,v)=\langle Au,v\rangle$. De plus, A est linéaire et continue, de norme égale à celle de a.

$\exists !\,A\in {\mathcal {L}}({\mathcal {H}}),\ \forall (u,v)\in {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}},\ a(u,v)=\langle Au,v\rangle$

Démonstration

Démontrons-le dans le cas réel (le cas complexe est analogue). Pour un vecteur fixé u de ${\mathcal {H}}$, le théorème de représentation de Riesz assure de l'existence d'un unique vecteur A_u dans ${\mathcal {H}}$ tel que : pour tout $v\in {\mathcal {H}}$, $a(u,v)=\langle A_{u},v\rangle$

On pose $A:u\mapsto A_{u}$ défini tel que décrit ci-dessus. Pour tous v, u₁, u₂ de ${\mathcal {H}}$ et tout réel $\lambda$ on a

$\langle A(u_{1}+\lambda u_{2}),v\rangle =a(u_{1}+\lambda u_{2},v)=a(u_{1},v)+\lambda a(u_{2},v)=\langle A(u_{1})+\lambda A(u_{2}),v\rangle$

donc $A$ est linéaire.

Soit c la norme de l'application bilinéaire continue a. Pour tous vecteurs u, v on a :

$|\langle Au,v\rangle |=|a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|$.

Pour $v=Au$, on en déduit $\|Au\|\leq c\|u\|$. Donc l'application linéaire A est continue, et sa norme - notons-la d - est inférieure ou égale à c.

Montrons l'inégalité inverse. Pour tous vecteurs u, v on a :

$|a(u,v)|=|\langle Au,v\rangle |\leq \|Au\|\|v\|\leq d\|u\|\|v\|$,

donc c est inférieure ou égale à d, d'où l'égalité.