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Espace pseudo-métrique

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En mathématiques, un espace pseudo-métrique[1] est un ensemble muni d'une pseudo-distance. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique.

Sur un espace vectoriel, tout comme une norme induit une distance, une semi-norme induit une semi-distance. Pour cette raison, en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression « espace semi-métrique » est utilisée comme synonyme d'espace pseudo-métrique (alors qu'« espace semi-métrique » a un autre sens en topologie).

Définition

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Une pseudo-distance sur un ensemble est une fonction

telle que pour tout ,

  1.  ;
  2. (symétrie) ;
  3. (inégalité triangulaire).

Autrement dit, une pseudo-distance est un écart à valeurs finies.

Un espace pseudo-métrique est un ensemble muni d'une pseudo-distance.

À la différence de ceux d'un espace métrique, les points d'un espace pseudo-métrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir pour des points distincts .

Espace Pseudo-distance Propriétés et remarques
Un ensemble quelconque non vide. Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si est un singleton.
L'espace des fonctions à valeurs réelles définies sur . est fixé. Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si est un singleton.
La tribu d'un espace mesuré est une mesure finie. désigne la différence symétrique. Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Fréchet–Nikodym–Aronszajn[2].
La tribu d'un espace mesuré est une mesure finie. si et sinon. Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Markzewisky–Steinhaus[2].

Cas particuliers

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  • Si est un écart sur un ensemble , alors est une pseudo-distance sur .
  • Si est une semi-norme sur un espace vectoriel , alors est une pseudo-distance sur . Réciproquement, toute pseudo-distance invariante par translation et homogène provient d'une semi-norme.

Propriétés topologiques

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La topologie pseudo-métrique[3] associée à une pseudo-distance est celle induite par l'ensemble des boules ouvertes :

.

Un espace topologique est dit « pseudo-métrisable » s'il existe une pseudo-distance dont la topologie associée coïncide avec celle de l'espace.

Remarque : un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudo-métrisable et T0.

Identification métrique

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En quotientant un espace pseudo-métrique par la relation d'équivalence d'annulation de la pseudo-distance, on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit

,

et l'on obtient une distance sur en posant :

.

La topologie de l'espace métrique est la topologie quotient de celle de .

Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pseudometric space » (voir la liste des auteurs).
  1. J-M Huriot et J Perreur, « Distances, espaces et représentations (une revue) »,
  2. a et b (en) A Conci et C S Kubrusly, « Distance Between Sets - A survey »,
  3. (en) « Pseudometric topology », sur PlanetMath.

Bibliographie

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