雙曲複數:修订间差异
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'''雙曲複數'''({{lang-en|hyperbolic numbers}}或{{lang|en|Split-complex number}}),是異於[[複數]]而對[[實數]]所做的推廣。 |
'''雙曲複數'''({{lang-en|hyperbolic numbers}}或{{lang|en|Split-complex number}}),是異於[[复数 (数学)|複數]]而對[[實數]]所做的推廣。 |
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==定義== |
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列方程<math>(x+jy)^2 = (x^2 + y^2) + 2xyj</math>。有四個解:<math>1,0,s=(1-j)/2,s^*=(1+j)/2</math>。 |
列方程<math>(x+jy)^2 = (x^2 + y^2) + 2xyj</math>。有四個解:<math>1,0,s=(1-j)/2,s^*=(1+j)/2</math>。 |
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s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的[[基]]。<math>z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^*</math> 。 |
s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的[[基 (線性代數)|基]]。<math>z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^*</math> 。 |
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若將<math>z=ae+be^*</math>表示成<math>(a,b)</math>,雙曲複數的乘法可表示成<math>(a,b)(c,d)=(ac,bd)</math> 。因此,在這個基裏,雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。 |
若將<math>z=ae+be^*</math>表示成<math>(a,b)</math>,雙曲複數的乘法可表示成<math>(a,b)(c,d)=(ac,bd)</math> 。因此,在這個基裏,雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。 |
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在'''R''',對於非零的<math>a</math>,點集 <math>\{z : \lVert z \lVert = a^2 \}</math> 是[[雙曲線]]。左邊和右邊的會經過<math>a</math>和<math>-a</math>。<math>a=1</math>稱為單位雙曲線。 |
在'''R''',對於非零的<math>a</math>,點集 <math>\{z : \lVert z \lVert = a^2 \}</math> 是[[雙曲線]]。左邊和右邊的會經過<math>a</math>和<math>-a</math>。<math>a=1</math>稱為單位雙曲線。 |
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共軛雙曲線是<math>\{z : \lVert z \lVert = -a^2 \}</math> ,會分別經過ja和-ja。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條[[漸近線]] <math>\{z : \lVert z \lVert = 0 \}</math> 分開。 |
共軛雙曲線是<math>\{z : \lVert z \lVert = -a^2 \}</math> ,會分別經過<math>ja</math>和<math>-ja</math>。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條[[漸近線]] <math>\{z : \lVert z \lVert = 0 \}</math> 分開。 |
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歐拉公式的相應版本是<math>e^{j \theta} = \cosh(\theta) + j \sinh(\theta)</math>。 |
歐拉公式的相應版本是<math>e^{j \theta} = \cosh(\theta) + j \sinh(\theta)</math>。 |
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==歷史== |
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1848年James Cockle提出了[[ |
1848年James Cockle提出了[[雙複數|双复数]]。1882年[[威廉·金頓·克利福德]]以雙曲複數表示自旋和。 |
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20世紀,雙曲複數成為描述[[狹義相對論]]的[[勞侖茲變換]]的工具,因為不同參考系之間的速度變換可由[[雙曲旋轉]]表達。 |
20世紀,雙曲複數成為描述[[狹義相對論]]的[[勞侖茲變換]]的工具,因為不同參考系之間的速度變換可由[[雙曲旋轉]]表達。 |
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[[Category:超複数|S]] |
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2022年4月20日 (三) 14:47的最新版本
此條目没有列出任何参考或来源。 (2020年6月9日) |
各种各样的数 |
基本 |
延伸 |
其他 |
× | 1 | j |
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1 | 1 | j |
j | j | 1 |
雙曲複數(英語:hyperbolic numbers或Split-complex number),是異於複數而對實數所做的推廣。
定義
[编辑]考慮數,其中是實數,而量不是實數,但是實數。
選取,得到一般複數。取的話,便得到雙曲複數。
定義雙曲複數的加法和乘法如下,使之符合交換律、結合律和分配律:
共軛、範數
[编辑]對於,其共軛值。對於任何雙曲複數,
可見它是自同構的。
定義內積為 。若 ,說(雙曲)正交。
雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積,即自身和其共軛值之乘積(閔可夫斯基範數):
- 。
這個範數非正定,其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變:。
除法
[编辑]除了0之外,也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。
由此可見,雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為,其中是實數。
基
[编辑]雙曲複數的冪等元有:
列方程。有四個解:。
s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。 。
若將表示成,雙曲複數的乘法可表示成 。因此,在這個基裏,雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。
共軛可表示為,範數。
幾何
[编辑]有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間,表示為R1,1。正如歐几里得平面R2的幾何學可以複數表示,閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。
在R,對於非零的,點集 是雙曲線。左邊和右邊的會經過和。稱為單位雙曲線。
共軛雙曲線是 ,會分別經過和。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線 分開。
歐拉公式的相應版本是。
歷史
[编辑]1848年James Cockle提出了双复数。1882年威廉·金頓·克利福德以雙曲複數表示自旋和。
20世紀,雙曲複數成為描述狹義相對論的勞侖茲變換的工具,因為不同參考系之間的速度變換可由雙曲旋轉表達。
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