Wess-Zumino-Witten模型：修订间差异

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2022年11月29日 (二) 20:13的最新版本

理論物理與數學中， 威斯-朱米諾-維騰模型（Wess-Zumino-Novikov-Witten model，WZW），乃一簡單之共形場論，其解可以用仿射李代數表達。其名來自朱利斯·外斯、布鲁诺·朱米诺、謝爾蓋·彼得羅維奇·諾維科夫與爱德华·威滕。

作用

設G為緊緻單連通李羣，設g為其李代數。設γ為黎曼球面 $S^{2}$ （複平面之一點緊緻化）上一G-值場

Wess-Zumino-Witten 模型是γ所定義之非線性 sigma 模型，其作用為

S_{k}(\gamma )=-\,{\frac {k}{8\pi }}\int _{S^{2}}d^{2}x\,{\mathcal {K}}(\gamma ^{-1}\partial ^{\mu }\gamma \,,\,\gamma ^{-1}\partial _{\mu }\gamma )+2\pi k\,S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )

；

其中首項為量子場論中常見之動量項，重覆指標相加，度量為歐幾里得度量， ${\mathcal {K}}$ 為g上之Killing 二次式，而 $\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$ 為偏導數。

S^WZ 項人稱 Wess-Zumino 項，其定義為

S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=-\,{\frac {1}{48\pi ^{2}}}\int _{B^{3}}d^{3}y\,\epsilon ^{ijk}{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{i}}}\,,\,\left[\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{j}}}\,,\,\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{k}}}\right]\right)

其中 [,] 為交換子， $\epsilon ^{ijk}$ 為完全反對稱張量，i=1,2,3， $y^{i}$ 為積分座標，取值於單位球 $B^{3}$ 。在此積分中，場γ 被延拓至單位球之內部——此所以可能，是由於任何緊緻單連通李羣之第二同倫羣 $\pi _{2}(G)$ 俱為零（γ已於球面上定義）。

拉回

注意：若 $e_{a}$ 為李代數g之基向量，則 ${\mathcal {K}}(e_{a},[e_{b},e_{c}])$ 為g 之結構常數。結構常數是反對稱的，因而定義了一G 上一个三次微分形式。故上述積分實為球 $B^{3}$ 上之三次調和式的拉回。記此三次式為 c、其拉回為 $\gamma ^{*}$ ，則我们有

S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=\int _{B^{3}}\gamma ^{*}c

自此我们可用拓撲方法分析 WZ-項。

拓撲障礙

γ 有多種延拓至球 $B^{3}K$ 之內部；若要求物理現象不依賴於特定之延拓，則常數k需符合以下「量子條件」：

取γ 到球內部之任何兩種延拓。是為平三維區域至李羣G之兩支影射。在其邊界 $S^{2}$ 黏起此兩個三維球，則成一三維球面 $S^{3}$ ；其中每一三維半球面來自一 $B^{3}$ 。 γ 之兩種延拓則成為一影射： $S^{3}\rightarrow G$ 。然而，任何緊緻單連通李羣G之同倫羣

$\pi _{3}(G)=\mathbb {Z}$ 。故

S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=S^{\mathrm {W} Z}(\gamma ')+n

其中 γ 與 γ' 表示兩種延拓， n為一整數——黏合後影射之卷绕数。兩種延拓會帶來相同的物理系統，若

\exp \left(i2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma )\right)=\exp \left(i2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma ')\right)

是故，耦合常數k必須為整數。當G是半單李羣，或不連通緊緻羣，則由每一連通部所給之一整數構成此階（level）。

此拓撲障礙亦可以相應之仿射李代數之表示論體現。當每一階為一整數，則存在該仿射李代數之酉最高權表示，而其最高權為 dominant integral。此等表示是可積表示^[1]。

我们亦常遇相應於一非緊緻單李羣－例如 SL(2,R)－之 WZW 模型。胡安·马尔达西那與Hirosi Ooguri（英语：Hirosi Ooguri）以此描述三維反德西特空間上之弦理論。此時 π₃(SL(2,R))=0，故不存在拓撲障礙，而其階亦不必為整數。

推廣

上述各 WZW 模型俱定義於黎曼球面上。我们亦可定義一般緊緻黎曼曲面上之場γ。

參見

參攷

J. Wess, B. Zumino, "Consequences of anomalous Ward identities", Physics Letters B, 37 (1971) pp. 95-97.
E. Witten, "Global aspects of current algebra", Nuclear Physics B 223 (1983) pp. 422-432.
V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras

註

^ Kac, Victor, Infinite dimensional Lie algebras, ISBN 0-521-46693-8 第十章，

[1] Kac, Victor, Infinite dimensional Lie algebras, ISBN 0-521-46693-8 第十章，

[1]

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-[[理論物理]] 與 [[數學]]中， '''Wess-Zumino-Witten (WZW) 模型''', 又稱'''Wess-Zumino-Novikov-Witten model''', 乃一簡單之 [[共型場論]]，其解可以用[[仿射李代數]]表達。其名來自 [[Julius Wess]]、[[Bruno Zumino]]、[[Sergei P. Novikov]] 與 [[Edward Witten]].
+[[理論物理]]與[[數學]]中， '''威斯-朱米諾-維騰模型'''（{{lang|en|Wess-Zumino-Novikov-Witten model}}，{{lang|en|WZW}}），乃一簡單之 [[共形場論]]，其解可以用[[仿射李代數]]表達。其名來自[[朱利斯·外斯]]、[[布鲁诺·朱米诺]]、[[謝爾蓋·彼得羅維奇·諾維科夫]]與[[爱德华·威滕]]。
-==作用==
+== 作用 ==
-設''G''為 [[緊緻]] [[單連通]] [[李羣]] ，設 ''g''為其 [[李代數]]。設 &gamma; 為[[黎曼球面]]<math>S^2</math>（[[複平面]]之一點緊緻化）上一''G''-值場
+設''G''為[[緊緻]][[單連通]][[李羣]]，設''g''為其[[李代數]]。設γ為[[黎曼球面]]<math>S^2</math>（[[複平面]]之一點緊緻化）上一''G''-值場
-'''WZW 模型'''是&gamma; 所定義之 [[非線性 sigma 模型]]，其 [[作用 (物理)|物理]]為
+'''Wess-Zumino-Witten 模型'''是γ所定義之[[非線性 sigma 模型]]，其[[作用 (物理)|作用]]為
 :<math>S_k(\gamma)= - \,  \frac {k}{8\pi} \int_{S^2} d^2x\,
 \mathcal{K} (\gamma^{-1} \partial^\mu \gamma \,  , \,
 \gamma^{-1} \partial_\mu \gamma) + 2\pi k\, S^{\mathrm WZ}(\gamma) </math>；
-其中首項為[[量子場論]]中常見之動量項，[[愛因斯坦記號|重覆指標相加]]，度量為[[歐幾里得度量]]，， <math>\mathcal{K}</math> 為''g''上之 [[Killing 二次式]] 而<math>\partial_\mu = \partial / \partial x^\mu</math> 為 [[偏導數]]。
+其中首項為[[量子場論]]中常見之動量項，[[愛因斯坦記號|重覆指標相加]]，度量為[[歐幾里得度量]]， <math>\mathcal{K}</math> 為''g''上之[[Killing 二次式]]，而<math>\partial_\mu = \partial / \partial x^\mu</math> 為 [[偏導數]]。
-''S''<sup>WZ</sup>  項人稱 ''Wess-Zumino 項''， 其定義為
+''S''<sup>WZ</sup> 項人稱 ''Wess-Zumino 項''，其定義為
 :<math>S^{\mathrm WZ}(\gamma) = - \, \frac{1}{48\pi^2} \int_{B^3} d^3y\,
 \epsilon^{ijk} \mathcal{K} \left(
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 \right)</math>
-其中 [,] 為[[交換子]]，<math>\epsilon^{ijk}</math> 為 [[完全反對稱張量]]， 'i''=1,2,3 ，<math>y^i</math>為積分座標，取值於 [[單位球]] <math>B^3</math>。
+其中 [,] 為[[交換子]]，<math>\epsilon^{ijk}</math> 為[[完全反對稱張量]]，''i''=1,2,3，<math>y^i</math>為積分座標，取值於[[單位球]] <math>B^3</math>。
-在此積分中，場 &gamma; 被延拓至單位球之內部－－此所以可能，是由於任何緊緻單連通李羣之第二[[同倫羣]] <math>\pi_2(G)</math>俱為零（ &gamma; 已於球面上定義）。
+在此積分中，場γ 被延拓至單位球之內部——此所以可能，是由於任何緊緻單連通李羣之第二[[同倫羣]]<math>\pi_2(G)</math>俱為零（γ已於球面上定義）。
-===拉回===
+=== 拉回 ===
-注意：若 <math>e_a</math> 為李代數''g''之基向量，則<math>\mathcal{K} (e_a, [e_b, e_c])</math> 為''g'' 之 [[結構常數]]。  結構常數是反對稱的，因而定義了一G 上之三次[[微分式]] 。故上述積分實為球<math>B^3</math>上之三次調和式之 [[拉回]]。記此三次式為 ''c''、其拉回為 <math>\gamma^{*}</math>, 則吾人有
+注意：若 <math>e_a</math> 為李代數''g''之[[基向量]]，則<math>\mathcal{K}(e_a, [e_b, e_c])</math> 為''g'' 之 [[結構常數]]。結構常數是反對稱的，因而定義了一G 上一个三次[[微分形式]]。故上述積分實為球<math>B^3</math>上之三次調和式的[[拉回]]。記此三次式為 ''c''、其拉回為 <math>\gamma^{*}</math>，則我们有
 :<math>S^{\mathrm WZ}(\gamma) = \int_{B^3} \gamma^{*} c</math>
-自此吾人可之拓撲方法分析 WZ-項。
+自此我们可用拓撲方法分析 WZ-項。
+=== 拓撲障礙 ===
+γ 有多種延拓至球<math>B^3K</math>之內部；若要求物理現象不依賴於特定之延拓，則常數''k''需符合以下「量子條件」：
-===拓撲障礙===
+* 取γ 到球內部之任何兩種延拓。是為平三維區域至李羣''G''之兩支影射。在其邊界 <math>S^2</math>黏起此兩個三維球，則成一三維球面<math>S^3</math>；其中每一三維半球面來自一<math>B^3</math>。 γ 之兩種延拓則成為一影射： <math>S^3\rightarrow G</math>。然而，任何緊緻單連通李羣''G''之同倫羣
-&gamma; 有多種延拓至球<math>B^3K</math>之內部；若要求物理現象不依賴於特定之延拓，則常數''k''需符合以下「量子條件」：
-*取&gamma; 到球內部之任何兩種延拓。是為平三維區域至李羣''G''之兩支影射。在其邊界 <math>S^2</math>黏起此兩個三維球，則成一三維球面<math>S^3</math>；其中每一三維半球面來自一<math>B^3</math>。 &gamma;  之兩種延拓則成為一影射： <math>S^3\rightarrow G</math>。然而，任何緊緻單連通李羣''G''之同倫羣
 <math>\pi_3(G)=\mathbb{Z}</math> 。故
 :<math>S^{\mathrm WZ}(\gamma) = S^{\mathrm WZ}(\gamma')+n</math>
-其中 &gamma;  與 &gamma;' 表示兩種延拓， ''n''為一整數－－黏合後之影射之 [[纏繞數]] 。兩種延拓會帶來相同的物理系統，若
+其中 γ 與 γ' 表示兩種延拓， ''n''為一整數——黏合後影射之[[卷绕数]]。兩種延拓會帶來相同的物理系統，若
 :<math>\exp \left(i2\pi k S^{\mathrm WZ}(\gamma) \right)=
 \exp \left( i2\pi k S^{\mathrm WZ}(\gamma')\right)</math>
-是故， 耦合常數''k''必須為整數。當''G''是半單李羣，或不連通緊緻羣， 則由每一連通部所給之一整數構成此階(level)。
+是故，耦合常數''k''必須為整數。當''G''是半單李羣，或不連通緊緻羣， 則由每一連通部所給之一整數構成此階（level）。
+此拓撲障礙亦可以相應之[[仿射李代數]]之表示論體現。 當每一階為一整數，則存在該仿射李代數之[[酉群|酉]][[最高權表示]]，而其最高權為 dominant integral。此等表示是[[可積表示]]<ref>Kac, Victor, Infinite dimensional Lie algebras, ISBN 0-521-46693-8 第十章，</ref>。
-This topological obstruction can also be seen in the representation theory of the [[affine Lie algebra]] symmetry of the theory.  When each level is a positive integer the affine Lie algebra has unitary highest weight [[representations]] with highest [[weight (representation theory)|weight]]s that are dominant integral.  Such representations are easier to work with as they decompose into finite-dimensional subalgebras with respect to the subalgebras spanned by each [[simple root]], the corresponding negative root and their commutator, which is a Cartan generator.
+我们亦常遇相應於一非緊緻單李羣－例如 SL(2,'''R''')－之 WZW 模型。[[胡安·马尔达西那]]與{{綠鏈|en|Hirosi Ooguri|}}以此描述三維[[反德西特空間]]上之[[弦理論]]。此時 π<sub>3</sub>(SL(2,'''R'''))=0，故不存在拓撲障礙，而其階亦不必為整數。
-Often one is interested in a WZW model with a noncompact simple Lie group '''G''', such as SL(2,'''R''') which has been used by [[Juan Maldacena]] and [[Hirosi Ooguri]] to describe [[string theory]] on a three-dimensional [[anti de Sitter space]], which is the [[universal cover]] of the group SL(2,'''R''').  In this case, as π<sub>3</sub>(SL(2,'''R'''))=0, there is no topological obstruction and the level need not be integral.  Correspondingly, the representation theory of such noncompact Lie groups is much richer than that of their compact counterparts.
-===Generalizations===
+=== 推廣 ===
+上述各 WZW 模型俱定義於黎曼球面上。我们亦可定義一般緊緻[[黎曼曲面]]上之場γ。
-Although in the above, the WZW model is defined on the Riemann sphere, it can be generalized so that the field &gamma; lives on a compact [[Riemann surface]].
-==Current algebra==
+== 參見 ==
-The [[current algebra]] of the WZW model is a [[Virasoro algebra]].
+* [[陳-西蒙斯理論]]
-==References==
+* [[紐結理論]]
+== 參攷 ==
 * J. Wess, B. Zumino, "Consequences of anomalous Ward identities", ''Physics Letters B'', '''37''' (1971) pp. 95-97.
 * E. Witten, "Global aspects of current algebra", ''Nuclear Physics B'' '''223''' (1983) pp. 422-432.
+* V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras
+== 註 ==
+<references/>
-[[Category:Lie groups]]
+[[Category:李羣|W]]
-[[Category:Quantum field theory]]
+[[Category:量子場論|W]]
-[[Category:Conformal field theory]]
+[[Category:共形場論|W]]
-[[Category:Exactly solvable models]]
+[[Category:可解模型|W]]