在集合论和数学的其他分支中,存在补集的两种定义:相对补集和绝对补集。
相对补集
若
和
是集合,则
在
中的相对补集是由所有属于
但不属于
的元素組成的集合。
在
中的相对补集记为
或
。
形式上:
![{\displaystyle B\setminus A=\{x\in B\mid x\not \in A\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NnDzCoqi3ajhBytw5nDzCyji3aDBCajiPoqhCzjwOnDnCaDoPatBD)
例如:
![{\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Nyjm0oNsPoAo3otGNzjsNzte5ajnDnqvCntm5njdEoNs5nteOzArF)
![{\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EotoQoNJDnAe4aAnDoNiPotnFyjrFzjG1zAhFyti3njFDoDaQzNrC)
- 若
是实数集合,
是有理数集合,则
为无理数集合。
下列命题给出一些相对补集同并集和交集等集合论运算相关的一些常用性质。
命题1:若
是集合,则下列等式恒成立:
![{\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82aDe1zDo4aqs5ajnCoqdFzNa3zAnEajJEa2zBagwQzDlBnto2zNK3)
![{\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85zDw1nAoPz2zAatdAzjK4nqdCzgrBoDi2ajG3otG2z2eOnqi5zDeO)
![{\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AoDhBzga2zDi1a2hDoNG4nDvEaAiNaNC4ngvDnAw1ajs4nqa1zjm0)
![{\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82ytCPa2i0nAaNzDe5njoQzNzBago5nghFnAiNnji4z2vAoNi0aDe1)
![{\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CotJAzNi0nDhEaAhAnqrCoNo3zgsQzDaNnArEyjFEoNaQaDnDyqwO)
![{\displaystyle A\setminus A=\varnothing }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CnDe1aDdDaNG3zDC0oDnCotnEzDzDatvEygoNyqe3aqa5nDhAaAoO)
![{\displaystyle \varnothing \setminus A=\varnothing }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BajC4aDm5aAzEata3yjG1aNe0zNo3aNJFz2a0ngnFnjrFzNG5zAaQ)
![{\displaystyle A\setminus \varnothing =A}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83nDePzqzBnjC3agaNaqnDzji0a2wQztePoqoPzDzCoNG1oqoNzNBC)
绝对补集
若给定全集
,则
在
中的相对补集称为
的绝对补集(简称补集),记为
,即:
![{\displaystyle A^{\complement }=U\setminus A}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80ntFFo2dCatFEoNa4yjG4otrAotiPo2a2agw4zjm4zNBFnDrBaDmQ)
(注意:根据ISO与中华人民共和国国家标准,
中子集
的补集记作
。)
例如,若全集为自然数集合,则奇数集合的补集为偶数集合。
下列命题给出一些绝对补集同并集和交集等集合论运算相关的一些重要性质。
命题2:若
和
是全集
的子集,则下列恒等式成立:
- 德摩根定律:
![{\displaystyle (A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82z2rBygo4ztKNngzCzgrFyti1zgs3zNw4njePoqoQztJCzNa5ntBB)
![{\displaystyle (A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Ayts0zNlCztCPoNFAz2sNzAvAytvBnDi4aja4atrEoDvEzgw5ygiN)
- 补集律:
![{\displaystyle A\cup A^{\complement }=U}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AoNhDzgi4oDK0zjK3zgs4yjnBnja5ngnFyqvDoqrAzDs1a2a4oAzE)
![{\displaystyle A\cap A^{\complement }=\varnothing }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Do2dBa2nAaAoQnDeQaDeQnAoOotzDaqzCygzDzjzDngaOnqs1atK4)
![{\displaystyle \varnothing ^{\complement }=U}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PaNw4ztiOygi3zjnFoNsPnqiNytG5aqnEzgrDoDs2aAiOaDaQnjC5)
![{\displaystyle U^{\complement }=\varnothing }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84zAvBoDs5nAi3oNrBygsQoNe2oNK1oteQoNa1aqw3ajFCnAdCyjC0)
- 對合:
![{\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83aqe4ntGPzji4ajsNyjBBzgePotwOatoPaqrBatzByjKNyqe0zDoN)
- 相对补集和绝对补集的关系:
![{\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement }}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NngnCz2e3zqvDngaOoto0yjGNzje2aNo0z2e4ajC3z2iOntnCoNiO)
![{\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QoNJBa2rCaNaQajvAzDlEotoNytiNzAw1aNJDoAaNnta0zja4nAvD)
上述表明,若
为
的非空子集,则
是
的一个分割。
补集的符号在Unicode中为数学运算符区段中的“∁”(Unicode:U+2201)。