等差数列,又名算术数列(英語:Arithmetic sequence[註 1]),是数列的一种。在等差数列中,任何相邻两项的差相等,该差值称为公差(common difference)。
例如数列:
- 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
就是一个等差数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之公差都相等。
如果一个等差数列的首项記作 a1,公差記作 d,那么该等差数列第 n 项 an 的一般項为:
![{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Bnto3oqs0zqo1aqzEaNdEzje1agsOytePnga1yqvFnDoPnDBBzjFB)
換句話說,任意一個等差数列 {an} 都可以寫成
![{\displaystyle \{a\,,\,\,a+d\,,\,\,a+2d\,,\,\cdots \,,\,\,a+(n-1)d\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OoDe3zNzDnqaOzjiNzDiQztJEyqo2zAs2aAi5nqeOytsOzNlCoAaP)
在一個等差數列中,給定任意兩相連項 an+1 和 an ,可知公差
![{\displaystyle d=a_{n+1}-a_{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EygzFoteNoAwOotKQntmPzNvDaDi3zjo1ytw5zAaNnAe2ajmNzjo2)
給定任意兩項 am 和 an ,則有公差
![{\displaystyle d={\frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DygdFaNw5o2vAzDdAatw3aNoNotGQzDhEaAa2zAw4atFFygaNaDhC)
此外,在一個等差数列中,選取某一項,該項的前一項與後一項之和,為原來該項的兩倍。舉例來說,a1 + a3 = 2a2。
更一般地說,有:
![{\displaystyle a_{n-1}+a_{n+1}=2a_{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80njeOyjhAzDhFzqdDztKOajnDz2nAnDoNzjhDzDC2njlBo2vCntvA)
證明如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}+a_{n+1}&=[a+(n-2)d]+(a+nd)\\&=2a+(2n-2)d\\&=2[a+(n-1)d]\\&=2a_{n}\\\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84otiOo2zDyqe4aDmOyte0atzFotaPaNs3yjJCnDK0njJFzDGPygaQ)
證畢。
從另一個角度看,等差數列中的任意一項,是其前一項和後一項的算術平均:
![{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BoNrDyto0oDaPzNa0zqdEaji4ytCOagzAaDs2atdEajnBoAiQaAs4)
此結果從上面直接可得。
如果有正整數 m, n, p, q,使得
,那么则有:
![{\displaystyle a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CoqsOaDsQajiPa2s4atBFntdBnja2yjwQzgi1oDm4aqo5atzDa2e1)
證明如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{m}+a_{n}&=[a+(m-1)d]+[a+(n-1)d]\\&=2a+(m+n-2)d\\&=2a+(p+q-2)d\\&=[a+(p-1)d]+[a+(q-1)d]\\&=a_{p}+a_{q}\\\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OzNa2atdBoAsOzDwPztrFzDKQnjwOzAa4yjsNaDG4zjzCyqrDaAdC)
由此可將上面的性質一般化成:
![{\displaystyle a_{n-k}+a_{n+k}=2a_{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81atdDnta2nqhAnDdAoNs4aja2zAzAztFEoDzEajBBzAvDntC5ytvD)
![{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BzjzEyqnCaAhBnAiNnjsNzgzCo2e3ntoNyjhEztiPnAnDzDlCaNm2)
其中 k 是一個小於 n 的整數。
給定一個等差數列
,則有:
是一個等差數列。
是一個等差數列。
是一個等比數列。
是一個等諧數列。
從等差數列的一般項可知,任意一個可以寫成
![{\displaystyle a_{n}=p+qn}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80aqzFnqhFyjK2oqa5oDG2zghDagvCytlEyqhEzAdAztmNzNw1yqi0)
形成的數列,都是一個等差數列,其中公差 d = q,首項 a = p + q。
一個等差數列的首 n 項之和,稱為等差数列和(sum of arithmetic sequence)或算術級數(arithmetic series),記作 Sn。
舉例來說,等差數列 {1, 3, 5, 7} 的和是 1 + 3 + 5 + 7 = 16。
等差數列求和的公式如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}\,(a+a_{n})\\&={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]\\&=an+d\cdot {\frac {n(n-1)}{2}}\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Fyqi2njK0oDdEatBFati3yqiOzArBotdBoNBCzNCOagvFoNvAyjFE)
等差数列和在中文教科書中常表达为:
- 一个等差数列的和,等于其首项与末项的和,乘以项数除以2。
公式證明如下:
将等差數列和写作以下两种形式:
![{\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +[a+(n-2)d]+[a+(n-1)d]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QyjmNnDlEzNdCz2nCajGPytw5yjiNzjmQaAa3zjKOathEoArAoqs5)
![{\displaystyle S_{n}=[a_{n}-(n-1)d]+[a_{n}-(n-2)d]+\dots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84oAs2aDlBnDJCaNvCnga2aNw3othCnjm0aAi0zjdCots0zDBAzAnD)
将两公式相加来消掉公差 d,可得
![{\displaystyle \ 2S_{n}=n(a+a_{n})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Qnjw3yjvEytvEaNJFnDlEaDaNnjFEnjzCzDrCajlFnjJAntKPnjlB)
整理可得第一種形式。
代入
,可得第二種及第三種形式。
從上面的第三種形式展開可見,任意一個可以寫成
![{\displaystyle S_{n}=pn+qn^{2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NnghBo2iPzqzByjK1zji2zthAztG0zjo3yti5ygdAaAi5z2s0ztdC)
形成的數列和,其原來數列都是一個等差數列,其中公差 d = 2q,首項 a = p + q。
一個等差數列的首 n 項之積,稱為等差数列積(product of arithmetic sequence),記作 Pn。
舉例來說,等差數列 {1, 3, 5, 7} 的積是 1 × 3 × 5 × 7 = 105。
等差数列積的公式较為复杂,須以Γ函數表示:
![{\displaystyle P_{n}=d^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {a}{d}}+n)}{\Gamma ({\frac {a}{d}})}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85ngiOytGNajG1ytrFzgeQotK0ags5zDJFngo1atG0njiQagw4otdC)
證明如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot (a+d)\cdot (a+2d)\cdot \cdots \cdot [a+(n-1)d]\\&=d^{n}\cdot \left({\frac {a}{d}}\right)\cdot \left({\frac {a}{d}}+1\right)\cdot \left({\frac {a}{d}}+2\right)\cdot \cdots \cdot \left[{\frac {a}{d}}+(n-1)\right]\\&=d^{n}\cdot {\left({\frac {a}{d}}\right)}^{\overline {n}}\\&=d^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {a}{d}}+n)}{\Gamma ({\frac {a}{d}})}}\\\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Cygw2oDzDnAa1zArBo2vDota1zAs4ajrDo2wNa2a0aAaPoti4zNe2)
這裡的
为 x 的 n 次上升阶乘幂,例子如
。
使用上面的例子,對於數列 {1, 3, 5, 7} :
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{4}&=2^{4}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+4)}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}\\&=16\cdot {\frac {11.6317\dots }{1.77245\dots }}\\&=105\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Ozto4nAo2oAwPaAzBzgs2a2a1yjJAyjJDa2hDnAoNajvEotK5zjzF)
結果相等。