將20個蘋果平均分成四等分(左上),每份有5個蘋果(右下),即
;亦可以說成,將20個蘋果每5個分成一份(右下),共可分成四等分(左上),此時可以表達為
数学中,尤其是在基本计算裏,除法可以看成是「乘法的反运算」,也可以理解为「重复的减法」。除法运算的本质就是「把参与运算的除数变为
,得出同比的被除数的值」。
例如:
,就好像
,
,
被
減了兩次後,就變成了
。
如果
![{\displaystyle a\times b=c}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PaDKOoNe2zDJFzgeNaqnDzDa5oqeNoNC5ygwNagnEajiPnDG5oDdA)
而且
不等于零,那么
![{\displaystyle a=c\div b}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DnDvBoDlBaAa2ntlBoDJCz2hAyqa3nqnBzNG3ngzCaqnBygi2aDrF)
其中,a称为商数,b称为除数,c称为被除数。
如果除式的商數(
)必須是整數,则称为带餘除法,
与
相差的数值,称为餘數(
)。
![{\displaystyle c\div b=a\dots d}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CoAiNnts3ygdCzto3yqhCntFEytnAzqo2a2rBnDzFzjGNyqe5yjC3)
這也意味著
![{\displaystyle c=a\times b+d}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EoNhFzDCQzta0ntKOatzCz2i1agzAage2nqw0nte4aDBBngePo2nD)
在高等数学(包括在科学与工程学中)和计算机编程语言中,
写成
。如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用,这种形式也常常是称之为分数的最终形式。其中尋找商數的函數為
,尋找餘數的函數則為
。
在大部分的非英语语言中,
代表
的比,讀做c比b;
則代表
的比值。用法请参照比例。
整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数
可以被自然数
整除,是指
是
的因數,且a是b的整数倍数,也就是
除以
没有餘数。
![{\displaystyle a\div b=q\dots 0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PoDlEzNlDaDlFotJBoDm4o2o0ntvAyqdBzji3zjo2zNlByqvFnqhC)
因數判別法可參照整除規則。
表示
整除
,即
是
的倍数,
是
的因数。
可以被
整除,记作
。
不能被
整除(因为餘数为
),记作
。在
上加一条斜线即表示不整除。
根据乘法表,两个整数可以用长除法(直式除法)笔算。如果被除数有分数部分(或者说时小数点),计算时将小数点带下来就可以;如果除数有小数点,将除数与被除数的小数点同时移位,直到除数没有小数点。
算盘也可以做除法运算。
長除法俗稱「長除」,適用於正式除法、小數除法、多項式除法(即因式分解)等較重視計算過程和商數的除法,過程中兼用了乘法和減法。
使用長除法計算
的過程可以表示為:
![](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO91KgPRoqwSJ2BVMq1BngBFbA9OnO93MqTXKgrCMqiRo29TLq9SKO9Ab2oOb0PRLAJiMpnXK2BRLChSMq1FJgrCbAJXnG%3D%3D)
的演算過程
![{\displaystyle {\begin{array}{l}37\ {\big )}\\\\\\\\\\\\\\\\\end{array}}\!\!\!\!\!{\begin{array}{r}34061\\\hline \ 1260257\\111\quad \quad \\\hline 150\quad \ \ \\148\quad \ \ \\\hline 225\ \ \\222\ \ \\\hline 37\\37\\\hline 0\\\end{array}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82z2w1oAhEa2wNzjeOzji4aNw3z2vEnja2yteQa2nFoDFFoteNzDrA)
短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏,被除數放中央,旁以一L型符號表示除法,被除數左側為除數,下側為商,省去了長除法逐層計算的過程。
- 使用短除法計算
的近似值:
![{\displaystyle {\begin{array}{r}7\ |\!{\underline {\,\ 3.00000000000000000\dots \ }}\\0.42857142857142857\dots \ \end{array}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PothCntrFzqeOyjC1zNo2zDnDnDvCo2s1oDo4nAi0yjFAothBaji2)
- 使用短除法計算
的質因數分解:
![{\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\ }}\\2\ |\!{\underline {\,\ \ 210\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ 105\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 35\ }}\\7\ \end{array}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85zji4oqw5aDa1aDhDzAwPajlDyqe3oDhDnjFDajePoDK3zqvAnji4)
![{\displaystyle 420=2^{2}\times 3\times 5\times 7}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CzDJCage2agvDajmQaNe4aghDzNeOajzCyta4yjsOa2s4aDlDygoQ)
- 使用短除法計算
的最大公因數及最小公倍數:
![{\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\quad 270\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ \ 210\quad 135\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 70\quad \ \ 45\ }}\\14\quad \ \ \ \ 9\ \end{array}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Byto2z2o5aDdAoqa3z2o1yjiQagw4oAdCzDi4oDnCajs0aqaOzjhE)
![{\displaystyle {\begin{cases}\gcd(420,270)=2\times 3\times 5=30\\\operatorname {lcm} (420,270)=2\times 3\times 5\times 14\times 9=3780\end{cases}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AytG1nqvAaNaOo2a0aNG3zNiQoNBFoNmPnAdEztnDyqs2aNG1ygo0)
和整数之间的带余除法类似,一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明,设有多项式
和非零多项式
,则存在唯一的多项式
和
,满足:
![{\displaystyle A=BQ+R}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OoDa3nDwOagi3oDo4atK5ytm0otzBnAzBatC3nts4o2nEzDw2zqzC)
而多项式
若非零多项式,則其冪次严格小于
的冪次。
作为特例,如果要计算某个多项式
除以一次多项式
得到的餘多项式,可以直接将
代入到多项式
中。
除以
的餘多项式是
。
具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如,计算
除以
,列式如下:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \quad \;\,X^{2}\;-9X\quad -27\\\qquad \quad X-3{\overline {\vert X^{3}-12X^{2}+0X-42}}\\\;\;{\underline {\;\;X^{3}-\;\;3X^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9X^{2}+0X\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9X^{2}+27X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27X+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84ytJCaqsOnDzCoqs4nAi2aAvDygw3nqnFyqsNnqe1zqs4zjs3zDo0)
因此,商式是
,餘式是
。
通常不定义除以零这种形式。亦即當除以0 或分數的分母為0 時,該式或該數無意義。