算术平方根的數學表示式
在數學中,一個數
的平方根
指的是滿足
的數,即平方結果等於
的數。例如,4和-4都是16的平方根,因为
。
任意非負實數
都有唯一的非負平方根,称为算术平方根或主平方根(英語:principal square root),記為
,其中的符号
称作根号。例如,9的算术平方根为3,记作
,因为
并且3非负。被求平方根的数称作被开方数(英語:radicand),是根号下的数字或者表达式,即例子中的数字9。
正数
有兩個互为相反数的平方根:正数
与负数
,可以将两者一起记为
。
負數的平方根在複數系中有定義。而實際上,對任何定義了開平方運算的數學物件都可考慮其“平方根”(例如矩陣的平方根)。
- 在MicroSoft的試算表軟體Excel與大部分程式語言中以 "sqrt()"表示求主平方根。
耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板,制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形,标注了
的六十进制数字 1;24,51,10。[1]十六进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296,精确到了小数点后5位(1.41421356...)。
莱因德数学纸草书大约成书于前1650年,内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。[2]
古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间,书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。
古希腊的《几何原本》大约成书于前380年,书中还阐述了如果正整数不是完全平方数,那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个整数的比值表示的数(无法写作m/n,其中m和n是整数)。[3]
中国的《书》成书于汉朝(约前202年到前186年之间),书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。
古代未有劃一的平方根符號時,人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。
中世紀時,拉丁語中的latus(正方形邊)的首個字母“L”被不少歐洲人採用;亨利·布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中則用橫線當成latus的簡寫,在被開方的數下畫一線。
最有影響的是拉丁語的radix(平方根),1220年Leconardo在《Practica geometriae》中使用℞(R右下角的有一斜劃,像P和x的合體);⎷(沒有上面的橫劃)是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用,據說是小寫r的變型;后来数学家笛卡尔给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的(即“⎷‾”),因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写),从而形成了现在人們熟知的开方运算符号
。
函數
圖,半拋物線與垂直準線。
的平方根亦可用指數表示,如:
![{\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CoNePntC1oNoOnjCPoDi3zgeOotzCzNa0oqwQzAsQzjo5atBBzjw5)
的絕對值可用
的算數平方根表示:
![{\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}\left(={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}\right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CzDlBoDK0nte0oti1yte3ygiNotzByjGQaAwPyqzFytvFatK0njJD)
若正整數
是平方數,則其平方根是整數。若正整數
不是平方數,則其平方根是無理數。
對於正數
、
,以下式成立:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83aqw5zNCOatC0aDa3oNK2nthCoDC1aDa5ata2oti0ygiOaDK5z2i5)
正数和负数的平方都是正数,0的平方是0,因此负数没有实数平方根。然而,我们可以把我们所使用的数字集合扩大,加入负数的平方根,这样的集合就是複數。首先需要引入一个实数集之外的新数字,记作
(也可以记作
,比如电学场景中
一般表示电流),称之为虚数单位,定义即为
,故
是-1的平方根,而且
,所以
也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是
,如果
是任意非负实数,则
的算术平方根就是:
![{\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OztnAoNvFnqhDzjlEoDs3aNeQzDwOoNs1zDvBztKNzti5yqvCzte2)
例如-5的平方根有两个,它们分别为
和
。
之所以等式右侧(包括其对应的负值)是
的算术平方根,是因为:
![{\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PztFBzqi1ngs0aDoOzDrFz2a1otGNaqzDzqsNytiNaDrDz2iNaNFE)
负数的兩個平方根为一对共轭的纯虚数。
對於負數
、
,以下式成立:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {-x}}\,i\times {\sqrt {-y}}\,i={\sqrt {xy}}\,i^{2}=-{\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\frac {{\sqrt {-x}}i}{{\sqrt {-y}}i}}={\sqrt {\frac {-x}{-y}}}={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84aDsPnqa4oti5agw1nje4yjBCoNrDnjmOzqzAzNo4aqdBnqrBaDlE)
复数平面中,
的两个平方根
虚数
的算术平方根可以根据以下公式计算:
![{\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80nDa4zqzDzjBFzjsQa2zBzNdEotiQyjm3ngw0otC4oDs3ntnEatC1)
这个公式可以通过用代数方法推导,只需找到特定的实数
和
,满足
![{\displaystyle {\begin{aligned}i&=(a+bi)^{2}\\&=a^{2}+2abi-b^{2}\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82otoNz2vEaqi0ajiQoNa0oDCOngiNzge3aDrDoqrEzts0ztKNzNoQ)
就可以得到方程组
![{\displaystyle {\begin{cases}2ab=1\\a^{2}-b^{2}=0\end{cases}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84ytG4yja5ntlAzqa0zNmQz2i3zDePnta1aqo1nji2ztFEztBFoqrD)
的解:
![{\displaystyle a=b=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AajKPnqdEnAo4oAe0aAnAzgvEaDG4yte5othFaqw0ngi1yto3a2zA)
其中,算术平方根即为
![{\displaystyle a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Ez2wOzNwOaDKNo2eNyqdCa2zAnDs5ygoPa2s1aAi3zDw1zNCPzNhD)
这个公式还可以通过棣莫弗公式得到,设
![{\displaystyle i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85ytsNnDGQaje4yjwQaNCNatw0zDiNajnCzjlEaNC4zNsPoNdBags1)
就可以推出
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left[\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right]^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PnDG2oDzEzNeQa2i1agw5zDw1zji5yqo2oDnEagzFaNlCaje5aNmN)
极坐标下,复数
的几个方根
对于任何一个非零的复数
都存在两个複数
使得
。
首先,我们将复数
看作是平面上的点,即笛卡尔坐标系中的
点。这个点也可以写作极坐标的
,其中
,是该点到坐标原点的距离,
则是从原点到该点的直线与实数坐标轴(
轴)的夹角。复分析中,通常把该点记作
。如果
![{\displaystyle z=re^{i\varphi },-\pi <\varphi \leq \pi }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Aaqe1ajzAoDBFaNvDnAzFati5ygnDotw3ygrBataQytGOoqa0oNiO)
那么我们将
的算术平方根定义为:
![{\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{\frac {i\varphi }{2}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FoAdDygsQaAw3zNrBntiPatsNnjhEaji3otvAnAoPzNaPaDs3aghA)
因此,平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。
的泰勒级数也适用于复数
。
上面的公式还可以用三角函数的形式表达:
![{\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85zDs0aDa4oqwOnjKNzjJDyqzDoDG2oNrEagw2zNlEaNhDaqrAnjiO)
如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 z,其算术平方根可以使用如下公式:[4][5]
![{\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {\frac {|z|+\Re (z)}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {|z|-\Re (z)}{2}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DaAePoNw0yjK4aNvFztdDzqwQzjwQyto1oqzCzgnCzAo5oNo3oqaQ)
其中,方根虚部的符号与被开方数虚部的符号相同(为0时取正);主值实部永远非负。
在虛數裡,平方根函數的值不是連續的,以下等式不一定成立:
![{\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82ytKNzAsQnAzFzta2zDeOzqw3aqeQa2zEntlFntG0nqo4njJCyqdD)
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NaDCQzqdDzqoPagzFagzBzAhAnqrFzNePyjnAaAhDyjrCyqw5aqrF)
![{\displaystyle {\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83ngsQoAe4nDJDaNFEzNGPagvBatBBoAsNaqe1ytC1zDBCntaPoDi1)
所以這是錯誤的:
![{\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OajFBnjsQzjK1oAw2zDoPyjeOngaNngo1aDG4njdCaDJDotG3ajw0)
例:若
,
數學史中,最重要的平方根可以說是
,它代表邊長為1的正方形的對角線長,是第一個公認的無理數,也叫毕达哥拉斯常数,其值到小數點14位約為1.4142135623731。
是無理數,可由歸謬法證明:
- 設
為有理數,可表示為
,其中
、
為互質之正整數。
- 因為
,故
是2的倍數,
也是2的倍數,記為
,其中
為正整數。
- 但是
,故
,
是2的倍數,
也是2的倍數。
- 依上兩式,
、
都是2的倍數,和
、
為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法,得證
不是有理數,即
是無理數。
。
注意,6 的质因数分解为 2 × 3,不能写成某个数的平方,因此
就是最简结果
。
北宋贾宪增乘开平方法
《九章算术》和《孙子算经》都有筹算的开方法。宋代数学家贾宪发明释锁开平方法、增乘开平方法;明代数学家王素文,程大位发明珠算开平方法,而朱载堉《算学新说》首创用81位算盘开方,精确到25位数字[6]。
長除式算平方根的方式也稱為直式開方法,原理是
。
- 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開,如98765.432內小數點前的65是一組,87是一組,9是一組,小數點後的43是一組,之後是單獨一個2,要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組,順序為1' 04. 85' 73'。
- 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數,並將該平方數的開方(應該是個位數)記下。
- 將上一步所得之差乘100,和下一組數加起來。
- 將記下的數乘20,然後將它加上某個個位數,再乘以該個個位數,令這個積不大於但最接近上一步所得之差,並將該個個位數記下,且將上一步所得之差減去所得之積。
- 記下的數一次隔兩位記下。
- 重覆第3步,直到找到答案。
- 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。
下面以
為例子:
四捨五入得答案為14.14。
事實上,將算法稍作改動,可以開任何次方的根,詳見n次方算法。
利用高精度长式除法可以计算出1至20的平方根如下:
![{\displaystyle {\sqrt {1}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Az2dAaDi4yqnEoDi0otKQoqdEzgw3ntzAaAhBngrDaqoNntK4z2s2) |
![{\displaystyle =\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AaDePyqs2aghFnDzBnAhBzNeNyjFBotrFaNG1aNFAnDo0nDlDntmQ) |
1
|
![{\displaystyle {\sqrt {2}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EzghAoNhBaDJCzji4ajePoAoPajG5ygrEzjvFz2o1nDaPztKNzqnA) |
![{\displaystyle \approx }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDs4nDvDaAe3aNe4a2zBygi1oqwOygnEaNK0zAoOotFDytC4zNG5) |
1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
|
![{\displaystyle {\sqrt {3}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NoDi5oNm5zjC0ata4oDsQyje0ztBFnAhDz2o5otFCytBDztw2nAzC) |
![{\displaystyle \approx }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDs4nDvDaAe3aNe4a2zBygi1oqwOygnEaNK0zAoOotFDytC4zNG5) |
1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
|
![{\displaystyle {\sqrt {4}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80ngvDzte0aNw2oAwPyjzEntBAaAa2a2o5ajnCzNa5atm4zjvBnDhC) |
![{\displaystyle =\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AaDePyqs2aghFnDzBnAhBzNeNyjFBotrFaNG1aNFAnDo0nDlDntmQ) |
2
|
![{\displaystyle {\sqrt {5}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OoDK4o2zCoDJBatFBajdCzgnDzto3oNo2oqhDytBEnDsOzghDoDrA) |
![{\displaystyle \approx }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDs4nDvDaAe3aNe4a2zBygi1oqwOygnEaNK0zAoOotFDytC4zNG5) |
2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
|
![{\displaystyle {\sqrt {6}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Fyjs3ngs2oAzFaDs5aqzAoqwQygs0aNK4zDa0yje1oDnEnto2otmP) |
![{\displaystyle \approx }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDs4nDvDaAe3aNe4a2zBygi1oqwOygnEaNK0zAoOotFDytC4zNG5) |
2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
|
![{\displaystyle {\sqrt {7}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80o2iPzAs2aAnDzjJCntwOztdCyjK0ztKQaDC4ytrFyts0njCPotwO) |
![{\displaystyle \approx }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDs4nDvDaAe3aNe4a2zBygi1oqwOygnEaNK0zAoOotFDytC4zNG5) |
2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
|
![{\displaystyle {\sqrt {8}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83zjo1zto1zqvAngwNzNmOzDnDyteNygs3oAiQzAnAyqzDyqw0a2o5) |
![{\displaystyle \approx }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDs4nDvDaAe3aNe4a2zBygi1oqwOygnEaNK0zAoOotFDytC4zNG5) |
2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
|
![{\displaystyle {\sqrt {9}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FoNeQnqnFajKOoDlBytm4aAs2ztiOaAi0atm0otmOnDvFzNw2ytG2) |
![{\displaystyle =\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AaDePyqs2aghFnDzBnAhBzNeNyjFBotrFaNG1aNFAnDo0nDlDntmQ) |
3
|
![{\displaystyle {\sqrt {10}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CnjK0ajBEagvCoAaPnDCQaDGQaDo1ntJEoNC1ngwOajoOzArEnDhE) |
![{\displaystyle \approx }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDs4nDvDaAe3aNe4a2zBygi1oqwOygnEaNK0zAoOotFDytC4zNG5) |
3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
|
![{\displaystyle {\sqrt {11}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PoDKPaNsQyteOaqa5ytC0agsNoAnDagrBoDJCnghAntnBoNG3agrD) |
![{\displaystyle \approx }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDs4nDvDaAe3aNe4a2zBygi1oqwOygnEaNK0zAoOotFDytC4zNG5) |
3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
|
![{\displaystyle {\sqrt {12}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DyjK4nqnCnDeOz2zAzNlCnDe4oqi3njwNo2rFajm2yqs2nDsPzqs5) |
![{\displaystyle \approx }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDs4nDvDaAe3aNe4a2zBygi1oqwOygnEaNK0zAoOotFDytC4zNG5) |
3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
|
![{\displaystyle {\sqrt {13}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FytsOaDGQzjGOzjo4aDiPzNhBatK4ytiPzjGNyqzEnjmQytK4aje3) |
![{\displaystyle \approx }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDs4nDvDaAe3aNe4a2zBygi1oqwOygnEaNK0zAoOotFDytC4zNG5) |
3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
|
![{\displaystyle {\sqrt {14}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PytK2a2dAnDCPzqwPytlCngePnqe3oDFCnjBEnqe3nqvBatC0oAnA) |
![{\displaystyle \approx }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDs4nDvDaAe3aNe4a2zBygi1oqwOygnEaNK0zAoOotFDytC4zNG5) |
3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
|
![{\displaystyle {\sqrt {15}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Nnta0a2dFaqnEothCajeOaAs2njnEajdBaDo0oqrDztKPzNs0ygo2) |
![{\displaystyle \approx }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDs4nDvDaAe3aNe4a2zBygi1oqwOygnEaNK0zAoOotFDytC4zNG5) |
3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
|
![{\displaystyle {\sqrt {16}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81atzCaqnAyqeOnqsNyghEaNrDoqoOzqe2z2a4aAoPz2i2nDC5otBB) |
![{\displaystyle =\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AaDePyqs2aghFnDzBnAhBzNeNyjFBotrFaNG1aNFAnDo0nDlDntmQ) |
4
|
![{\displaystyle {\sqrt {17}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Onjm5aga1oNCPoNCOnje5aDnDnqrBo2sOataNzjmNoNm5oAvAzgvD) |
![{\displaystyle \approx }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDs4nDvDaAe3aNe4a2zBygi1oqwOygnEaNK0zAoOotFDytC4zNG5) |
4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
|
![{\displaystyle {\sqrt {18}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PotKOotC0oqdEaNK5atwNoNs4oNG2oDnCoDhBngvEoAiOz2i5oDrE) |
![{\displaystyle \approx }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDs4nDvDaAe3aNe4a2zBygi1oqwOygnEaNK0zAoOotFDytC4zNG5) |
4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
|
![{\displaystyle {\sqrt {19}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PzAiQztePyge2a2aQothAzqnEzDvAyqdCnjG4zAsQzgrDyqwPnDzD) |
![{\displaystyle \approx }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDs4nDvDaAe3aNe4a2zBygi1oqwOygnEaNK0zAoOotFDytC4zNG5) |
4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
|
![{\displaystyle {\sqrt {20}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9ByqwNaAzBzgsNntsPzDlBoNBBaNm1oArCo2vCaqnEoAvCzNK1oNBB) |
![{\displaystyle \approx }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDs4nDvDaAe3aNe4a2zBygi1oqwOygnEaNK0zAoOotFDytC4zNG5) |
4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276
|
如果要求
的平方根,選取
![{\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {S}{x_{n}}}\right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84ztnBaAzDztK3zDsOzNvFntzAz2s4ageOotlDagaOzNvDoqsOajmN)
例子:求
至6位有效數字。
![{\displaystyle x_{0}=3^{6}=729.000\,\!}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84nDJBzNe5zNe5nDs5ntKQzjzBzDC5zjrAagrFzNJEaNBEothDagdA)
![{\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\left(x_{0}+{\frac {S}{x_{0}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(729.000+{\frac {125348}{729.000}}\right)=450.472}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80ytvFnArCoNFFzDnCaAw3nja3nqzFoNwPoArAa2iPaDvAagw2ytm3)
![{\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}\left(x_{1}+{\frac {S}{x_{1}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(450.472+{\frac {125348}{450.472}}\right)=364.365}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NngsOa2hCnDwNotG4agw1ntm4a2s0ajvEyjlEnqaNnArCygsNzgdC)
![{\displaystyle x_{3}={\frac {1}{2}}\left(x_{2}+{\frac {S}{x_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(364.365+{\frac {125348}{364.365}}\right)=354.191}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PnjKNajvCa2aQaje2nga5zNs1oqa0aqo2aDe4aAo3zta1oqwPzDaN)
![{\displaystyle x_{4}={\frac {1}{2}}\left(x_{3}+{\frac {S}{x_{3}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.191+{\frac {125348}{354.191}}\right)=354.045}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EoAi2aqe0yjo2oDmNzqa4aNKOzDlFoqi3yqaOoqi4zqa5oDm5yghC)
![{\displaystyle x_{5}={\frac {1}{2}}\left(x_{4}+{\frac {S}{x_{4}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.045+{\frac {125348}{354.045}}\right)=354.045}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Bnqa1ajGOaDrFytBCaqaOnDmNngnFnAzCa2eNoNnFnqa4zAdDotzA)
因此
.
平方根可以简便地用连分数的形式表示,关于连分数请见连分数,其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为:
![{\displaystyle {\sqrt {1}}=1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81ztm5nqhDzDdDa2vFzqzBnAwQaNvEa2zFaqoOoDdAzqoOntBDa2zF)
![{\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2...]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81nAa5oDmOzNC4nAnFyga4aqdAyqdCo2dDaAoQyqsPntlFnqs0zjeO)
![{\displaystyle {\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2...]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CnDlDzArEaDnCyqi4nqi4nAa3zta2ntG1njsQzAaNytKQnje1njzE)
![{\displaystyle {\sqrt {4}}=2}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81njGOnDrBaNdEnAsNngnEatvEatzBnjnEzDaOoDw4oDm2a2hDnjK3)
![{\displaystyle {\sqrt {5}}=[2;4,4,4,4...]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NngeQoDBFa2e3agw0zDlDaDo2ajlDaAi0yjmNygo0ajw0nDaQoAoO)
![{\displaystyle {\sqrt {6}}=[2;2,4,2,4...]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QotK3oNaQzNKPnAaOzDGOzAs4njdDzqs3oArCa2oNotwPyjsQnDw3)
![{\displaystyle {\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4...]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Qz2o4nqs1nDrDothEzqs3nArAzNsPajzEoqzCagnAoAaPyghEztC3)
![{\displaystyle {\sqrt {8}}=[2;1,4,1,4...]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AytwPatwPztBFnja5atw2ngdBntlCoDm0nDo2nDrAoNnDzqsPzqrC)
![{\displaystyle {\sqrt {9}}=3}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80zjGOagwOytzCztnBzjBCoDKQzqeNz2hCzNs2aNoNzNo3ajK3ateP)
![{\displaystyle {\sqrt {10}}=[3;6,6,6,6...]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84zjBEzgdBnDCNngsPzjrBata3nDo0yjC5yqw2njzDa2nFoDdCoDrB)
![{\displaystyle {\sqrt {11}}=[3;3,6,3,6...]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EnDhEngvAzghBaAi3oDFAotFFzjJByjC5zAzCzAoPajBCngrEaghE)
![{\displaystyle {\sqrt {12}}=[3;2,6,2,6...]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Cz2o4zAeOzjs0otdEaDm1aNvBajBCoAs4yjFEzNeOygvEaqw4otw0)
![{\displaystyle {\sqrt {13}}=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6...]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PaDKQoNhCzjmNntzCytm1yqhEzgzAaAaPzjnBo2eNzAaNngaQygeQ)
![{\displaystyle {\sqrt {14}}=[3;1,2,1,6,1,2,1,6...]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NnjBFz2sOa2a1age2oNi0ati5aNaNzjePnDe3oDKNyjiOztlDz2nB)
![{\displaystyle {\sqrt {15}}=[3;1,6,1,6...]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PyjGNntC5ytaOzto1nAa2oDFBzqi4zAiNyta0oDiNagwNo2eQyqdB)
![{\displaystyle {\sqrt {16}}=4}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82oNlCztrDzNmQoNzFzge3o2aOaNe5zAo5otnDytiNnArDaNeQzjo0)
![{\displaystyle {\sqrt {17}}=[4;8,8,8,8...]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QytCNatnEzjw1zNFByts5aAsPzje1ztKPzjmOoAeOzgs3zDo2zgnB)
![{\displaystyle {\sqrt {18}}=[4;4,8,4,8...]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Czgi3yjBEzNwQoqvAzNrFztG1nthFzgsNoAe1njG1otdAoNeNajs2)
![{\displaystyle {\sqrt {19}}=[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8...]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Dz2zCa2a0yjmOzgi4nDK4otvEz2zBzDm2njw0aDG5a2wOzNzBzDo1)
![{\displaystyle {\sqrt {20}}=[4;2,8,2,8...]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CyghEzNs5zDsPztw1zqi4zjK2o2zEo2w2yje3aDGNnjlBoqe1nqwQ)
连分数部分均循环,省略号前为2或4个循环节。
巴比伦求平方根的算法实际上很简单:(假设要求一个数N的平方根)
- 预测一个平方根
,初始另一个值
,且![{\displaystyle xy=N}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AnAs2zqrFzts5zNJAyqw4njm2zDBBnqrAzthAnja3ngo1aDiNoNdC)
- 求预测值与初始值的均值:
, ![{\displaystyle y={\frac {N}{x}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Fo2a5yts3ztmQo2w3aje3aDdCntvCzqi3zDK4ytK5zjiPzgiNzjrB)
- 比较
和
的差值是否达到精度,如果无,继续步骤
這個方法是從佩爾方程演變過來的,它通過不斷減去奇數來求得答案。
給定線段AB和1,求一條長為
的線段。
- 畫線AB,延長BA至C使
![{\displaystyle AC=1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CoAs4atK5ajaNaDKNzDwOageQoNo1yqdEate5zghFoqe4o2s3zjJA)
- 以BC的中點為圓心,OC為半徑畫圓
- 過A畫BC的垂直線,垂直線和圓弧交於D,AD即為所求之長度
將整個過程搬到直角座標上,已知AC=1,設
- O=
![{\displaystyle (0,0)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81njoNagwNntK4aqi1a2eQota1ztBFntJBzqe0zqo5zjK5otaPzjhF)
- AB=
![{\displaystyle n}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FzDmPytC1njs1zDm5nDdCyqo1nteNa2sNzAnEntBBote2ajiPoDzE)
- 直徑為BC的圓就是
(圓的方程式:
)(其中
表示半径。)
- 將
(A,D所在的x座標)代入上面的方程式
![{\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}-1\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Cz2s4zDlAyqw3aNK3njBDzDK2zNo5ajJEatrCaDK1otvEaNK5a2zF)
- 解方程,得
。
另也可参见射影定理。
射影定理(图)
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